Главная страница
Навигация по странице:

  • Г. Тюмень, ул. Мельникайте 127а, 289

  • Ответ : Уравнение прямой AH:4x-1y-1=0 или y = 4x-1 Задание 2

  • Ответ : Вершина C (2, 1) Задание 3

  • Ответ : Общее уравнение плоскости x + 4y – 5z – 15 = 0 Задание 4

  • Ответ : Координаты проекции точки M на плоскость это точка Q (1, -2, 1) Задание 5

  • Ответ :Коэффициент A = -7Задание 6

  • Ответ :Первая прямая пересекается с другими прямыми при a = 2и c = 1 Задание 7

  • Ответ :Радиус сферы R = 2 Задание 8

  • трип. Контрольная работа тригонометрия. Решение Составим общее уравнение прямой ah используя вектор bc bc (C x b x c y b y ) (6278) (41)


    Скачать 95.88 Kb.
    НазваниеРешение Составим общее уравнение прямой ah используя вектор bc bc (C x b x c y b y ) (6278) (41)
    Дата19.02.2022
    Размер95.88 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаКонтрольная работа тригонометрия.docx
    ТипРешение
    #367464







    Контрольная работа по математики №2



    8 вариант



    Баталин Михаил Михайлович

    Г. Тюмень, ул. Мельникайте 127а, 289



    Задание 1


    Даны координаты вершин треугольника A(1, 3), B(2, 8), C(6, 7). Запишите общее уравнение его высоты AH.

    Решение:

    Составим общее уравнение прямой AH используя вектор BC:

    BC = (Cx-Bx ; Cy-By) = (6-2;7-8) = (4;-1)

    Уравнение прямой будет выглядеть следующим образов:

    4x-1y+d=0, чтобы найти постоянную d подставим в уравнение координаты точки A.

    4*1-1*3+d=0

    4-3+d=0

    1+d=0

    d = -1

    Ответ:

    Уравнение прямой AH:

    4x-1y-1=0 или y = 4x-1

    Задание 2


    В треугольнике ABC из вершины A проведены высота и медиана. Даны координаты вершины B (6, 5), уравнение высоты x + y = 2 и уравнение медианы 2x − 3y + 1 = 0. Найдите координаты x0, y0 вершины C

    Решение:

    Координаты вершины A можно найти как точку высоты AH и медианы AM:



    Умножим первое уравнение на 3 и найдем x



    5x - 5 = 0

    5x = 5

    x = 1

    Подставим x в первое уравнение и найдем y

    1 + y -2 = 0

    y – 1 = 0

    y = 1

    Координаты вершины A (1,1)

    Точка M имеет координаты

    Точка C лежит на прямой BC, а точка M на медиане. Прямая ВС перпендикулярна высоте. Записываем уравнение BC:

    Ax + By – (Ax0 + By0) = 0

    -x + y – (-6+5) = 0

    -x + y + 1 = 0

    Находим x0 и y0 с помощью системы уравнений:





    Умножим первое уравнение на 3 и найдем x



    -x0 + 2 = 0

    -x0 = -2

    x0 = 2

    Подставим x в первое уравнение и найдем y

    -2 + y0 + 1 = 0

    y0 = 1

    Ответ_:_Вершина_C_(2,_1)_Задание_3'>Ответ:

    Вершина C (2, 1)

    Задание 3


    Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1,−2, 4) и M2(2,−1, 2) перпендикулярно плоскости x + 4y − 5z + 3 = 0.

    Решение:

    Плоскость p параллельна вектору плоскости p1

    Уравнение плоскости через точку M0(x0, y0, z0) имеет следующий вид:

    A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

    Плоскость p: Ax + By + Cz + D = 0 проходит через точки M1(1, -2, 4) и M2(2, -1, 2) и геометрический вектор n = (1, 4, -5)

    Найдем координаты отрезка M1M2

    M1M2 = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = (2 – 1, (-1) – (-2), 2 – 4) = (1, 1, -2)

    Подставим в уравнение плоскости координаты отрезка M1M2

    х + 4у - 5z + d = 0

    1 + 4*1 – 5*(-2) + d = 0

    d = -15

    Подставим полученные данные в уравнение плоскости

    Ответ_:_Координаты_проекции_точки_M_на_плоскость_это_точка_Q_(1,_-2,_1)_Задание_5'>Ответ:

    Общее уравнение плоскости x + 4y – 5z – 15 = 0

    Задание 4


    Найдите координаты проекции точки M (3,−1,−3) на плоскость 2x + y − 4z + 4 = 0.

    Решение:

    Проекцией точки М на плоскости p называется Q пересечения плоскости p с прямой H, проходящей через точку М перпендикулярную к плоскости p.

    Допустим



    это прямая H проходящая через точку М и перпендикулярна плоскости p. Тогда за направляющий вектор прямой H можно взять вектор плоскости p.

    Вектор n = (2, 1, -4). Найдем координаты точки Q, присвоив l, m, n координаты вектора n.


    Подставим уравнение прямой H в уравнение плоскости:

    2(3 + 2t) + (-1 + t) – 4(-3 – 4t) + 4 = 0

    6 + 4t – 1 + t +12 + 16t + 4 = 0

    4t + t + 16t + 6 – 1 + 12 + 4 = 0

    21t + 21 = 0

    21t = -21

    T = -1

    Подставим найденное значение в уравнение прямой H:





    Ответ:

    Координаты проекции точки M на плоскость это точка Q (1, -2, 1)

    Задание 5


    Найдите коэффициент A в уравнении плоскости Ax + y + Cz + D = 0, проходящей через точки P (1, 1, 8), O (0, 0, 0) параллельно прямой

    Решение:

    По условию задачи прямая параллельна плоскости, значит Al + Bm + Cn = 0

    Из уравнения прямой получаем l = 1, m = -1, n = 6 и следующее уравнение:

    A – B + 6C = 0

    На основании принадлежности точек P и O к плоскости получаем уравнение:

    A + B + 8C = 0

    Решим систему уравнений:



    Вычтем второе уравнение из первого:

    2B + 2C = 0

    B = -C

    Допустим B = -1, а C = 1, подставим текущие значения в первое уравнение:

    A – 1 + 8 = 0

    A = -7

    Ответ_:Первая_прямая_пересекается_с_другими_прямыми_при_a_=_2и_c_=_1_Задание_7'>Ответ:

    Коэффициент A = -7

    Задание 6

    При каких значениях параметров a и c прямая c пересекает две другие прямые:

    и

    Решение:

    Найдем определители из уравнений 2-ой и 3-ей прямой:





    Т.к. определители не равны нулю то z из систем можно записать в следующем виде:

    и

    Найдем общее решение 2-ой прямой:



    Умножим первое уравнение на 2



    3x = 6z + 6 + 3



    Докажем, что 1-ая и 2-ая прямые пересекаются:



    Прямые будут пересекаться при выполнение следующего равенства:

    (r2 – r1, l1, l2) = 0

    r1 = (1, 1, -1), r2 = (3, 3, 0), l1 = (a, -1, c), l2 = (2, 3, 1)

    Подставляем значения:



    Найдем общее решение 3-ей прямой:



    Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2



    3y = -3 – 2z – 4

    3y = 2z + 7



    Аналогично докажем, что 1-ая и 3-ья прямые пересекаются:

    (r3 – r1, l1, l3) = 0

    r1 = (1, 1, -1), r3 = ( , , 0), l1 = (a, -1, c), l2 = ( , , 1)

    Подставляем значения:



    Решим систему уравнений:



    a = 2c, подставим это значение в первое уравнение:

    -4с + 2с + 2 = 0

    -2с = -2

    с = 1

    подставим значение во второе уравнение:

    a = 2 * 1

    a = 2

    Ответ:

    Первая прямая пересекается с другими прямыми при a = 2иc = 1

    Задание 7


    Найдите радиус сферы, если известно, что она касается двух плоскостей x − 2y + 2z + 22 = 0 и x − 2y + 2z + 10 = 0.

    Решение:

    Сфера — это множество точек пространства, равноудаленных от центра. Расстояние между точками сферы и центром является радиус сфера.

    d(p1,p2) равно двум радиусам сферы.

    Вычислим радиус сферы по формуле:





    Т.к. это два радиуса:

    4/2 = 2

    Ответ:

    Радиус сферы R = 2

    Задание 8


    Дана кривая 9x2 + 4y2 − 36x − 64y + 256 = 0.

    1. Докажите, что эта кривая — эллипс.

    2. Найдите координаты центра его симметрии.

    3. Найдите его большую и малую полуоси.

    4. Запишите уравнение фокальной оси.

    5. Постройте данную кривую.

    Решение:

    1. Преобразуем уравнение:

    (9x2 – 36x) + (4y2 – 64y + 256) = 0

    9(x – 2)2 + 4(y – 8)2 – 36 = 0

    9(x – 2)2 + 4(y – 8)2 = 36

    Введем новые переменные x1 = x – 2, y1 = y – 8

    Тогда

    Это уравнение определяет эллипс.

    2. Центр симметрии точки О из уравнения эллипса:

    x – 2 = 0

    x = 2

    y – 8 = 0

    y = 8

    Центр эллипса находится в точке O (2, 8)

    3. Большая (a) и малая (b) полуось:





    4. Для уравнения фокальной оси найдем координаты фокусов F1 и F2







    ,

    Уравнение фокальной оси:





    Умножим на





    5. График кривой.


    Задание 9


    Дана кривая x2 − 4x + 8y = 36.

    1. Докажите, что данная кривая — парабола.

    2. Найдите координаты её вершины.

    3. Найдите значение её параметра p.

    4. Запишите уравнение её оси симметрии.

    5. Постройте данную параболу.

    Решение:

    1. Матрица квадратичной формы B:



    Определяем тип кривой, для этого составим характеристическое уравнение квадратичной формы:



    Находим p и q из уравнения:



    p = -1

    q = 0

    Находим корни уравнения матрицы B:







    Так как одно из собственных чисел равно нулю, то кривая – парабола.

    2. Преобразуем уравнение:

    (x2 – 4x – 4) + 8y – 36 + 4 = 0

    (x – 2)2 + 8y – 32 = 0

    x1 = x – 2

    y1 = 8y – 32

    Уравнение параболы:

    (x – 2)2 = -8(y – 4)

    Вершины параболы:

    x – 2 = 0

    x = 2

    y – 4 = 0

    y = 4

    3. Сравниваем последнее уравнение с каноническим уравнением параболы:

    (x – 2)2 = -2 * 4(y – 4)

    P = 4

    4. Вершина параболы в точке (2, 4)

    Прямая параллельна ОУ и проходит через точку (2, 4), получили уравнение оси симметрии x = 2

    5.


    Задание 10


    Дана кривая x2 − 8xy + 7y2 + 6x − 6y + 9 = 0.

    1. Докажите, что эта кривая — гипербола.

    2. Найдите координаты её центра симметрии.

    3. Найдите действительную и мнимую полуоси.

    4. Запишите уравнение фокальной оси.

    5. Постройте данную гиперболу.

    Решение:

    1. Матрица квадратичной формы B:



    Определяем тип кривой, для этого составим характеристическое уравнение квадратичной формы:



    Вычислим p и q:



    p = -8

    q = -9

    Находим корни уравнения матрицы B:







    Так как собственные числа имеют разные знаки, то кривая – гипербола.

    Для собственного числа получаем систему:



    Если x1 = 1, x2 = -2, то единичный собственный вектор i1 имеет координаты i1 = (1, -2). Другой собственный вектор, отвечающий собственному числу , может быть задан в виде j1 = (2, 1) таким образом, чтобы базис (i1, j1) был правым.

    От старого базиса (O, i, j) перейдем к новому базису (O, i1, j1).

    При этом





    В новой системе координат уравнение данной кривой примет следующий вид:


    Подставим данные в уравнение:







    Произведем преобразование параллельного переноса системы координат в новое начало О1 по формулам:







    2. В системе координат (О1, i1, j1) гипербола имеет уравнение:



    O1x2 = x – 2y + 1 = 0

    O1y2 = 2x + y – 3 = 0

    Решим систему уравнений:



    Умножим второе уравнение на 2



    5x = 5

    x = 1

    Находим y умножив первое уравнение на -4, а второе на 2



    10y = 10

    y = 1

    Координаты точки центра симметрии O1 = (1, 1)

    3. Действительная полуось a = 1, мнимая полуось b = 3

    4. Фокальной осью является прямая y2=0

    2x + y – 3 = 0

    5.



    написать администратору сайта