Лекция. Лекция 12. Поверхности второго порядка
![]()
|
Лекция 12. Поверхности второго порядка Пусть – цилиндрическая поверхность. ![]() параллельна образующим. Кривая 𝛾 пересечения поверхности Ф с плоскостью 𝑂𝑥𝑦 является направляющей. Пусть ее уравнение в плоскости 𝑂𝑥𝑦: ![]() (в пространстве она задается системой из двух уравнений: 𝜙(𝑥, 𝑦) = 0 и 𝑧 = 0). ![]() . Тогда ее проекция на плоскость 𝑂𝑥𝑦 будет точка 𝑀0(𝑥, 𝑦, 0); и эта точка должна принадлежать кривой 𝛾. Поэтому ее координаты удовлетворяют (1). Но тогда этому уравнению будут удовлетворять и координаты точки 𝑀0: координаты 𝑥 и 𝑦 у них одинаковы, а 𝑧 в уравнение не входит. Обратно, пусть координаты точки 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) удовлетворяют (1). Тогда этому же уравнению x удовлетворяют и координаты точки 𝑀0(𝑥, 𝑦, 0), а т.к. 𝑀0 ∈ 𝑂𝑥𝑦, то 𝑀0 ∈ 𝛾. При этом 𝑀 и 𝑀0 лежат на одной прямой, параллельной оси 𝑂𝑧 M. Итак, мы установили, что (1) и есть уравнение поверхности , т.е. уравнениецилиндрической поверхности совпадает с уравнением ее направляющей кривой вплоскости 𝑂𝑥𝑦, если образующие параллельны оси 𝑂𝑧. Аналогично, если образующие параллельны 𝑂𝑦, то уравнение цилиндрической поверхности совпадает с уравнением направляющей кривой в плоскости 𝑂𝑥𝑧. И обратно, если в уравнении поверхности отсутствует, например, координата x, то сразу можем сделать вывод, что эта поверхность цилиндрическая, а ее образующие параллельны 𝑂𝑥. ![]() 𝑦2 = 2𝑧. Тогда это цилиндрическая поверхность, ее образующие параллельны 𝑂𝑥, а направляющей служит парабола {𝑦2 = 2𝑧, 𝑥 = 0. Такая поверхность называется «параболическийцилиндр». Поскольку уравнение цилиндрической поверхности совпадает с уравнением направляющей кривой, то список цилиндрических поверхностей второго порядка совпадает со списком их направляющих кривых второго порядка. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() xy ![]() ![]() Выберем ДСК так, чтобы начало координат совпадало с вершиной конической поверхности . ![]() 𝐹 – многочлен второй степени от 3 переменных. Тогда функция двух переменных 𝜙(𝑥, 𝑦) = 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑐) будет многочленом второй степени для любого 𝑐 ∈ ℝ, а система 𝜙(𝑥, 𝑦) = 0, { 𝑧 = 𝑐 будет задавать сечение поверхности плоскостью 𝑧 = 𝑐. Получающуюся в сечении кривую 𝛾 выберем в качестве направляющей. Т.к. 𝜙(𝑥, 𝑦) – многочлен 2 степени, то 𝛾 – кривая 2 порядка. Если 𝛾 – центральная, то можем считать, что ось Oz проходит через ее центр. Предположим сначала, что направляющая – эллипс 𝑥2 𝑦2 ![]() ![]() 𝑧 = 𝑐. (∗) Пусть 𝑀(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) – произвольная точка поверхности . Тогда вся прямая 𝑂𝑀 должна лежать на поверхности. Ее параметрические уравнения: 𝑥 = 𝑥1𝑡, 𝑂𝑀: {𝑦 = 𝑦1𝑡, 𝑧 = 𝑧1𝑡. Пусть она пересекает направляющую 𝛾 в точке 𝑀0(𝑥0, 𝑦0, 𝑐). Тогда ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой 𝑂𝑀: 𝑥0 = 𝑥1𝑡, {𝑦0 = 𝑦1𝑡, 𝑐 = 𝑧1𝑡, 𝑥0 = 𝑥1𝑐/𝑧1, ⇒ {𝑦0 = 𝑦1𝑐/𝑧1, 𝑡 = 𝑐/𝑧1. А теперь подставим найденные выражения в уравнение эллипса: (𝑥1𝑐/𝑧1)2 ![]() (𝑦1𝑐/𝑧1)2 ![]() Домножим это уравнение на ![]() 1 ( 𝑧 ) и получим 𝑐 𝑥2 ![]() 𝑎2 𝑦2 ![]() 1 𝑏2 𝑧2 ![]() 1 − 𝑐2 = 0. (∗∗) Обратно, пусть координаты точки 𝑀(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) удовлетворяют уравнению (**). Тогда этому уравнению удовлетворяют и координаты любой точки на прямой 𝑂𝑀: (𝑥1𝑡)2 ![]() 𝑎2 (𝑦1𝑡)2 ![]() (𝑧1𝑡)2 ![]() 𝑥 2 2 1 = 𝑡 ( 𝑎2 𝑦2 ![]() 1 + 𝑏2 𝑧2 ![]() 𝑐2 а подставив в (2) 𝑧 = 𝑐, получим уравнение эллипса (*). Значит, (2) и есть уравнение конической поверхности. Опуская индексы, окончательно получаем ![]() ![]() 𝑥2 𝑦2 ![]() ![]() 𝑧 = 𝑐, получим уравнение конической поверхности 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥2 𝑦2 𝑧2 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Это такой же «эллиптический» конус, только ось его будет не 𝑂𝑧, а 𝑂𝑥. ![]() {𝑥2 = 2𝑝𝑦, 𝑧 = 𝑐. Тогда тем же способом получим уравнение ![]() 𝑐 Повернем СК на 45° вокруг оси 𝑂𝑥. Тогда формулы замены координат имеют вид 𝑥 = 𝑥′, ![]() 𝑦 = √2 (𝑦′ + 𝑧′), ![]() ![]() 2 𝑧 = √2 (−𝑦′ + 𝑧′). { Подставим их в ( ![]() 2 **), и, обозначив 𝑎2 = 𝑝, получим ![]() ![]() 𝑎2 Таким образом, уравнение (**) тоже определяет конус, ось которого является биссектрисой угла 𝑦𝑂𝑧. ![]() ![]() y Пусть некоторая кривая 𝛾 расположена в плоскости 𝑂𝑦𝑧. Будем вращать ее вокруг оси 𝑂𝑧. Получим некоторую поверхность , которая называется поверхностьювращения. Каждая точка кривой 𝛾 описывает окружность – параллель, центр которой лежит на оси 𝑂𝑧. Поверхностьвращения. Пусть ![]() – уравнение кривой 𝛾 в плоскости 𝑂𝑦𝑧. Тогда в пространстве она задается системой {𝜙(𝑦, 𝑧) = 0, 𝑥 = 0. Пусть 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) – произвольная точка поверхности . Тогда она лежит на одной из таких параллелей 𝑙 и может быть получена поворотом точки 𝑀0(0, 𝑦0, 𝑧0) = 𝛾 ∩ 𝑙. Очевидно, что 𝑧0 = 𝑧 (∗) и центр 𝑂′ параллели 𝑙 имеет координаты 𝑂′(0,0, 𝑧). Кроме того, |𝑂′𝑀| = |𝑂′𝑀0| . В координатах это условие имеет вид ![]() 𝑦0 = √𝑥2 + 𝑦2 (∗∗) ![]() Координаты точки 𝑀0 должны удовлетворять уравнению (3): 𝜙(𝑦0, 𝑧0) = 0. Подставляя сюда (*) и (**), получаем Обратно, пусть координаты точки 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) удовлетворяют (4). Тогда, если выполнено (*) и (**), то этому уравнению будут удовлетворять координаты точки 𝑀0(0, 𝑦0, 𝑧0), а значит 𝑀0 ∈ 𝛾. Кроме того, в силу (*) и (**) точка 𝑀0 лежит на одной параллели с 𝑀, а значит 𝑀 может быть получена поворотом точки 𝑀0 вокруг оси 𝑂𝑧 ![]() 𝑀 ∈ Φ. ![]() Пример1.Пусть 𝛾 – окружность в ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() плоскости Oyzимеет вид: (𝑦 − 𝑎)2 + 𝑧2 = 𝑏2. ![]() ![]() Получили уравнение тора. Заметим, что тор не относится к поверхностям 2 порядка. Пример2.Поверхность задается уравнением ![]() Мы можем переписать его так: ![]() (√𝑥2 + 𝑧2) = 2𝑦. ![]() вокруг 𝑂𝑦. Для того, чтобы получить ![]() кривой 𝛾 в плоскости 𝑂𝑥𝑦: 𝑥2 = 2𝑦. В пространстве эта кривая задается системой {𝑥2 = 2𝑦, 𝑧 = 0. ![]() |