Оценка периметра многоугольника заданного диаметра. Реферат По теме "Оценка периметра многоугольника заданного диаметра"
![]()
|
Глава 2. Оценка периметра пятиугольника единичного диаметра 1. Доказательство равенства четырех диагоналей пятиугольника единице Определение 2.1.1. Диаметром d многоугольника М называется точная верхняя граница расстояний между его точками. [6, 68] d=sup ![]() Х ![]() ![]() Теорема 2.1.1. Диаметр многоугольника равен расстоянию между некоторыми его вершинами. Доказательство. Многоугольник М является ограниченной замкнутой областью. По теореме Вейерштрасса непрерывная функция ![]() ![]() ![]() Х ![]() ![]() Отрезок АВ также будем называть диаметром многоугольника. Ясно, что концы диаметра многоугольника должны находиться на его границе, при этом если хотя бы один из концов диаметра АВ не является вершиной многоугольника, то как видно из рисунка 2.1.1, один из отрезков K1B, K2B будет больше АВ (т.к. один из углов ![]() ![]() ![]() Рис. 2.1.1 Теорема доказана. Итак, диаметр многоугольника совпадает либо с одной из сторон, либо с одной из диагоналей многоугольника. Определение 2.1.2. Выпуклый многоугольник диаметра 1 будем называть оптимальным, если его периметр больше периметра любого другого выпуклого многоугольника диаметра 1. Теорема 2.1.2. Все стороны оптимального пятиугольника меньше 1. Для доказательства теоремы потребуется следующая лемма. Лемма 2.1.1. Сумма расстояний от точки дуги окружности до ее концов принимает наибольшее значение, когда эта точка делит дугу пополам. Доказательство. Пусть Р – точка дуги окружности, точки F и M ее концы (рис. 2.1.2). Из ![]() ![]() FP+PM=2 r sin ![]() ![]() ![]() ![]() =2 r (2sin ![]() ![]() здесь ![]() ![]() ![]() Сумма FP+PM принимает наибольшее значение, когда cos ![]() Так как ![]() ![]() ![]() ![]() а это значит, что ![]() ![]() Лемма доказана. ![]() Рис. 2.1.2 Доказательство теоремы. Пусть сторона FT рассматриваемого пятиугольника FPMNT равна 1. Для доказательства проверим, что периметр р пятиугольника FPMNT меньше периметра правильного пятиугольника диаметра 1. Проведем две окружности: ![]() и ![]() Очевидно, что остальные вершины пятиугольника будут лежать в области ограниченной окружностями ![]() ![]() Возможны два случая расположения вершин P, M, N пятиугольника FPMNT. Рассмотрим первый случай, когда хотя бы одна из прямых РМ и MN пересекает дуги обеих окружностей ![]() ![]() ![]() Из рисунка 2.1.3 видно, что периметр p рассматриваемого пятиугольника FPMNT меньше периметра пятиугольника FP1М1N1T, а так же меньше периметра Р1 шестиугольника FСZМ1N1T, где C середина дуги ![]() Таким образом, получаем: p< Р1 <4 sin150+1+ ![]() ![]() Рассмотрим второй случай, когда прямые PM, MN пересекают дугу окружности ![]() Из рисунка 2.1.4 видно, что периметр p рассматриваемого пятиугольника FPMNT меньше периметра P2 пятиугольника FP1М1N1T т.е.: p< P 2 < ![]() ![]() Известно, что периметр P3 правильного пятиугольника равен: P3= ![]() ![]() Таким образом, получаем, что периметр рассматриваемого пятиугольника FPMNT меньше периметра правильного пятиугольника диаметра 1. Теорема доказана. Теорема 2.1.3. В оптимальном пятиугольнике, по крайней мере, три диагонали равны 1. Доказательство. Пусть диагональ PT=1 (по теореме 2.1.2). Проведем две окружности: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим первый случай, когда прямая MN пересекает дуги обеих окружностей ![]() ![]() Допустим, что диагональ FM<1 и точка М отлична от точки M’, тогда сместив точку М в близкую точку М’’ вдоль прямой ТМ’, получим пятиугольник большего периметра, т.е. пятиугольник FPMNT не является оптимальным. Можно поэтому считать, что у оптимального пятиугольника хотя бы одна из диагоналей FM, ТM’ равна 1. Аналогично, хотя бы одна из диагоналей FN, PN’ равна 1. Точно так же рассматривается второй случай, когда прямая MN пересекает только одну из окружностей ![]() ![]() ![]() Теорема доказана. Теорема 2.1.4. В оптимальном пятиугольнике, по крайней мере, четыре диагонали равны 1. Доказательство. В силу теоремы 2.1.3 рассмотрим пятиугольник MNTFP у которого три диагонали равны единице, при этом возможны два случая: 1) TP= MF=NF=1; 2) TP= MT=NP=1 (рис. 2.1.7). Рассмотрим первый случай. Проведем три окружности: окружность ![]() окружность ![]() окружность ![]() Обозначим точки пересечения окружностей ![]() ![]() ![]() ![]() Ясно, что вершины P и T пятиугольника с одной стороны будут лежать вне треугольника ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Допустим от противного, что NP<1 и MT<1. Проведем два эллипса: l1 с фокусамиM, F , проходящий через точку P; l2 с фокусами N, F , проходящий через точку T. Возможны два случая: а) касательные m ![]() ![]() Подвинем отрезок PТ параллельно самому себе на небольшое расстояние, так, что бы новый отрезок P’Т’ (P’ ![]() ![]() ![]() ![]() В результате, длина отрезка PТ не изменится, а длина диагоналей NP’и MT’ не станет больше 1. При этом периметр пятиугольника MP’FT’N больше периметра исходного пятиугольника MPFTN. ![]() Значит, пятиугольник MPFTN не может быть оптимальным. б) Одна из касательных m ![]() ![]() Допустим, что касательная m ![]() ![]() ![]() Подвинем точку P по дуге окружности ![]() Значит, пятиугольник MPFTN не может быть оптимальным. Таким образом, в оптимальном пятиугольнике, покрасней мере одна из диагоналей NP, MT равна единице. Теперь рассмотрим второй случай. 2) TP= MT= NP=1 (рис. 2.1.9). Заметим, что вершина F лежит внутри области ограниченной отрезком РТ и дугами ![]() ![]() Предположив, что NF<1 и MF<1 и заменив точку F близкой точкой F’ (см. рис. 2.1.9), мы получим, что РF+FТ ![]() Значит, пятиугольник MPFTN не может быть оптимальным. Таким образом, в оптимальном пятиугольнике, покрасней мере одна из диагоналей NF, MF равна единице. Теорема доказана. 2. Отыскание оптимального пятиугольника Теорема 2.2.1. Оптимальным пятиугольником является правильный пятиугольник. Доказательство. Рассмотрим пятиугольник MPFTN у которого четыре диагонали равны 1 (по теореме 2.1.4 только такой пятиугольник может быть оптимальным). Пусть PN=MT=FM=FN=1, PT=c (рис. 2.2.1). ![]() Положим ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Найдем периметр p пятиугольника MPFTN. Из ![]() MO= cos ![]() ![]() Из треугольников ![]() ![]() PF= ![]() FT= ![]() Из треугольника ![]() ![]() PM= ![]() ТN= ![]() Таким образом периметр р пятиугольника MPFTN равен: р=2cos ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим сначала случай, когда с=1, т.е. все диагонали пятиугольника MPFTN равны 1. В этом случае: p=2 cos ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() =2 cos ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() =2cos ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() =2cos ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Исследуем функцию g ( ![]() ![]() ![]() g’( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так как 2cos ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Значит 60 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Последнее неравенство означает, что ( ![]() ![]() ![]() ![]() sin ![]() ![]() Поэтому p ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, в случае с=1 периметр пятиугольника не превосходит периметра правильного пятиугольника. Рассмотрим теперь случай, когда с<1. Проведем эллипсы через точки Р и Т с фокусами соответственно в точках F, M и F, N. Пусть хотя бы один эллипс пересекает соответствующую дугу ![]() ![]() ![]() Остается, следовательно, проверить случай, когда оба эллипса касаются соответствующих дуг. Но из геометрических соображений ясно, что существует не более одной точки дуги ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 2.2.2 Заметим сначала (рис. 2.2.3), что в виду ![]() ![]() ![]() c=PT=PT’-TT’=PT’-MN=2cos ![]() ![]() ![]() Из ![]() PM ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() = ![]() = 1- 2c cos ![]() PM= ![]() Тогда периметр p пятиугольника MPFTN равен: p=2 ![]() ![]() Докажем неравенство ![]() Имеем: 1-2c cos ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() =1-2c cos ![]() ![]() ![]() ![]() т.к. c<1, (1- c)>0 и 2cos ![]() ![]() ![]() Таким образом: 1-2ccos ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда имеем: ![]() Иначе говоря, периметр пятиугольника MPFTN в этом случае меньше периметра правильного пятиугольника. Таким образом, оптимальным пятиугольником является правильный пятиугольник. Теорема доказана. Заключение Экстремальные задачи — задачи на максимум и минимум — во все времена привлекали внимание учёных. Причина такого интереса заключается, во-первых, в том, что многие экстремальные задачи приходят из практики. Леонард Эйлер (1707-1783), один из величайших математиков, говорил: "В мире не происходит ничего, в чём бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума". Во-вторых, среди задач на максимум и минимум много красивых задач, которые интересно и полезно решать. В данной работе рассмотрены различные планиметрические задачи на максимум и минимум, а также изложены основные теоретические сведения, необходимые для решения экстремальных задач. Основное внимание в работе было уделено решению весьма не тривиальной задачи на максимум, а именно отысканию пятиугольника заданного диаметра, имеющего наибольший периметр. При решении поставленной задачи были использованы как геометрические, так и аналитические методы и доказана основная теорема о том, что в пятиугольнике наибольшего периметра по крайней мере четыре диагонали равны единице. В заключительной теореме показано, уже чисто аналитически, что искомым является правильный пятиугольник. Таким образом, основная цель работы достигнута. Библиография 1. Болтянский, В.Г. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии [Текст]/ В.Г. Болтянский, И.Ц. Гохберг.- М.: НАУКА, 1965.- 108 с.: ил. 2. Математика, ее преподавание, приложения и история [Электронный документ]/ Я.С. Дубнов, В.Г. Болтянский, В.А. Ефремович и др.; Под ред. Я.С. Дубнов.- вып.3.- М.: Физ.– мат. лит., 1958.- 321 с. 3. Протасов, В.Ю. Максимумы и минимумы в геометрии [Текст]/ В.Ю. Протасов.- М.: НЦНМО, 2005.- 56 с. 4. Тихомиров, В.М. Рассказы о максимумах и минимумах [Текст]/ Тихомиров В.М.- М.: НАУКА, 1986.- 192 с. 5. Трофимов, В.В. Царевна Дидона, изопериметры и мыльные пленки [Электронный документ] (http://mirror1.mccme.ru/kvant/1985/05/carevna_didona_izoperimetry_i.htm) 6. Шклярский, Д.О. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии [Текст]/ Д.О. Шклярский, И.М. Яглом, Н.Н. Ченцов.- М.: НАУКА , 1974.- 384 с.: ил. 7. Энциклопедия элементарной математики [Текст]/ В.Г. Болтянский, В.А. Рохлин, И.М. Яглом, Б.А. Розенфельд и д.р.; Под ред. В.Г. Болтянский.- книга 5.- М.: Физ.– мат. лит., 1966.- 624 с.: ил. 8. Яглом, И.М. Выпуклые фигуры [Текст]/ И.М. Яглом, В.Г. Болтянский.- М.Л.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1951.- 343 с. 1>1>1>1>1>4> |