Решение для разных начальных условий с помощью ms excel. Начальные значения констант возьмем равными N031, P03, a0,1, b0,3, c0,01, d0,01

• Название: Решение для разных начальных условий с помощью ms excel. Начальные значения констант возьмем равными N031, P03, a0,1, b0,3, c0,01, d0,01
• Дата: 26.12.2021
• Размер: 38.29 Kb.
• Имя файла: 2.2.docx
• Тип: Решение; #318356

Практическая работа 2.2

Задание 1

Пусть N(t) – численность жертв (зайцев), P(t) – численность хищников в момент времени t (рысь). Тогда модель Лотки–Вольтерры имеет вид:

(1)

где а, b, c, d – положительные постоянные.

Напомним, что система уравнений (1) основана на следующих допущениях:

 при отсутствии хищников жертвы размножаются неограниченно согласно уравнению 𝑑𝑁/𝑑𝑡 = 𝑎𝑁, которое называют иногда уравнением Мальтуса;

 хищники при отсутствии жертв вымирают согласно уравнению 𝑑𝑃/𝑑𝑡 = −𝑑𝑃;

 слагаемые, пропорциональные произведению NP, рассматриваются как превращение энергии одного источника в энергию другого (эффект влияния популяции хищников на популяцию жертв, то есть результат их встречи, состоит в уменьшении скорости прироста 𝑑𝑁/𝑑𝑡 численности жертв на величину NP, пропорциональную численности хищников).

Теперь в этих уравнениях (1):

N – численность популяции объектов охоты («жертв»);

P – численность древних охотников («хищников») в рассматриваемом ареале;

cNP – скорость рождения «хищников»;

dP – смертность «хищников»;

aN – скорость гибели «жертв» (считается, что их пищевая база неограниченна);

bNP – скорость гибели «жертв» за счет их истребления «хищниками» (считается, что это единственная причина смертности «жертв»).

Введем дополнительные обозначения: N0 – численность популяции зайцев (жертв), M 0 – численность популяции волков (хищников) в стартовый момент времени; Nt , Pt – численности популяций в t -й момент времени. Предполагается, что зайцы располагают неограниченным пространством и неограниченным количеством пищи, а также, что волки питаются зайцами.

Два дифференциальных уравнения моделируют временную динамику численности двух биологических популяций жертвы N0 и хищника P0. Предполагается, что жертвы размножаются с постоянной скоростью a, а их численность убывает вследствие поедания хищниками. Хищники же размножаются со скоростью, пропорциональной количеству пищи (с коэффициентом b), и умирают естественным образом (смертность определяется константой d). В формуле для прироста численности зайцев появляется отрицательное слагаемое, учитывающее количество зайцев, ставших пищей для волков c. Рассчитаем решение для разных начальных условий с помощью MS Excel. Начальные значения констант возьмем равными N0=31, P0=3, a=0,1, b=0,3, c=0,01, d=0,01.

Для начала введем начальные значения популяций для хищника и для жертвы, за тем в соответствии с системой уравнений введем формулы для каждой популяции. Количество шагов примем равным 140. В результате получаем следующую таблицу значений для каждой популяции в момент времени t:

t	N(t)	P(t)	t	N(t)	P(t)	t	N(t)	P(t)	t	N(t)	P(t)	t	N(t)	P(t)
0	31,00	3,00	29	27,89	2,91	58	25,74	3,74	87	32,12	4,90	116	41,57	2,65
1	31,31	3,03	30	28,25	2,85	59	25,42	3,58	88	30,61	5,00	117	42,42	2,96
2	31,59	3,07	31	28,66	2,80	60	25,24	3,41	89	29,08	5,03	118	42,89	3,33
3	31,84	3,12	32	29,12	2,76	61	25,18	3,25	90	27,59	4,99	119	42,90	3,76
4	32,05	3,18	33	29,63	2,73	62	25,24	3,09	91	26,22	4,87	120	42,35	4,24
5	32,20	3,24	34	30,16	2,72	63	25,42	2,95	92	25,02	4,68	121	41,20	4,77
6	32,29	3,31	35	30,71	2,73	64	25,71	2,81	93	24,01	4,45	122	39,43	5,30
7	32,31	3,39	36	31,27	2,75	65	26,12	2,69	94	23,20	4,18	123	37,10	5,80
8	32,26	3,47	37	31,82	2,78	66	26,62	2,59	95	22,61	3,90	124	34,36	6,21
9	32,13	3,54	38	32,34	2,83	67	27,21	2,50	96	22,23	3,61	125	31,39	6,48
10	31,92	3,62	39	32,83	2,90	68	27,90	2,43	97	22,04	3,33	126	28,43	6,57
11	31,65	3,69	40	33,26	2,98	69	28,65	2,38	98	22,04	3,06	127	25,66	6,47
12	31,31	3,75	41	33,61	3,08	70	29,47	2,35	99	22,22	2,82	128	23,25	6,19
13	30,92	3,80	42	33,87	3,19	71	30,34	2,33	100	22,56	2,60	129	21,26	5,77
14	30,48	3,83	43	34,01	3,31	72	31,25	2,34	101	23,06	2,41	130	19,71	5,27
15	30,03	3,85	44	34,03	3,45	73	32,18	2,37	102	23,70	2,24	131	18,56	4,72
16	29,56	3,85	45	33,92	3,58	74	33,11	2,42	103	24,48	2,10	132	17,79	4,18
17	29,10	3,84	46	33,66	3,72	75	34,01	2,50	104	25,38	1,98	133	17,34	3,67
18	28,66	3,80	47	33,27	3,86	76	34,86	2,60	105	26,41	1,89	134	17,16	3,21
19	28,25	3,75	48	32,74	3,99	77	35,63	2,73	106	27,55	1,82	135	17,22	2,80
20	27,90	3,69	49	32,10	4,10	78	36,28	2,88	107	28,80	1,78	136	17,50	2,44
21	27,60	3,61	50	31,36	4,18	79	36,78	3,06	108	30,14	1,76	137	17,97	2,13
22	27,37	3,52	51	30,56	4,24	80	37,08	3,27	109	31,57	1,76	138	18,62	1,88
23	27,22	3,43	52	29,73	4,26	81	37,15	3,50	110	33,06	1,79	139	19,43	1,66
24	27,14	3,33	53	28,90	4,25	82	36,97	3,75	111	34,59	1,84	140	20,41	1,49
25	27,14	3,24	54	28,11	4,21	83	36,51	4,01	112	36,13	1,93
26	27,22	3,15	55	27,37	4,13	84	35,76	4,27	113	37,66	2,05
27	27,37	3,06	56	26,72	4,02	85	34,76	4,52	114	39,11	2,20
28	27,60	2,98	57	26,17	3,89	86	33,52	4,73	115	40,44	2,40

Исходя из данных таблицы получаем следующий график:


Из моделирования можно сделать следующие выводы:

- Фазовые кривые системы уравнений Лотки-Вольтерра замкнуты.

- Численность популяций хищников и жертв меняется периодически.

- Период колебаний зависит от начальной численности популяций и коэффициентов системы .

- Средняя численность популяции не зависит от начального значения, но зависит от коэффициентов системы.
Задание 2

Для модели бесклассового сообщества характерна низкая плотность населения и общинная (родовая) организация человеческого сообщества. Человек полностью зависел от природы, шла постоянная борьба за выживание, а главным из добываемых ресурсов была пища. Человек был частью экосистемы и отличался от других стайных хищников, по-существу, лишь умением использовать для собственных нужд огонь и примитивные орудия труда.

Изменение численности населения в конкретном ареале, в основном, определялось состоянием ресурсной базы и может быть описано моделью «хищник-жертва» - системой уравнений (1). Теперь в этих уравнениях:

- N - численность популяции объектов охоты («жертв»);

- P - численность древних охотников («хищников») в рассматриваемом ареале;

- cNP - скорость рождения «хищников»;

- dP - смертность «хищников»;

- aN - скорость гибели «жертв» (считается, что их пищевая база неограниченна);

- bNP - скорость гибели «жертв» за счет их истребления «хищниками» (считается, что это единственная причина смертности «жертв».

Решения этих уравнений анализировались в 1 задании. Поскольку охотники-собиратели потребляли то, что было произведено в природе без их участия, численность популяции определялась внешними условиями, повлиять на которые они не могли. В модели численность охотников-собирателей колеблется около среднего значения P₀ = a/b. Заметим, что именно этим объясняется относительная стабильность численности населения Земли на протяжении всего каменного века до эпохи неолита.

Когда человек приручил животных и научился возделывать культурные растения, он превратился из охотника-собирателя в скотовода и земледельца. Таким образом, значительно увеличился коэффициент а и равновесная численность людей, поскольку величина коэффициента b, характеризующего потребление, осталась примерно на прежнем уровне.

Задание 3

Простая модель борьбы двух противников называется моделью Ланчестера-Осипова. В модели Ланчестера-Осипова состояние системы описывается точкой (x, у) положительного квадранта плоскости. Координаты этой точки x и у - численности противостоящих армий. Уравнения модели имеют следующий вид:

(4)

где а и b - мощность оружия армии x и армии у, соответственно.

Другими словами, каждый солдат армии x убивает за единицу времени а солдат армии у (и соответственно каждый солдат армии у убивает b солдат армии x). Таким образом, общая эффективность всех выстрелов армии x дается как ax, а для армии у - как by. Предполагается, что непрерывная аппроксимация достаточно хороша, и скорость изменения численности войск пропорциональна эффективности выстрелов противной стороны. Жесткая модель (4) допускает точное решение в виде:

(5)

Изменение численности армий x и у происходит вдоль гиперболы, заданной уравнением (5). По какой именно гиперболе пойдет война, зависит от начальной точки. Гиперболы разделены прямой . Если начальная точка лежит выше этой прямой, то гипербола выходит на ось у. Это означает, что в ходе войны численность армии x уменьшается за конечное время до нуля - армия у выигрывает, противник уничтожен. Если же начальная точка лежит ниже прямой, то выигрывает армия х. На прямой же война заканчивается истреблением обеих армий. Но на это требуется бесконечно большое время: конфликт продолжает тлеть, когда оба противника уже обессилены. Из соотношения (5) следует, что на прямой . Тогда первое уравнение системы (4) принимает вид:



Его решением является:



где С = const;

x → 0 при t →∞.

Из модели (4) следует вывод, что для борьбы с вдвое более многочисленным противником необходимо иметь в четыре раза более мощное оружие, с втрое более многочисленным - в девять раз и т.д. На это указывают квадратные корни в уравнении прямой.

Ясно, что получившаяся жесткая модель сильно идеализирована, и её нельзя применять к реальной ситуации. В таком случае необходимо преобразовать систему к следующему виду:



Эта система уравнений уже не решается в явном виде. Но модель за счет изменений a(x, у) и b(x, у) становится «мягкой». Кривые на плоскости (x, у) уже не гиперболы и разделяет их не прямая (рис. 6). Но основной качественный вывод остается прежним: ситуации «x выигрывает» и «у выигрывает» разделены нейтральной линией «обе армии уничтожают друг друга за бесконечное время».