ФКП и операционное исчисление. Матем_решение. Решение Поле является потенциальным, если ротор этого поля равен нулю

• Название: Решение Поле является потенциальным, если ротор этого поля равен нулю
• Анкор: ФКП и операционное исчисление
• Дата: 01.09.2022
• Размер: 79.53 Kb.
• Имя файла: Матем_решение.docx
• Тип: Решение; #658449

Контрольная 5
4.2 Доказать потенциальность заданного векторного поля и найти его потенциал, используя криволинейный интеграл.


Решение:

Поле является потенциальным, если ротор этого поля равен нулю.

; ;

; ;

; ;

;





Значит, данное векторное поле потенциально.

Потенциал .

В качестве начальной точки возьмем точку М₀1;1;1.

Тогда




Ответ:

Контрольная 7
2.2 Пользуясь условиями Коши Римана, установить дифференцируемость функции f(z) и найти f'(z₀).

, z₀ = 0
Решение:

Поскольку z = x + yi, то:



Действительная часть функции f(z):

Мнимая часть функции f(z):

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Найдем







Условия Коши-Римана: , .

Очевидно, что эти условия выполняются.

Тогда можно найти производную:




Ответ:
3.2 Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой.

, L: {|z|=1, Re z0}
Решение:

Под интегралом аналитические функции, значит, интеграл по кривой не зависит от кривой, а только от концов кривой и можно применить интегрирование по частям.






Ответ: 2ichi
6.2 Найти решение задачи Коши, используя метод операционного исчисления

x'' − 4x = t² + 6t – 2, x(0) = 0, x'(0) = 0;
Решение:

Перейдем от оригиналов к изображениям:

L[x(p)] = X(p); L[x'(p)] = pX(p) – x(0) = pX(p) – 1;

L[x''(p)] = p²X(p) – px(0) – x'(0) = p²X(p) – 0 – 0 = p²X(p); L[t²] =  ; L[6t] =  ; L[2] =  ;

Запишем уравнение для изображений:

p²X(p) – 4X(p) =

X(p)(p² – 4) =

X(p)(p² – 4) =



Решим уравнение для изображений. Разложим дробь на простейшие дроби:







  





Найдем оригинал для функции.

=
Ответ:
7.2 Методом операционного исчисления найти частное решение заданной системы дифференциальных уравнений

x(0)=1, y(0)=0
Решение:

Перейдем от оригиналов к изображениям:

L[x(p)] = X(p); L[x'(p)] = pX(p) – x(0) = pX(p) – 1;

L[y(p)] = Y(p); L[y'(p)] = pY(p) – y(0) = pY(p).

Запишем систему для изображений:





Найдем решение системы по формулам Крамера.







Получаем:





Возвращаемся к оригиналам:




Получили решение:


Ответ: