Реферат по курсу Теоретические основы испр
 Скачать 213.5 Kb.
|
^и^^1 и т. д. Значит, при данном предположении последовательности {иЛ}, {иг*} являются монотонно неубывающими, а так как они ограничены (принадлежат единичному квадрату), то существуют пределы
выигрыши пропорционально объемам их ресурсов.
Я{(и|Р, ы2р). Если при этом и,-<и<р (/=1или 2), то <,-Р>и,-- и Н^(и^V,игV)=^)^(и^V)>Ф^(и^)^Н^(и^, <2)- Пришли к противоречию. Значит, Ы{^И{Р, (=1,2. Если и,-><4р, /='1,2, то и<р<Н1+. Поэтому|Я,(иР,, ир2)+Я2(<р,, ыр2)=Ч',(<Р,, ир2 ^Я,(и" и2)+Я2(иь и2)^ иР2), (4.7) откуда Я,-(<|, <2)=Я{(и1р, и2Р), /=1,2. Осталось проверить случай ы,->и(р, Ы; = М,Р. При {=!, /=2 имеем Я,(<1, иг)=Н1(и1, и2р)<Я1(и1р, и2р). Пришли к противоречию (аналогично при /=2, /=1). Значит, (Ы!Р, ц2р)еР. Покажем, что (и|р, и2Р) - единственное .решение Г]. Предположим Ы,Р> >и°1, тогда <1р>И1- и у1=;#1(<°1, Й2) ^Ф1(и°1)<Ф,(и,Р) =Я1(и1р, и2Р) = Р, 7л°2(и1р)). Пришли к противоречию. Пусть теперь и1р<и°|, тогда р. Если при этом и2=ы2р, то Н,(и^, ы2Р)>Я1(и°1, и2р)=Я|(и°1, (22)=у1-Пришли к (противоречию. Если же #2>ц2р, то Й2><2- и Я2(ы°1, Й1)=Ф2(й2)> >Ф2(и2р)^Я2(и,Р, и2р), откуда в силу (<1Р, <2Р)егР следует Я^и0!, Й2) < <Н1(и^, и2р). Снова пришли к противоречию. Значит, н°1=Ы1р, Й2=и°2(ы1р) = 102 = и2Р. Аналогично доказывается, что и°2=ы2р, Й1 = <1Р. Значит, \Н^(и^^^, и2р)=у.-> 1=1, 2, т. е. (И,Р, ы2р)еСг Осталось показать, что при монотонном убывании ^(иь и2) хотя бы по одному аргументу (и^, И2Р) - единственная точка у-яцра. Предположим противное, т. е. существует (ы(, и2)еСу, (иь и2)=й(и1р, <2р). Тогда при и<<и,-р {/=1 или 2) и <<><(!>, и;- = <^Р придем к противоречию, как и при доказательстве паретооптимальности (и1р, <2Р), а при и^>и^'^|, 1=1,2, придем к противоречию, потому что в щепочке неравенств (4.7) появится строгое неравенство Чг(и1р, и2р)>хР(<1. иг). Теорема доказана полностью. Рассмотрим для иллюстрации результатов несколько примеров. Пример 4.1. Ф<=2<{, Ч'( = а-<(+<^ Ог^и^а, /, /=1,2, 1ф]. Здесь критерии удовлетворяют условиям игры Я<2' и, более того, монотонны, т. е. Я совпадает с квадратом [0, а] X [0, а]. Значит, на нем существует по крайней мере одна точка равновесия. Кроме того, Ч'^2а, т. е. в силу теоремы 4.1 точка равновесия является единственной. Она находится из условий (4.4): 01*=и2* = = а/2. Точка (а/2, а/2) по теореме 4.1 принадлежит множеству Парето и является единственным решением игр Г| и Г2 (а/2 - оптимальное управление лидера и ведомого в обеих играх). Однако эта точка не единственная в у-ядре (а значит, и в множестве Парето), которому принадлежит любая пара вида (и, и), где ы^а/2, т. е. для последнего свойства имеет значение убывание Т хотя бы по одному аргументу. Заметим, что игра существенно неантагонистическая несмотря на конкуренцию во внешней сфере (седловые точки Я( и Я2 есть (а/3,0) и (0, а/3)). Пример 4.2. Ф(=2<<> Ч^ = а-1^ + щ, 0^ы,-<а, /, /=1,2, 1ф]. Здесь ^= = 2а-Н1-<2, т. е. монотонно убывает по обоим аргументам, значит, единственная точка равновесия составляет у-ядро. Эта точка находится из условий (4.4): <1*=<2*=о/3. Однако это не единственная паретовская точка (например, точка (а/2, а) тоже принадлежит множеству Парето), что и не утверждалось в теореме 4.1. Пример 4.3. Ф<=а+а,-, ^,- = 0-и,- + 2<.,-, 0^и*<а, /, /=1,2, /=^/. Здесь хР = 2а+и1+и2) т. е. условия теоремы 4.1 не выполнены. Равновесием является любая точка диагонали квадрата [0, а] X [0, а], т. е. вида (и, и), О^ц^а. Наилучшим равновесием для обоих участников является точка (а, а), одновременно это паретовская точка и решение игр Г), Г2. Остальные точки равновесия не принадлежат множеству Парето. Пример 4.4. Ф(=3и(, Чг1=а-и1+2<2, Ч^а/2-0,5иг+2иь Ог^и.-^а, /=1,2. Здесь Ч'=За/2-(-и1+Зи2/2, т. е. условия теоремы 4.1 не выполнены. Тем не менее точка равновесия единственная М|* = 9а/20, <*2=2а/5, однако паретовской точкой она не является. Решения игр ГЛ я Г2 есть соответственно (а, 5а/7) и и (За/4, а), эти точки также не принадлежат множеству Парето. Порядок ходов здесь существен, так как выгоднее быть партнером, чем лидером, но я то, и другое дает больше, чем равновесие. Впрочем, еще лучше для обоих участников ларетовская точка (а, а). Пример 4.5. Ф1 = <1, Ф2=*и2, Чг1=(2р-1)а-<1 + и2, 4^=0-и2+и,, 0^и,< !<ра, О^Иг^а, р>1, А>1. Здесь параметр р может интерпретироваться как мера превосходства первого игрока по ресурсам, параметр и - как весовой коэффициент, соизмеряющий значимости внутреннего> и <внешнего> крите- 103 риев для второго игрока (чем больше А, тем меньшее значение придается внутренней сфере и больше ресурса вкладывается во внешнюю сферу). Функция Ч/ = 2ра. Значит, точка равновесия является единственной. Она находится, как обычно, из условий (4.4), причем в зависимости от соотношения между параметрами имеем К)а У<е5, тогда в новой точке 'при выполнении первого (а, "2= {(2р+1)Д I 2*+1 Так как Я,*=Я,(и,*, ы2*)=м,*, Я2*=Я2(ы,*, и2*)=/ш2*. то Я4*>Я2* при р>6, Я|* = Я2* при р=/г, Я4*<Я2* при р<й. Таким образом, при конкурентной борьбе во внешней сфере дефицит ресурсов может в определенном смысле компенсироваться меньшей .чувствительностью к состоянию дел во внутренней сфере, что действительно имеет место в реальных ситуациях. Приведенные .примеры показывают, что условия, накладываемые на функцию ^(<1, иг), являются существенными, т. е. без них утверждения теоремы 4.1 неверны. Эти условия имеют ясный содержательный смысл: индивидуальные достижения участников во внешней сфере при увеличении вклада в нее конкурента уменьшаются, но суммарные достижения при увеличении вкладов могут только расти (возможно, за счет других явно неописанных участников). Для обобщения результатов на игру Я(п) понадобится следующее понятие: сильным равновесием в игре п лиц называется такая ситуация, в которой для любой коалиции (подмножества всех игроков) не существует таких управлений ее участников, применение которых при использовании остальными игроками равновесных управлений давало бы каждому участнику коалиции выигрыш, не меньший равновесного, и хотя <бы одному строго больший. Сильное равновесие является и обычным равновесием, которому в определении соответствуют в?е 'коалиции из одного игрока, а также точкой множества Парето, чему соответствует <большая> коалиция из всех п игроков. п Теорема 4.2. Если функция Чг(и)= 2 ^-(ы) не возрастает по всем аргументам, в частности Чг(ы)^соп51, то каждое равновесие в игре Я<"> является сильным. Если функции ^Уг(и) могут быть представлены в виде ^-(и,-, 2 щ), $=1, п, то существует единст- 1*1 венная предпочтительная для <большой> коалиции ситуация равновесия. Если оба условия выполняются одновременно, то ситуация равновесия является единственной. Доказательство. Пусть <'*=(<< |
1=1
(==!
(иначе если и{**><Л то Е<;**<2<^* и приходим к противоречию),
1*1 1*1
(=1
п ...
ВГ > Е "{=*"<*>"{ < = ! п " З'о такое, что ы/о > и^
1 = 1
(иначе если и(**<и,-*, то Е<;**>2<;* и опять приходим к противоречию,
1*1 1*1
а все компоненты не могут 'быть равны).
Значит, если имеются две различные точки равновесия, то у одной из них все координаты не меньше, чем у другой, и хотя бы одна .координата строго больше. При этом в силу свойств монотонности критериев для всех участников первая точка равновесия не хуже второй и хотя бы для одного она строго .предпочтительнее. Среди точек равновесия существует такая, у которой сумма компонент строго больше, чем у всех остальных. Эта точка и является единственной предпочтительной для <большой> коалиции (т. е. единственной паретовской на множестве точек равновесия).
Если выполнены оба условия теоремы, то, с одной стороны, каждое равновесие является паретовской точкой (как сильное равновесие), а с другой
105
стороны, среди них может быть только одна паретовская точка, значит, равновесие единственно. Теорема доказана.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий теорему 4.2.
Пример 4.6. Ф( = и(> Чг< = с(а<-гл) [ 2 (<Ч-<Л]
Резюмируя результаты, отмечаем, что при выбранной структуре модели взаимодействия систем решение игровых задач удовлетворяет одновременно ряду основных принципов оптимального поведения. Это обстоятельство существенно повышает объективность разрешения такого конфликта на основе равновесных >и одновременно взаимовыгодных компромиссов.
3. Переговорные процедуры итерационного типа
Рассмотренный в предыдущих двух параграфах <ласе игровых моделей взаимодействия систем с теоретической точки зрения имеет идеальное решение, так как оно удовлетворяет всем основным принципам оптимального -поведения. Однако в практическом конфликте могут .возникать разные 'препятствия для достижения этого теоретически обоснованного компромисса. В первую очередь они связаны с вопросами информированности сторон и процедурами выработки соглашения. Даже предположение о точном знании своих возможностей и интересов далеко не всегда является обоснованным, так как каждая система, участвующая в конфликте, в свою очередь состоит из ряда подсистем и ее цели и результаты функционирования формируются сложным образом в процессе взаимодействия этих подсистем. Хорошо известно, что при проведении переговоров между сторонами (будь то государства или сравнительно небольшие организации) внутри каждой стороны весьма редко существует полное единство позиций, так как каждый из участников переговоров представляет интересы не только данной стороны, но и входящих в нее ведомств или коллективов, а также имеет личные интересы. Кроме того, по соображениям секретности или просто в связи с недоступностью той или иной информации различается информированность участников переговоров даже с одной стороны. Точное же знание возможностей и интересов других сторон недоступно в лринципе, не говоря уже о намеренной дезинформации, возможностях блефа и т. д.
|06
Рассмотрим некоторые информационные аспекты для игры Я(2>. Знание качественных свойств критериев (монотонность, унимодальность) является значительно более слабым предположением, нежели знание точного вида соответствующих функций. Такие представления о предпочтениях другой стороны вполне реальны < могут быть основаны на предыстории отношений, логическом анализе или гипотезах. Однако для установления весьма важного свойства конфликта, описываемого игрой типа Я'2), знания таких качественных свойств критериев вполне достаточно. Это свойство состоит в существовании наилучшей для обоих участников ситуации равновесия (см. леммы 4.1, 4.2). Вполне реальна информация и о качественных свойствах суммарного выигрыша участников во внешней сфере, т. е. о функции
Если известно, что этот суммарный выигрыш не убывает при увеличении вклада во внешнюю сферу любого участника, т. е. не возрастает по щ, <2 (и\, иг - вклады во внутренние сферы), то можно сделать заключение о существовании единственного равновесия, к которому приводят и все другие распространенные принципы оптимального поведения (теорема 4.1). Однако для того чтобы найти это равновесие, необходимо уже точно знать критерии обоих участников.
Пусть оба участника знают все указанные качественные свойства игры Я<2), т. е. что условия теоремы 4.1 выполнены, но точно знают только свои собственные критерии и пространства управлений. Как они могут прийти к равновесию игры? Возможен обмен информацией о критериях и пространствах управлений, однако здесь не исключен блеф в целях достижения лучшего результата, вследствие чего произойдет отклонение от <объективного> равновесия.
Оказывается, что к равновесию здесь ведет итерационная процедура <нащупывания по Курно> |[61], которую можно интерпретировать либо как последовательность индивидуальных действий участников, либо как процесс переговоров, заключающихся в поочередных предложениях компромиссных решений то одним, то другим участником. Опишем вариант этой процедуры.
Пусть в начальный момент сложилась некоторая ситуация (ы'ь и'2). Первый игрок, зная свой критерий Н\(и\, и2) и, следовательно, функцию наилучшего отклика и°\(и2), меняет в одностороннем порядке свое управление с ы1, на и2ь где и21<=и01(и1г) (или предлагает в качестве нового компромисса пару (м2ь и12)). В ответ второй игрок, зная свой критерий Я2(иь ы2) и, следовательно, функцию наилучшего отклика <°2(<1), меняет свое управление с и1 г на и22, где и22 = м°2(и2!) (или предлагает в качестве нового компромисса пару (ы2ь <22)). Далее процесс продолжается аналогично. В результате генерируются последовательности
(4.8) 107
Лемма 4.3. Если в игре Я<2> существует единственная точка равновесия (и*ь и*2), то для последовательностей (4.8) справедливо
Нт гД-.= и*,-, 1 = 1, 2.
*->оо
Доказательство. Пусть для двух соседних членов последовательности {иЛ} выполняется неравенство и^+ь^и^. Тогда в силу монотонного неубывания функции и°2("1) (см. доказательство леммы 4.2) имеем н2* + 1 = = и°2(и1'1+1)^ы02(<1'!)=и2'1, т. е. и^+^иг*. Далее в силу монотонного неубывания функции и°1 (и2) имеем и1*+2=и°1(и2''+1);э: и°,(<2'') =и!*+|, т. е. и\к+г