Лекция. Лекция 12. Поверхности второго порядка
 Скачать 169.88 Kb.
|
Классификацияповерхностейвторогопорядка. Определение. Поверхностью второго порядканазывается геометрическое место точек пространства координаты которых удовлетворяют уравнению вида:𝑎11𝑥2 + 𝑎22𝑦2 + 𝑎33𝑧2 + 2𝑎12𝑥𝑦 + 2𝑎13𝑥𝑧 + 𝑎23𝑦𝑧 + +2𝑎1𝑥 + 2𝑎2𝑦 + 2𝑎3𝑧 + 𝑐 = 0, (10) где среди коэффициентов 𝑎𝑖𝑗 (𝑖, 𝑗 = 1,2,3) есть хотя бы один ненулевой. Выражение в первой строке называется квадратичнойчастьюуравнения,𝑐 – свободнымчленом, остальное – линейная часть. Квадратичная часть уравнения (10) представляет собой квадратичную форму. Её коэффициенты образуют матрицу 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝐴 = (𝑎12 𝑎22 𝑎23). 𝑎13 𝑎23 𝑎33 В курсе линейной алгебры доказывается, что матрицу любой квадратичной формы с помощью поворота координатных осей декартовой СК можно привести к диагональному виду
Тогда в новой декартовой СК 𝑂𝑥′𝑦′𝑧′ с тем же началом квадратичная часть уравнения (10) примет к вид: 𝜆1 𝑥′2 + 𝜆 𝑦′2 + 𝜆 𝑧′2, (11) 2 3 который тоже называется диагональным. При этом числа 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3 не зависят от выбора новой декартовой СК 𝑂𝑥′𝑦′𝑧′. Т.е. если ещё в одной декартовой СК квадратичная часть уравнения имеет вид (11), то набор чисел 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3 будет тем же (может измениться только их порядок). Если количество отрицательных коэффициентов 𝜆𝑖 больше, чем количество положительных, то мы во всём уравнении поверхности поменяем знаки. Затем мы выберем именно такой порядок обозначения координатных осей, что сначала будут следовать положительные 𝜆𝑖, потом отрицательные, а в конце нулевые. Таким образом, если только одно из 𝜆𝑖 равно нулю, то это будет именно 𝜆3. А если только одно 𝜆𝑖 ≠ 0,то можем считать что это 𝜆1. Тогда набор знаков 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3 будет одним из следующих: (+, +, +), (+, +, –), (+, +, 0), (+, –, 0), (+, 0, 0). Этот набор называется сигнатуройквадратичнойформы. Имеем уравнение: 𝜆1 𝑥′2 + 𝜆 𝑦′2 + 𝜆 𝑧′2 + 2𝑏 𝑥′ + 2𝑏2 𝑦′ + 2𝑏3 𝑧′ + 𝑐 = 0 (12) 1 2 3 Далее, если все 𝜆𝑖 ≠ 0 мы выделим полные квадраты 𝜆1 (𝑥′2 + 2𝑏1  𝜆1 𝑥′ + 2𝑏2  1 ) −1 𝜆2 2𝑏2 1 + 𝜆𝜆1 2 (𝑦′2 + 2𝑏2 𝜆2 𝑦′ + 2𝑏2 2 ) −2 𝜆2 2𝑏2 2 +𝜆2 2𝑏32𝑏2 2𝑏2 +𝜆 (𝑧′2 + 𝑧′ + 3 ) − 3 + 𝑐 = 0, 3 𝑏1 2 𝜆3 𝑏2 𝜆2 3 2 𝜆3 𝑏3 2 𝜆1 (𝑥′ + )  𝜆1+ 𝜆2 (𝑦′ + ) 𝜆2+ 𝜆3 (𝑧′ + ) 𝜆3+ 𝑐′ = 0. Более подробно мы изучим эту процедуру выделения квадратов на практике. Затем делаем замену координат 𝑥′′ = 𝑥′ + 𝑏1 , 𝑦′′ = 𝑦′ + 𝑏2 , 𝑧′′ = 𝑧′ + 𝑏3,𝜆1 𝜆2 𝜆3 которая означает перенос начала координат в точку 𝑂 (− 𝑏1 , − 𝑏2 , − 𝑏3). Получим уравнение вида 𝜆1(𝑥′′)2 + 𝜆2(𝑦′′)2 + 𝜆3(𝑧′′)2 = −𝑐′. 𝜆1 𝜆2 𝜆3 Затем делим уравнение на |𝑐′|, если 𝑐′ ≠ 0. Тогда в правой части уравнения останется 1, −1 или 0. Мы получим одно из уравнений 1 – 6 (см. таблицу ниже). Если 𝜆3 = 0, то мы не можем выделить полный квадрат по 𝑧′, но тогда преобразуем выражение 2𝑏3 𝑧′ + 𝑐′ так: 2𝑏3 (𝑧′ + 𝑐′ ), и третья координата также  2𝑏3 будет участвовать в переносе начала координат в виде 𝑧′′ = 𝑧′ + 𝑐′ . В этом случае в2𝑏3 уравнении остается слагаемое 2𝑏3𝑧′′, но не остается свободного члена и слагаемого, содержащего (𝑧′′)2: 𝜆1(𝑥′′)2 + 𝜆2(𝑦′′)2 = −2𝑏3𝑧′′. Мы разделим уравнение на |𝑏3| и получим одно из уравнений вида 7, 8 (см.таблицу ниже). Если при этом справа получится не 2𝑧′′, а −2𝑧′′, то это будет всё равно та же поверхность, только ориентированная по-другому относительно координатных осей. Если 𝜆3 = 0 и 𝑏3 = 0, то мы получим уравнение вида 𝜆1(𝑥′′)2 + 𝜆2(𝑦′′)2 = −𝑐′, которое даст нам одну из поверхностей 9 – 13 из списка.  Аналогично рассматривается и случай 𝜆2 = 𝜆3 = 0. Итак, мы показали, что уравнение (10) мы можем привести к одному из следующих:
Здесь мы использовали инвариантамиповерхностивторогопорядка: 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎1 𝑎12 𝑎22 𝑎23 𝑎2 𝛿 = |𝑎12 𝑎22 𝑎23| , Δ = |𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 | 𝑎13 𝑎23 𝑎33 13 23 33 3 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑐
𝑎11 𝑎12 𝑎1 𝑎11 𝑎13 𝑎1 𝑎22 𝑎23 𝑎2
– сумма диагональных миноров третьего порядка в ∆, кроме . Теорема. Величины δ, ∆, I1, I2 не изменяются при любых преобразованиях декартовойСК, I3 , I4 неизменяютсяприповоротекоординатныхосей,номеняются при переносе начала координат. Вычислив инварианты, мы можем определить тип поверхности, не упрощая ее уравнения. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||