КР3 Высшая математика Лизунов АА. Решение. Для нахождения точек экстремума, применим необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции

• Название: Решение. Для нахождения точек экстремума, применим необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции
• Дата: 06.03.2023
• Размер: 0.6 Mb.
• Имя файла: КР3 Высшая математика Лизунов АА.doc
• Тип: Документы; #971902

Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Дальневосточный государственный университет путей сообщения АмИЖТ – филиал ДВГУПС в г. Свободном
Кафедра «Высшая математика»

Контрольная работа №3

По дисциплине: «Высшая математика»

Вариант № 3

Выполнил:

Лизунов Андрей Александрович

Шифр: 21 – ЭЖД(С) лет– 463

Проверила: Буря Л.В


Свободный 2022г.

Задачи 200-300

203. Дана функция двух переменных. Найти первые и вторые частные

производные:

.

.

Решение.

Частные производные функции нескольких переменных определяются как производные этой функции по одному из них при условии, что остальные переменные считаются постоянными.

Найдем частные производные первого и второго порядков функции :

.

.









213. Исследовать функцию на экстремум.

.

Решение.

Для нахождения точек экстремума, применим необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции:



;

.

Получаем:



Точки – точка экстремума.

Для проверки наличия и характера экстремума функции в точке требуется определить знак определителя



Вычислим частные производные второго порядка:







Тогда .

Определяем характер точки экстремума:

В точке :

Тогда

Так как то в точке экстремум максимум.

Тогда .

Ответ .

223. Дана функция скалярного поля . Требуется:

1) построить линии уровня при 4-х значениях c;

2) найти производную функции u в точке A по направлению вектора ;

3) найти в точке A;

4) найти наибольшую скорость изменения функции в точке A.

, , .

Решение.

1) Линией уровня функции двух переменных называется линия на плоскости XOY, принадлежащая D(z), в каждой точке которой функция принимает одно и то же значение.

Семейство линий уровня определяется уравнением .

Это семейство веток параболы.

Тогда для строим линии уровня.


Найдем частные производные функции .

Частная производная по переменной х является обыкновенной производной функции одной переменной х при фиксированном значении переменных у и z и обозначается . Т.о.

.

При вычислении (частной производной по переменной у) переменные х и z считают постоянными. Тогда

.

Вычислим значения частных производных в точке :

;

.

2) Производная функции в точке по направлению вектора вычисляется по формуле

,

где направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам , .

Для вектора они равны

; .

Тогда производная функции u в точке A по направлению вектора равна

.

3) Градиент функции в точке –это вектор, равный:

, где значения частных производных функции по переменным x,y, соответственно, в точке A.

Тогда .

4) Модуль вектора градиента функции равен наибольшей скорости изменения функции в заданной точке. Находим:

.

233. Прейти к полярным координатам и вычислить.

, где – круг: .

Решение.

Выполним схематический чертеж области:



Перейдем к полярным координатам по формулам:



Тогда:



Заданная область получается при: .

Применяя формулу:

.

Получаем:



Ответ: .
243. Найти работу силы при перемещении материальной точки

вдоль дуги линии от точки до точки .

; где от до .

Решение.

Работа находится по формуле:

.

Находим: , тогда:

Ответ: .


253. Дан числовой ряд . Записать четыре первых члена ряда. Исследовать на сходимость числовой ряд.

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) .

Придавая последовательно значения находим три первых члена ряда.

.

Исследуем на сходимость по признаку Даламбера.

, .

Тогда:



на основании признака Даламбера заключаем, что исследуемый ряд сходится.

б) .

Придавая последовательно значения находим три первых члена ряда.

.

Исследуем на сходимость используя радикальный признак Коши.



Поскольку

то ряд сходится.

в) .

Придавая последовательно значения находим три первых члена ряда.

.

Воспользуемся предельным признаком сравнения.

Сравним ряд с обобщенным гармоническим рядом –расходится.

Тогда: , .



Значит, ряд также сходится.
263. Дан знакочередующийся числовой ряд . Записать четыре первых члена ряда. Определить: условно, или абсолютно сходится этот ряд.

а) ; б) .

Решение.

а) .

Придавая последовательно значения находим три первых члена ряда.

.

Ряд знакочередующийся.

Воспользуемся признаком Лейбница:

1)

2) , т.е.

Следовательно, исходный ряд сходится.

Составим ряд из модулей членов ряда:

.

Воспользуемся предельным признаком сравнения.

Сравним ряд с обобщенным гармоническим рядом – сходится.

Тогда: , .



Значит, ряд также сходится.

Значит, заданный ряд сходится абсолютно.

б) .

Придавая последовательно значения находим три первых члена ряда.

.

Ряд знакочередующийся.

Воспользуемся признаком Лейбница:

1)

Следовательно, исходный ряд расходится.

273. Определить область сходимости данного степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на границах области.

.

Решение.

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле: .

Т.к. и , то

.

Итак, радиус сходимости ряда . Определим интервал сходимости данного степенного ряда:

.

Т.о., – интервал сходимости степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Пусть . Подставим в заданный степенной ряд и получим знакочередующийся ряд

.

Для членов полученного ряда выполняются условия: .

В соответствии с признаком Лейбница данный ряд сходится и принадлежит области сходимости степенного ряда.

Пусть . Подставим в заданный степенной ряд и получим числовой ряд с положительными членами:



Применим предельный признак сравнения. Общий член исследуемого ряда

Будем сравнивать с расходящимся обобщенным гармоническим рядом . С общим членом . Находим значение предела:



Следовательно, ряд сходится и принадлежит области сходимости степенного ряда. Итак, областью сходимости данного степенного ряда является промежуток .

Ответ: .
283.Вычислите определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена и затем проинтегрировав его почленно.

.

Решение.

Воспользуемся разложением подынтегральной функции в ряд. Используем формулу:



Получаем:



Тогда заданный интеграл:





Т.к. второй член разложения , то заданный интеграл будет:



Ответ: 0,016.

293. Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале .



Решение.

Разложение функции на интервале в ряд Фурье имеет вид:

.







Разложение функции в ряд Фурье примет вид:

.

Ответ: .

Список литературы

1. 
   Математика: Практикум: Учебное пособие. Ч. Часть 2
   

2018, Северо-Кавказский Федеральный университет (СКФУ)

2. 
   Математика: Учебное пособие
   

2015, Балдин К.В., Башлыков В.Н., Рукосуев А.В., Юнити

3. 
   Математика:учебник
   

2017, Сахарова Л.В., Издательско – полиграфический комплекс РГЭУ (РИНХ).