Диффуры. Решение дифференциального уравнения
 Скачать 213.94 Kb.
|
Определение: Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов): F(x, y(x), y’(x), y’’(x), … y(n)(x)) = 0 (1) т.е. уравнение, в которое входят производные функции, и может входить сама функция, независимая переменная и параметры. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала). Пример: y(4) – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция  , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество. Любое уравнение порядка  имеет множество частных решений. Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение Ф(x, y, C1, C2, …Cn) = 0 (2) что: 1) Любое решение (2)  относительно y (для набора постоянных C1, C2, …, Cn из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1); 2) Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn.
Функция P(x, y) называется однородной функцией порядка n, если для всех t > 0 справедливо следующее соотношение: P(tx,ty)=tnP(x,y). Дифференциальное уравнение первого порядка y’=f(x, y) называется однородным, если правая часть удовлетворяет соотношению f(tx,ty)=f(x,y) для всех значений t. Другими словами, правая часть должна являться однородной функцией нулевого порядка по отношению к переменным x и y: f(tx,ty)=t0f(x,y)=f(x,y). Однородное дифференциальное уравнение можно также записать в виде:  ;или через дифференциалы: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, где P(x,y) и Q(x,y) − однородные функции одинакового порядка.
ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y(x) и её производная y’(x) входят в уравнение в первой степени:  (1)Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции:  (2)Неоднородное ДУ — ДУ, которое содержит не равный тождественно нулю свободный член имеет вид (1) Свойства решений: Св-ва решений ЛОДУ: 1) Пусть y(x) – решение ур-ния (2), тогда для любой постоянной С функция y1(x)=C*y(x) – также является решением ур-ния (2). 2)Пусть y1 и y2 - частные решения ур-ния (2), тогда линейная комбинация этих решений также является частным решением ур-ния (2):  , где  и  - постоянныеСв-ва решений ЛНДУ: Структура общего решения ЛНДУ (ур-ние (1)) представлена в виде суммы общего решения ЛОДУ (2) и частного решения ЛНДУ (1), т.е. имеет следующий вид: yон = yoo + yчн , где yон – общее решение линейного неоднородного ДУ; yoo – общее решение линейного однородного ДУ yчн - частное решение линейного неоднородного ДУ Методы решений
Пусть дано ур-ние y’ + p(x)y = f(x) (1) Шаг 1 Решаем уравнение, обнулив правую часть y’ + p(x)y = 0 ; ; ; ; (3)Шаг2 Константу С представляем в виде функции С(х), тогда (3) имеет вид:  (4)Подставим (4) в исходное ур-ние (1):  Получим   Вернем С(х) в ур-ние (4):  – общее решение ЛНДУ (уон), гдеyоо =  ,yчн = 
Решение ур-ния (1) ищется в виде:  , где  – неизвестные функции от х  , , ,Пусть выражение в скобке  = 0, тогда получаем систему:  ,  (*)Пусть С = 1 (т.к. нужна только одна функция) Подставив (*) во 2 ур-ние системы, получим:   Таким образом, yон =   Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется ДУ вида  , где  ,  (при m = 0 уравнение линейно, при m = 1 - с разделяющимися переменными).Решается следующим способом: производится замена  ,  – ЛНДУ от функции Z, которое решается одним из вышеуказанных методов.
Уравнением в полных дифференциалах называется ур-ние вида  ,(P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что  Условие для ур-ния в полных дифференциалах:  Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений  Из первого уравнения системы восстанавливаем функцию  с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции  (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x); затем из второго уравнения определяется . В случае, когда не выполняется условие и ур-ние не является ур-нием в полных дифференциалах, то иногда можно подобрать интегрирующий множитель  такой что, если на него домножить исходное ур-ние: , то получится ур-ние в полных дифференциалах.Нахождение интегрирующего множителя (два случая)
Найдем частную производную по у:  И по х:     Т.к.  зависит от x, то и правая часть должна зависеть от х, обозначим ее как   – ур-ние с разделяющимися переменнымиТ.к зависит только от x, то производная  – обычная, а не частная. Таким образом,  
получим 
Уравнение вида F(x,y,y′)=0, где F − непрерывная функция, называется уравнением первого порядка, не разрешенным относительно производной. Если это уравнение можно решить относительно y′, то мы получаем одно или несколько явных дифференциальных уравнений вида y′=f(x,y), решаемое известными способами. В случае, когда уравнение невозможно привести к явной форме, чтобы его решить, используется метод введения параметра:  Допустим ур-ние разрешено относительно у. Введем замену  и получим .Найдем дифференциал левой и правой частей  Т.к.  , то  – поучившееся ДУ решается одним из известных методов и находится  .Полученный ответ записывается в виде  (по возможности следует исключить из системы переменную p).Уравнение Лагранжа Дифференциальное уравнение вида  , где  − известные функции, дифференцируемые на некотором интервале, называется уравнением Лагранжа. Полагая  и дифференцируя по переменной x, получаем общее решение уравнения в параметрической форме: Уравнение Клеро Уравнение Клеро имеет вид:  , где  − некоторая нелинейная дифференцируемая функция. Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа, когда  . Оно решается аналогичным образом с помощью введения параметра. Общее решение определяется выражением  , в котором С – произвольная постоянная.
Общее решение любого дифференциального уравнения первого порядка у' = f(х;у) содержит бесчисленное множество частных решений. Возникает естественный вопрос: как из этого множество частных решений выделить интересующее нас конкретное частное решение? Очевидно, требуется какое-то дополнительное условие. Если дифференциальное уравнение первого порядка у' = f(х;у) задано вместе с начальным для него условием  , то говорят, что для данного уравнения задана Задача Коши: Решить её - это значит найти те частные решения дифференциального уравнения у' = f(х;у) , которые еще удовлетворяют и заданному начальному условию .Теорема существования и единственности решения задачи Коши:  1) Пусть функция f(х,у) определена и непрерывна в некоторой области  плоскости x0yи точка (x0; y0)принадлежит этой области.Тогда: существует решение задачи Коши, определенное на интервале (x0 − δ, x0 + δ) (где δ = min{a; b/m}, m = const). 2) Если в доб. к условию 1) частная производная fy(х,у) определена и непрерывна в той же области, то решение задачи Коши единственно в этом интервале (x0 − δ, x0 + δ).
Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида F (x, y(x), y '(x), y ''(x), …, y(n)(x)) = 0 Метод решения уравнений, допускающих понижение порядка, состоит в том, что в исходном уравнении делается такая замена z(x) или p(y), относительно которой получается ур-ние более низкого порядка. 1 случай В уравнение не входит искомая функция y, т.е. уравнение имеет вид: F(x, y(k), y(k+1), . . . , y(n)) = 0. Тогда порядок уравнения можно понизить с помощью замены y(k) = z(x). 2 случай В уравнение не входит независимая переменная x, т.е. уравнение имеет вид F(y, y’, y’’, . . . , y(n)) = 0. Тогда порядок уравнения понижается с помощью замены y’ = p(y). 3 случай Уравнение однородно относительно y и его производных, т.е. F(x, ky, ky’, ky’’, . . . , ky(n)) = kmF(x, y, y’, y’’, . . . , y(n)). Тогда порядок ур-ния понижается подстановкой y’ = yz, где z – новая неизвестная функция. 4 случай Уравнение однородно относительно x и y в обобщенном смысле, т.е. F(kx, kmy, km−1y’, km−2y’’, . . . , km−ny(n)) = kmF(x, y, y’, y’’, . . . , y(n)). Для этого ур-ния делается замена x = et, y = zemt, где z = z(t) – новая неизвестная ф-ция, а t – новая независимая переменная. Данная замена приводит к уравнению, не содержащему независимую переменную t. Порядок такого уравнения понижается одним из ранее рассмотренных способов.
Функции f1(x), . . . , fn(x) называются линейно независимыми, если их линейная комбинация α1f1(x) + . . . + αnfn(x) = 0 только в случае, когда α1 = α2 = . . . = αn = 0. Функции f1(x), . . . , fn(x) называются линейно зависимыми, если существуют такие α1, α2 , . . .αn , не все равные нулю, что линейная комбинация α1f1(x) + . . . + αnfn(x) = 0. Пусть функции y1(x), y2(x), . . . , yn(x) имеют производные до (n − 1)-го порядка. Тогда определитель  называется определителем Вронского.Теорема1 Если система функций линейно зависима, то их определитель Вронского равен нулю. Лемма1 Если y1(x), y2(x), . . . , yn(x) — линейно независимые решения уравнения Ly = 0, то определитель Вронского W(y1, . . . , yn) не обращается в нуль ни в одной точке области существования решений уравнения. (Если a1(x), . . . , an(x) ∈ (a, b), то W(y1, . . . , yn) не равн 0 ни при каком x0∈ (a, b)).
Формула Лиувилля устанавливает связь между вронскианом W(x), построенном на базе частных решений y1(x),y2(x),…yn(x) и коэффициентом a1(x) в дифференциальном уравнении.  где a1(x) — коэффициент при y(n−1) в уравнении Ly = 0.
Система n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n называется фундаментальной системой решений. Опред: Функции y1(x), . . . , yn(x) наз. линейно независимыми, если их линейная комбинация C1y1(x)+ . . . + Cnyn(x)= 0 тогда и только тогда, когда C1 = … Cn. Cистема n решений данного линейного однородного дифференциального уравнения порядка n является фундаментальной тогда и только тогда, когда ее определитель Вронского не равен нулю. Любое решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка n есть линейная комбинация его фундаментальных решений. Линейное однородное дифференциальное уравнения порядка n не можетиметь более чем n линейно независимых частных решений. |
