История математики. Математика. Рейтинговая работа Реферат по дисциплине Высшая математика Заданиевариант Тема История появления алгебры как науки Выполнена обучающимся группы
 Скачать 77.67 Kb.
|
 Колледж (Факультет среднего профессионального образования) Рейтинговая работа Реферат по дисциплине Высшая математика Задание/вариант № ____________ Тема История появления алгебры как науки Выполнена обучающимся группы __________ __________________________________________________________________ (фамилия, имя, отчество) Преподаватель ___________________________________________________ (фамилия, имя, отчество) Москва – 2022 г. Содержание Введение 3 Заключение 11 ВведениеАктуальность темы заключается в том, что важнейшим разделом математики является алгебра. С её помощью решают непростые проблемы науки, техники и практической жизни человека. Если в арифметике используются только 4 основных действия: сложение, вычитание, деление и умножение, то в курс алгебры добавлены два новых — это возведение числа в степень и извлечение корня. Кроме натуральных, дробных чисел и нуля, алгебра учитывает отрицательные, иррациональные и иные числа. Также, в отличие от арифметики, алгебра рассматривает действия над всеми числами и их общие характеристики. Поэтому в алгебре различные величины отмечаются буквами, подразумевающими числа, то есть применяется буквенная символика. Также вместе с буквами в алгебре существуют числа, выраженные цифрами. Зародилась алгебра в недрах арифметики, от которой долгое время она не обосабливалась. В арифметике древние вавилоняне, египтяне, китайцы и греки пользовались специальными алгебраическими символами и методами решения задач. Основное развитие алгебры происходило в древней Индии, а в 9 – 15 вв. – в странах ислама, включая Среднюю Азию. В начале 9 в. Мухаммед ибн-Муса ал Хорезми написал книгу на арабском языке, названную «Китаб ал-джебр ва-л-мукабала». От второго слова названия книги, «ал-джебр», означающего алгебраический прием, появилось слово «алгебра», которым мы пользуемся сегодня. Степень изученности. В разработке данной темы были использованы работы таких авторов как: Александров А. Д., Колмогоров А.Н., Курош А. Г., Ландо С.К., Улам С., Фомин С. В. и др. Цель данной работы - изучение истории появления алгебры как науки. Задача работы является исследование истории появления алгебры и ее развития. 1. История появления алгебры и ее развитияАлгебра – это не отдельная наука, а раздел математики. В ней изучаются действия над величинами. То есть каждому школьнику предстоит проводить различные вычисления, преобразования над числами, переменными. Что такое алгебра, если выразиться простыми словами? Представьте себе арифметику, где даны, например, дроби. Эти дроби нужно сложить. Как это сделать, подсказывает определенное правило: приводим их к общему знаменателю, затем нужно сделать расчет. Также можно привести пример с простыми задачками про собранные и съеденные яблоки (сколько было и сколько осталось). Но алгебра более сложная, чем арифметика. Рассмотрим, какие задачи решает алгебра1: определение значений величин; решение уравнений; работа с дробями, числами, целыми выражениями; построение графиков; нахождение неизвестных переменных; доказательство теорем; решение неравенств; преобразование выражений; нахождение производных, интегралов. Этот раздел математики достаточно сложен. Еще с древних времен известные ученые создавали законы, формулы, теоремы, основываясь на жизненном опыте. Недаром математика считается не просто точной наукой, но и мистической. Корнями алгебра исходит ещё с глубокой древности. Почти 4000 лет назад учёные Вавилона умели решать квадратные уравнения и системы 2 - х уравнений, из которых одно – 2-ой степени. С помощью таких уравнений решалось множество задачи землемерия, строительства и военного дела. Буквенные обозначения, которые применяем мы в алгебре, не употреблялись вавилонянами; уравнения писывались в словесной виде. Самые первые сокращённые определения для неизвестных величин встречаются у математика из древней Греөии Диофанта (2–3 век н.э.). Неизвестное Диофант называет «аритмос» (число), 2 - ю степень неизвестного – «дюнамис» (данное слово имеет мноңество значений: сила, могущество, имущество, степень и т.д.). 3 - ю степень Диофант именует «кюбос» (куб), 4 - ю – «дюнамодюнамис», 5 - ю – «дюнамокюбос», 6 - ю – «кюбокюбос». Эти величины он отмечает первыми буквами соответствующих наименований (ар, дю, кю, ддю, дкю, ккю). Известные числа для отличия от неизвестных сопровождаются обозначением «мо» (монас – единица). Сложение никак не обозначается, для вычитания есть сокращённое обозначение, равенство обозначают «ис» (исос – равный). И вавилоняне, и греки не признавали отрицательные числа. Уравнение 3 ар 6 мо ис 2 ар 1 мо (3x + 6 = 2x +1) Диофант называл «неуместным». Перестанавливая члены из одной части уравнения в другую, Диофант говорил, что слагаемое становится вычитаемым, а вычитаемое слагаемым. В Китае за 2000 лет до нашего времени учёные решали уравнение 1-й степени и их систему, а так - же квадратные уравнения. Они знали отрицательные и иррациональные числа. Т.к в китайской азбуке каждый знак символизирует некоторое понятие, то в китайской алгебре не было «сокращённых» обозначений2. В дальнейшем китайская математика пополнилась новыми результатами. Так, уже в конце 13 - го века в Китае знали закон образования биномиальных коэффициентов, которые известны сейчас под именем «треугольника Паскаля». В Западной Европе же данный закон был открыт (Штифелем) на 250 лет позднее. В Индии учёные часто пользовались сокращёнными символами неизвестных величин и их степеней. Эти символы являлись начальными буквами соответствующих наименований (неизвестное называлось «столько-то»; для отличия второго, третьего и т. д. неизвестного употреблялись наименования цветов: «чёрное», «синее», «красное» и т. д.). Индийские авторы также пользовались иррациональными и отрицательными числами. Вместе с отрицательными числами в числовой семье появился нуль, который ранее обозначал только отсутствие числа. У индийских авторов алгебраические вопросы излагались в астрономических сочинениях; самостоятельной дисциплиной алгебра становится у учёных, писавших на международном языке мусульманского мира – арабском. Основоположником алгебры, как особой науки, нужно считать узбекского учёного Мухаммеда из Хорезма, известного под арабским прозвищем аль-Хваризми (Хорезмиец). Его алгебраический труд, составленный в 9 в. н. э., носит название «Книга восстановления и противопоставления». «Восстановлением» Мухаммед называет перенос вычитаемого из одной части уравнения в другую, где оно становится слагаемым; «противопоставлением» – собирание неизвестных в одну сторону уравнения, а известных – в другую сторону. По-арабски «восстановление» называется «ал-джебр». Отсюда название «алгебра» 3. У Мухаммеда из Хорезмы и у более поздних авторов алгебра то и дело применяется к купеческим и иным денежным расчётам. Ни Мухаммед, ни другие математики, писавшие по-арабски, не пользовались никакими сокращёнными обозначениями3. Они не признавали отрицательные числа: учение об отрицательных числах арабы считали плохо обоснованным. Это было правильно, но в то же время индийские учёные могли ограничиться одним случаем полного квадратного уравнения, а Мухаммед Хорезмский и его последователи должны были различать три случая (x2 + px = q, x2 + q = px, x2 = px + q; p и q – положительные числа). Мусульманские (узбеки, таджики) и арабские математики пополнили алгебру следующими достижениями. Они сумели найти для уравнений высших степеней приближённые значения корней с значительной степенью точностьи. К примеру, известный узбекский философ, астроном и математик аль-Бируни (973 – 1048), выходец из Хорезма, свёл задачу о вычислении стороны правильного 9-угольника, вписанного в данную окружность, к кубическому уравнению x3 = 1 + 3x и нашёл (в 60-ричных дробях) приближённое значение x = 1,52' 45'' 47'''13'''' 4 (с точностью до 1/604; в десятичных дробях это даёт семь верных десятичных знаков). Знаменитый таджикский поэт и учёный Омар аль-Хайам (1048 – 1131) из Нишапура подверг систематическому изучению уравнения третьей степени. Ни ему, ни другим математикам мусульманского мира не удалось найти выражения корней кубического уравнения через коэффициенты. Но аль-Хайам придумал способ, по которому можно (геометрически) найти число действительных корней кубического уравнения (его самого интересовали только положительные корни) 4. В 12 веке «Алгебра» аль-Хваризми стала известна в Средневековой Европе и была переведена на латинский язык. С этого момента начинается прогресс алгебры в европейских странах (сначала под внушительным влиянием науки восточных народов). Возникают сокращённые обозначения неизвестных, решается множество новых задач, связанных с интересами торговли. Однако серьёзного развития не было до 16 в. В начале 16 в. итальянцы дель-Ферро и Тарталья нашли правила для решения кубических уравнений вида x3 = px + q; x3 + px = q; x3 + q = px, а Кардано в 1545 г. показал, что любое кубическое уравнение сводится к одному из этих трёх; в это же время ученик Кардано - Феррари нашёл решение уравнения 4-й степени. Сложность правил для решения этих уравнений сделала необходимым усовершенствование обозначений. Это совершалось постепенно в течение целого столетия. В конце 16 века французский математик Виета ввёл буквенные обозначения, и при том не только для неизвестных, но и для известных величин (неизвестные обозначались заглавными гласными буквами, известные – заглавными согласными). Были введены сокращённые обозначения действий; у разных авторов они имели разный вид. В середине 17 века алгебраическая символика благодаря французскому учёному Декарту (1596 – 1650) приобретает вид, очень близкий к нынешней. Сложность правил решения этих уравнений заставила усовершенствовать обозначения. Делалось это постепенно в течение века. В конце 16 века французский математик Виета ввел буквенные обозначения, причем не только для неизвестных, но и для известных величин (неизвестные обозначались прописными гласными, известные - прописными согласными). Были введены сокращения для действий; разные авторы придерживались разных взглядов. В середине XVII века, благодаря французскому ученому Декарту (1596 - 1650), алгебраическая символика приобретает форму, очень близкую к современности. 2. История развития комплексных и отрицательных чисел Отрицательные числа. В 13-16 вв. отрицательные числа воспринимались в Европе только в исключительных случаях. После открытия решения кубического уравнения отрицательные числа со временем находят своё место в алгебре, хотя и называют их «ложными». В 1629 г. Жирар (Франция) дал известный ныне способ представления отрицательных чисел. Через двадцать лет отрицательные числа стали общепринятыми. Комплексные числа. Внедрение комплексных чисел также было связано с открытием решения кубического уравнения. И до настоящего открытия при решении квадратного уравнения x2 + q = px доводилось встречаться со случаями, когда требовалось извлечь квадратный корень из (p/2)2 - q, где величина (p/2)2 была меньше чем q. Но в этом случае делали вывод, что у уравнения нет решения. О вводе новых (комплексных) чисел в это время (когда даже отрицательные числа считались «сложными») даже не думали. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действия над мнимыми числами нельзя получить действительный корень5. С этого момента комплексные числа нельзя было игнорировать. Но теория комплексных чисел развивалась медленно: еще в XVIII веке ведущие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел можно было получить множество важных фактов, связанных с действительными числами, само существование комплексных чисел многим казалось сомнительным. В середине 18 века русский академик Эйлер, один из величайших математиков всех времен и народов, дал исчерпывающие правила работы с комплексными числами. На рубеже 18 и 19 веков Вессель (Дания) и Арган (Франция) указали геометрические представления комплексных чисел. Но на работу Весселя и Аргана внимания не обратили, и только в 1831 году, когда тот же метод был разработан великим математиком Гауссом (Германия), он стал достоянием общественности. После того, когда решили уравнения 3-й и 4-й степени, математики интенсивно искали формулу для того, чтобы решать уравнения 5-й степени. Однако Руффини (Италия) в конце 18 века доказал, что буквенное уравнение пятой степени x5 +ax4 + bx3 + ex2 + dx + e = 0 невозможно решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e при помощи шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечения корня). В 1830 г. Галуа (Франция) доказал, что ни одно общее уравнение, у которого степень больше 4, нельзя решить алгебраически. Но при этом любое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были уверены ещё в 17 в. (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но только в начале 19 в. теорема была доказана Гауссом6. Вопросы, которыми занимались математики 19-го и 20-го вв., в основном выходят за рамки элементарной математики. По этой причине подчеркнём, что в 19 в. были подготовлены многочисленные методы приближённого решения уравнений. В этом направлении серьёзные результаты были получены знаменитым русским математиком Н. И. Лобачевским. ЗаключениеИстория алгебры достигает самых древних времен. Способы решения сложных квадратных уравнений были известны еще четыре тысячи лет назад. В это время в Древней Греции был распространен довольно необычный подход к алгебраическим задачам. Большинство из них были решены геометрически. В связи с использованием таких методов эволюция алгебры значительно замедлилась. Наука практически не развивалась, и из-за отсутствия специальной системы обозначений все многосложные формулы приобрели исключительно словесное определение. Своеобразный прорыв в процессе изучения алгебры случился только под конец шестнадцатого века. Причиной этому стало введение французским ученым Ф. Виетом буквенной символики для обозначения неизвестных и постоянных величин. Придуманная им система впоследствии была усовершенствована Декартом. Последующее изучение алгебры шло в очень динамичном темпе. В девятнадцатом веке получили распространение сразу несколько видов этой науки. В этот период выделяются алгебра обыкновенных и комплексных чисел, матриц, множеств, кватернионов и суждений. В каждом из этих видов математической дисциплины использовались свои правила и методы решения задач. В нынешнее время при изучении алгебры нередко пользуются современными технологиями. При помощи специальных компьютерных программ открывается новые перспективы для улучшения этой математической дисциплины и вывода ее на высокий уровень развития. Список использованных источников 1. Александров, А. Д. Математика: её содержание, методы и значение (том 3) / А.Д. Александров, А. Н. Колмогоров, М.А. Лаврентьев. - М.:, 2017. - 90 c. 2. Колмогоров, А.Н. Математика XIX века (том 1): математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей / А. Н. Колмогоров, А.П. Юшкевич. - М.:, 2015. - 282 c. 3. Курош, А.Г. (гл. ред.) Математика в СССР за сорок лет 1917-1957. Том 2. Биобиблиография / А.Г. (гл. ред.) Курош. - М.:, 2017. - 240 c. 4. Ландо, С.К. Фундаментальная математика сегодня. К 10-летию НМУ. / С.К. Ландо, О. К. Шейнман. - М.:, 2015. - 241 c. 5. Улам, С. Нерешенные математические задачи / С. Улам. - М.:, 2017. - 378 c. 6. Фомин, С.В. Математика в СССР 1958-1967. Том 2. Биобиблиография, часть 1 / С.В. Фомин, Г. Е. Шилов. - М.:, 2012. - 305 c. 1 Колмогоров, А.Н. Математика XIX века (том 1): математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей / А.Н. Колмогоров, А.П. Юшкевич. - М.: [не указано], 2015. - 82 c 2 Фомин, С.В. Математика в СССР 1958-1967. Том 2. Биобиблиография, часть 1 / С.В. Фомин, Г.Е. Шилов. - М.: [не указано], 2012. - 35 c 3 Курош, А.Г. (гл. ред.) Математика в СССР за сорок лет 1917-1957. Том 2. Биобиблиография / А.Г. (гл. ред.) Курош. - М.: [не указано], 2017. - 124 c 4 Александров, А.Д. Математика: её содержание, методы и значение (том 3) / А.Д. Александров, А.Н. Колмогоров, М.А. Лаврентьев. - М.: [не указано], 2017. - 40 c 5 Ландо, С.К. Фундаментальная математика сегодня. К 10-летию НМУ. / С.К. Ландо, О.К. Шейнман. - М.: [не указано], 2017. - 41 c 6 Ландо, С.К. Фундаментальная математика сегодня. К 10-летию НМУ. / С.К. Ландо, О.К. Шейнман. - М.: [не указано], 2015. - 45 c |