Банк заданий по рациональным уравнениям. Приложение 1. Банк заданий по теме - Рациональные уравнения. Решение а Раскроем скобки х 2 12 Пусть , тогда х 2 12 t 2

• Название: Решение а Раскроем скобки х 2 12 Пусть , тогда х 2 12 t 2
• Анкор: Банк заданий по рациональным уравнениям
• Дата: 27.03.2023
• Размер: 1.61 Mb.
• Имя файла: Приложение 1. Банк заданий по теме - Рациональные уравнения.doc
• Тип: Решение; #1016997

Приложение1.

Рациональные уравнения .

№1 а) Решите уравнение х² – 12 + _{ }  

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку _{ } 

Решение. 

а) Раскроем скобки х² – 12 + _{ }

Пусть _{ } , тогда х² – 12 + _{ } = t².

Получаю уравнение t² + t = 0, откуда t = -1 или t = 0. Т.к. х ≠ 0 получаю:


б) Заметим, что – 3 < - 2,5 < - _{ }< 2 <_{ } . Получаю, что - _{ }и

2 _{ } 

Ответ: а)_{ }
№2. Решите уравнение: (х + 3)⁴ + (х + 5)⁴ = 16.

Решение. 

Преобразуем уравнение: ((х + 4) - 1)⁴ + ((х + 4) + 1)⁴ = 16.

Пусть х + 4 = у, тогда (у - 1)⁴ + (у + 1)⁴ = 16

(у⁴ – 4у³ + 6у² – 4у +1) + (у⁴ + 4у³ + 6у² + 4у +1) = 16;

2у⁴ + 12у² – 14 =0;

у⁴ + 6у² – 7 =0.

Пусть у² = а, где а > 0.

а² + 6а – 14 =0, корни уравнения: а₁=-7, а₂=1

а = - 7 не подходит по условию а > 0.

Возвращаемся к переменной у:

у² =1, у = ±1.

Возвращаемся к переменной х:

х + 4 = -1 х + 4 = 1

х = -5 х = - 3

Ответ: -5; -3.
№3. а) Решите уравнение

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [-2;2].
Решение. Условие: х-2 0; х 2.

Введу замену переменной: t= .

Тогда

.

Значит, исходное уравнение можно переписать в виде:



Вернусь к исходной переменной x.
1) Если t=4, то Решу получившееся дробно-рациональное уравнение при условии, что х 2.



2) Если t= , то Решу получившееся дробно-рациональное уравнение при условии, что х 2.






б) Выберу из получившихся корней те, которые принадлежат отрезку [-2;2].
х= х= х=4 х= -1 .


Ответ: а) . б)

В ходе решения рациональных уравнений у учеников возникает необходимость:

а) в решении квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным;

б) в решении простых дробных рациональных уравнений;

в) в умении решать уравнения методом введении новой переменной.

г) в отработке применений формул сокращенного умножения;

д) в решение биквадратных уравнений.

е) в умении, при отборе корней, оценивать выражения, содержащих квадратные корни.

Для отработки этих подзадач предлагаем ученикам соответствующего рода задания.

№1. Решите квадратное уравнения:

1) -3х² + 75 = 0 Ответ: -5 ; 5 .

2) 4х² + 12х = 0 Ответ: 0; - 3.

3) 4х² + 8 = 0 Ответ: нет корней

_{ }Ответ: 2;7

_{ }Ответ: -1

_{ }Ответ: 1,5; 4

№2. Найдите корни уравнения:

1) _{ }   Ответ: 6

2) _{ }  Ответ: −0,4

3) _{ }   Ответ: 1





№3. Решите уравнения методом введения новой переменной:

1) х⁴ -13х² + 12 = 0 Ответ: -2_{ } ; -1; 1; 2_{ } .

2) х⁴ -5х² + 4 = 0 Ответ: -2; -1; 1; 2.

3) х⁴ + 40х² - 41 = 0 Ответ: -1; 1

4) (2х – 21)² - 5(2х – 21) + 4 = 0 Ответ: 11; 12,5

5) (х + 3)² - 4(х + 3) = 21 Ответ: -10; 4

6) (5х + 3)² = 3(5х + 3) - 2 Ответ: -0,2; -0,4

№4. Оцените значение выражения:

Ответы:
5. Решить рациональные уравнения повышенного (высокого) уровня сложности:

1. а) Решите уравнение

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [-6;-4].
Ответ: а) . б)
2. а) Решите уравнение _{ } + _{   }  

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку _{ } 

Ответ: -1; 4; 6±_{ }

3. а) Решите уравнение _{ } + _{   }  

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку _{ } 

Ответ: -1; 5; 7±_{ }
4. Решите уравнение: (х - 2)⁴ + (х - 3)⁴ = 1.

Ответ: 2; 3.
5. Решите уравнение: (х - 2)⁶ + (х - 4)⁶ = 64.

Ответ: 2; 4.