Мат.модель. Режим термообработки Твердость, hrc
 Скачать 330.61 Kb.
|
 a = y - ∑bj·xj 3. Анализ параметров уравнения регрессии. Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления: Несмещенная ошибка ε = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)
Средняя ошибка аппроксимации  Оценка дисперсии равна: se2=(Y-Y(X))T(Y-Y(X))=96.777 Несмещенная оценка дисперсии равна:  Оценка среднеквадратичного отклонения (стандартная ошибка для оценки Y):  Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = S2 • (XTX)-1
Дисперсии параметров модели определяются соотношением S2i = Kii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали Sb0=  Sb1=  Sb2=  Sb3=  Показатели тесноты связи факторов с результатом. Если факторные признаки различны по своей сущности и (или) имеют различные единицы измерения, то коэффициенты регрессии bj при разных факторах являются несопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с результатом, позволяющими ранжировать факторы по силе влияния на результат. К таким показателям тесноты связи относят: частные коэффициенты эластичности, β–коэффициенты, частные коэффициенты корреляции. Частные коэффициенты эластичности. С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле:  Частный коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем изменяется признак-результат у с увеличением признака-фактора хj на 1% от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели. E1=  При изменении фактора х1 на 1%, Y изменится на -0.533%. Частный коэффициент эластичности |E1| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно. E2=  При изменении фактора х2 на 1%, Y изменится на -0.0261%. Частный коэффициент эластичности |E2| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно. E3=  При изменении фактора х3 на 1%, Y изменится на 1.613%. Частные коэффициент эластичности |E3| > 1. Следовательно, он существенно влияет на результативный признак Y. Стандартизированные частные коэффициенты регрессии. Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - β-коэффициенты (βj) показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения S(у) изменится признак-результат y с изменением соответствующего фактора хj на величину своего среднего квадратического отклонения (Sхj) при неизменном влиянии прочих факторов (входящих в уравнение). По максимальному βj можно судить, какой фактор сильнее влияет на результат Y. По коэффициентам эластичности и β-коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат. Коэффициент βj может также интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния j-ого фактора (xj) на результат (y). Во множественной регрессии j-ый фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через другие факторы модели). Косвенное влияние измеряется величиной: ∑βirxj,xi, где m - число факторов в модели. Полное влияние j-ого фактора на результат равное сумме прямого и косвенного влияний измеряет коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата - rxj,y. Так для нашего примера непосредственное влияние фактора x1 на результат Y в уравнении регрессии измеряется βj и составляет -0.598; косвенное (опосредованное) влияние данного фактора на результат определяется как: rx1x2β2 = -0.886 * (-0.333) = 0.2946 Сравнительная оценка влияния анализируемых факторов на результативный признак. 5. Сравнительная оценка влияния анализируемых факторов на результативный признак производится: - средним коэффициентом эластичности, показывающим на сколько процентов среднем по совокупности изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора xi на 1% от своего среднего значения; - β–коэффициенты, показывающие, что, если величина фактора изменится на одно среднеквадратическое отклонение Sxi, то значение результативного признака изменится в среднем на β своего среднеквадратического отклонения; - долю каждого фактора в общей вариации результативного признака определяют коэффициенты раздельной детерминации (отдельного определения): d2i = ryxiβi. d21 = -0.72*(-0.598) = 0.428 d22 = 0.54*(-0.333) = -0.178 d23 = 0.93*0.757 = 0.707 При этом должно выполняться равенство: ∑di2 = R2 = 0.956 Множественный коэффициент корреляции (Индекс множественной корреляции). Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции. В отличии от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения, он принимает значения от 0 до 1. Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина Ry(x1,...,xm). Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.  Коэффициент множественной корреляции можно определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:  где Δr - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции; Δr11 - определитель матрицы межфакторной корреляции.
Коэффициент множественной корреляции  Связь между признаком Y и факторами Xi весьма сильная. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β-коэффициентов.   Коэффициент детерминации R2 = 0.956 Коэффициент детерминации. R2= 0.97782 = 0.956 Более объективной оценкой является скорректированный коэффициент детерминации:   Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y. Добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации. Выводы. В результате расчетов было получено уравнение множественной регрессии: Y = -11.4406-0.1766X1-0.07669X2 + 1.521X3. Возможна экономическая интерпретация параметров модели: увеличение X1 на 1 ед.изм. приводит к уменьшению Y в среднем на 0.177 ед.изм.; увеличение X2 на 1 ед.изм. приводит к уменьшению Y в среднем на 0.0767 ед.изм.; увеличение X3 на 1 ед.изм. приводит к увеличению Y в среднем на 1.521 ед.изм. По максимальному коэффициенту β3=0.757 делаем вывод, что наибольшее влияние на результат Y оказывает фактор X3. Y – твёрдость после ТО; X1 – температура отжига; X2 – время отжига; X3 – твёрдость до ТО. |