Лекция. Лекция 12. Поверхности второго порядка

• Название: Лекция 12. Поверхности второго порядка
• Анкор: Лекция
• Дата: 08.04.2022
• Размер: 169.88 Kb.
• Имя файла: Lektsia_12_Poverkhnosti_2_poryadka_2021.docx
• Тип: Лекция; #452984
• страница: 3 из 6

Эллиптическийигиперболическийпараболоиды.

Определение.Эллиптическимигиперболическимпараболоидаминазываются поверхности, имеющие канонические уравнения соответственно вида

𝑥2 𝑦2 Φ3 : 𝑎2 + 𝑏2 = 2𝑧 (8)

𝑥2 𝑦2 Φ4 : 𝑎2 − 𝑏2 = 2𝑧 (9)

В сечениях плоскостями 𝑧 = ℎ получаем соответственно кривые

𝑥2 𝑦2 𝑎2 + 𝑏2 = 2ℎ

𝑥2 𝑦2 𝑎2 − 𝑏2 = 2ℎ (∗)

Обозначим 𝑎^′2 = 2^|ℎ^|𝑎², 𝑏^′2 = 2^|ℎ^|𝑏².

При ℎ > 0 получаем эллипсы При ℎ ≠ 0 получаем гиперболы

_𝑥2 _𝑦2

_𝑥2 _𝑦2

_𝑎′2 + _𝑏′2 = 1,

полуоси которых возрастают при возрастании ℎ, а при ℎ < 0 получаем мнимые эллипсы

_𝑎′2 − _𝑏′2 = ±1.

(на рисунке – 𝛾₄), а при ℎ = 0 из (_*) получаем уравнение, которое задает пару пересекающихся прямых

_𝑥2 _𝑦2

_𝑥2 _𝑦2

_𝑎′2 + _𝑏′2 = −1.

_𝑎′2 − _𝑏′2 = 0.

В сечениях плоскостями 𝑦 = ℎ получаем для обеих поверхностей параболы

ℎ2 𝑥2 = 2𝑎2 (𝑧 − ). 2𝑏2

ℎ2 𝑥2 = 2𝑎2 (𝑧 + ). 2𝑏2

Причем параметр этих парабол одинаков для обеих поверхностей и не зависит от ℎ:

𝑝 = 𝑎². Таким образом, все параболы в сечениях равны друг другу и получаются одна из другой параллельным переносом. Вершины этих парабол имеют координаты

ℎ2 (0, ℎ, 2𝑏2).

ℎ2 (0, ℎ, − 2𝑏2).

Значит вершины при перемещении парабол описывают кривую в плоскости 𝑂𝑦𝑧

𝑦2 𝛾2: 𝑧 = ⇔ 𝑦2 = 2𝑏2𝑧, 2𝑏2

𝑦2 𝛾2: 𝑧 = − ⇔ 𝑦2 = −2𝑏2𝑧, 2𝑏2

т.е. параболу. Поэтому можем сказать, что оба параболоида получаются движением параболы 𝛾₁, когда ее вершина скользит по параболе 𝛾₂.

Аналогично, в сечениях параболоидов плоскостями 𝑥 = ℎ получаем равные друг другу параболы, причем 𝛾₂ тоже будет среди них; а вершины этих парабол описывают параболу 𝛾₁: 𝑥² = ±2𝑏²𝑧 в плоскости 𝑂𝑥𝑧 («+» для ₃, «–» для ₄).


Прочиегеометрическиесвойствагиперболоидов.

1. 
   Из уравнения (8) получаем, что 𝑧 ≥ 0, т.е. Φ₃ целиком находится в полупространстве, которое определяется этим неравенством.
   
2. 
   Координатные оси пересекают оба параболоида только в точке 𝑂⁽0,0,0⁾, которая называется вершиной.
   
3. 
   Ось 𝑂𝑧 является осью симметрии параболоидов, а координатные плоскости 𝑂𝑥𝑧
   

и 𝑂𝑦𝑧 – плоскостями симметрии. Других симметрий у параболоидов нет.

4. 
   При 𝑎 = 𝑏 Φ₃ будет поверхностью вращения, а гиперболы в сечениях Φ₄
   

плоскостями 𝑧 = ℎ будут равнобокими.

5. 
   Мы уже видели, что в сечениях Φ₄ плоскостями 𝑧 = ℎ может получаться пара прямых. Примем без доказательства, что Φ₁ является линейчатой поверхностью и через каждую его точку проходит пара прямых, лежащая на поверхности.