ПГУПС МАТЕМАТИКА КР1. Решение а. б. Вычислим определитель разложением по элементам первой строки Задание 08
 Скачать 0.6 Mb.
|
|
Задание 11.08 Написать уравнение плоскости в виде  , проходящей через точку М параллельно векторам  и  . ,  ,  .Решение  Решение ищем в виде:  . .Разложим определитель по элементам первой строки:  Следовательно, получили уравнение плоскости:  .Задание 12.08 Даны вершины пирамиды SPMN. S(1, 0, 0); P(0, 4, 0); M(0, 0, 2); N(6, 9,2). Найти: 1) длину ребра SN; 2) уравнение ребра SN; 3) уравнение грани SPN; 4) площадь грани SPN; 5) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань PMN; 6) длину высоты, опущенной из вершины S на грань PMN; 7) угол между ребрами SP и SN (в градусах); 8) угол между ребром SP и гранью PMN (в градусах); 9) объем пирамиды. В ответах надо приводить уравнения плоскостей и прямых в виде Аx+ Вy + Cz + D = 0 и  . Все вычисления проводить с двумя знаками после запятой.Решение 1.Длину ребра  найдём по формуле расстояния между двумя точками: 2.Уравнеие ребра запишем в каноническом виде: где  направляющий вектор прямой.3.Уравнение грани  находим по следующей формуле:  Разложим определитель по элементам первой строки:  4.Найдём площадь грани .Треугольник является половиной параллелограмма, построенного на векторах  , тогда  .      5.Найдём уравнение высоты, опущенной из вершины  на грань  Если прямая проходит через точку S(1; 0; 0)  и параллельна нормальному вектору  к грани  , то ее уравнение определяется следующим выражением: Нормальный вектор ищем из следующего выражения: Тогда координаты нормального вектора плоскости :  И уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань примет окончательный вид: .6.Найдём длину высоты, опущенной из вершины на грань Расстояние  от точки  до плоскости  определяется выражением: Но для начала найдём уравнение грани    Разложим определитель по элементам первого столбца:  Или для нашего случая  7.Найдём угол между рёбрами  и (в градусах);Угол между рёбрами будем искать как угол между двумя направляющими векторами данных прямых. Для прямой координаты направляющего вектора:  а для прямой координаты направляющего вектора:  . Тогда по формуле, находим 8.Найдём угол между ребром и гранью (в градусах);Направляющий вектор прямой имеет координаты  , а координаты нормального вектора плоскости следующие  Тогда угол найдём по следующей формуле:  9.Найдём объём пирамиды, для этого рассмотрим векторы  на которых построена данная пирамида:  Тогда,   Сделаем рисунок. Задание 13.08 Вычислить комплексное число  и найти его модуль  .Решение Умножим числитель и знаменатель на сопряжённый знаменателю множитель  :  .Получили комплексное число в алгебраической форме:  , у которого  . Модуль найдём по формуле:  .Задание 14.08 Дано комплексное число  . Требуется:а) записать число в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;б) изобразить на комплексной плоскости;в) вычислить  ;г) найти все корни уравнения  ;д) вычислить произведение полученных корней; е) составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, корнем которого является :  .Решение а) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённый знаменателю множитель  , а также умножим числитель и знаменатель на сопряжённый числителю множитель  : - алгебраическая форма комплексного числа. , где  , у нас  ,  . Анализируем аргумент, чтобы определить угол. Так как  и  , то  .Окончательно, получим тригонометрическую формулу данного числа:  .Показательная форма комплексного числа:  , тогда  б) Изобразим это число на комплексной плоскости:  в) Применим формулу:  .Мы нашли тригонометрическую форму заданного числа , тогда .г) Найдём корни уравнения  .  .Для извлечения корня применим формулу:  , где  . , д) Вычислим произведение полученных корней.  е) Составим квадратное уравнение с действительными коэффициентами, корнем которого является : .Квадратное уравнение имеет вид:  . Вспоминая теорему Виета, запишем  Один из корней  , значит второй равен  . Тогда, Тогда, квадратное уравнение примет вид:  .Задание 15.08 Для заданной функции найти точки разрыва, если они существуют, и построить график. 8.  решение: функции  являются непрерывными функциями на своих областях задания и могут иметь разрыв только в точках перехода от одной функции в другую. Проверим функцию в точке  . Так как значение функции совпадают то функция непрерывна в этой точке.В точке  . Так как значение функции не совпадают но конечны то функция в этой точке имеет разрыв первого рода в виде скачка. Задание 16.08 Найти пределы функций. 8. 1)   2)   3)  4)  5)  Задание 17.08 Найти производные функций 8. 1)   2)   3)   4)   5)   Задание 18.08 Найти производные функций. 8. 1)   2)   3)   4)   5)   6)   Задание 19.08 Найти производные функций. 8. 1)   2)   3)  найдем производную по формуле:   4)   |