Мат.модель. Режим термообработки Твердость, hrc

• Название: Режим термообработки Твердость, hrc
• Дата: 20.04.2023
• Размер: 330.61 Kb.
• Имя файла: Мат.модель.docx
• Тип: Документы; #1077638
• страница: 1 из 3

Режим термообработки	Твердость, HRC
	До отжига	После отжига
t = 550 °С – 2 ч.,	229	229
t = 550 °С – 4 ч	235	230
t = 650 °С, – 30 мин.	229	217
t = 650 °С, – 60 мин.,	217	207
t = 680 °С – 20 мин.	228	216
t = 700 °С – 5 мин.	229	212
t = 700 °С – 30 мин.	207	173

1. Оценка уравнения регрессии.

Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, векто s получается из выражения: s = (X^TX)^-1X^TY

К матрице с переменными X_j добавляем единичный столбец:

550	120	229
550	240	235
650	30	229
650	60	217
680	20	228
700	5	229
700	30	207

Матрица Y

229

230

217

207

216

212

173

Матрица X^T

1	1	1	1	1	1	1
550	550	650	650	680	700	700
120	240	30	60	20	5	30
229	235	229	217	228	229	207

Умножаем матрицы, (X^TX)

7	4480	505	1574
4480	2892400	294600	1005340
505	294600	77825	115685
1574	1005340	115685	354470

В матрице, (X^TX) число 7, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы X^T и 1-го столбца матрицы X

Умножаем матрицы, (X^T*Y)

1484

944430

112180

334710

Находим обратную матрицу (X^TX)^-1

(XT X)-1=

309,8001 -0,2037 -0,1031 -0,7643 -0,2037 0,00021 0,000132 0,000265 -0,1031 0,000132 0,000113 4,7E-5 -0,7643 0,000265 4,7E-5 0,00263

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен

Y(X) =

309,8001 -0,2037 -0,1031 -0,7643 -0,2037 0,00021 0,000132 0,000265 -0,1031 0,000132 0,000113 4,7E-5 -0,7643 0,000265 4,7E-5 0,00263

*

1484 944430 112180 334710

=

-11,4406 -0,1766 -0,07669 1,521

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

Y = -11.4406-0.1766X₁-0.07669X₂ + 1.521X₃

Интерпретация коэффициентов регрессии. Константа оценивает агрегированное влияние прочих (кроме учтенных в модели х_i) факторов на результат Y и означает, что Y при отсутствии x_i составила бы -11.4406. Коэффициент b₁ указывает, что с увеличением x₁ на 1, Y снижается на 0.1766. Коэффициент b₂ указывает, что с увеличением x₂на 1, Y снижается на 0.07669. Коэффициент b₃ указывает, что с увеличением x₃ на 1, Y увеличивается на 1.521.

2. Матрица парных коэффициентов корреляции R.

Число наблюдений n = 7. Число независимых переменных в модели равно 3, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 5. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (7 х 5).

Матрица A, составленная из Y и X.

1	229	550	120	229
1	230	550	240	235
1	217	650	30	229
1	207	650	60	217
1	216	680	20	228
1	212	700	5	229
1	173	700	30	207

Транспонированная матрица.

1	1	1	1	1	1	1
229	230	217	207	216	212	173
550	550	650	650	680	700	700
120	240	30	60	20	5	30
229	235	229	217	228	229	207

Матрица X^T*X.

7	1484	4480	505	1574
1484	316808	944430	112180	334710
4480	944430	2892400	294600	1005340
505	112180	294600	77825	115685
1574	334710	1005340	115685	354470

Полученная матрица имеет следующее соответствие:

∑n	∑y	∑x1	∑x2	∑x3
∑y	∑y2	∑x1 y	∑x2 y	∑x3 y
∑x1	∑yx1	∑x1 2	∑x2 x1	∑x3 x1
∑x2	∑yx2	∑x1 x2	∑x2 2	∑x3 x2
∑x3	∑yx3	∑x1 x3	∑x2 x3	∑x3 2

Найдем парные коэффициенты корреляции.