Геометрия решение контрольной работы Иващенко Иван Андреевич. Решение Итак, дана окружность с центром в точке и точка, не лежащая на этой окружности (см рис. 1). Нужно построить прямую, проходящую через точку и касающуюся окружности.
![]()
|
Вариант 3. 1 ![]() ![]() Дано: ![]() Построение: 2. Докажите любой признак равенства треугольников. 1 ![]() Доказательство: Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1В1, угол А равен углу А1, и угол В равен углу В1. Докажем, что они равны. Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A1B1C1 так, чтобы AB совпало с A1B1. Так как ∠ВАС =∠В1А1С1 и ∠АВС=∠А1В1С1, то луч АС совпадёт с А1С1, а ВС совпадёт с В1С1. Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС. Теорема доказана. Вариант 4. Постройте касательную к данной окружности, проходящую через заданную точку. Решение: Итак, дана окружность с центром в точке ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1 Первый этап. Анализ Анализ не требует точных построений. И рассуждения начинаются с конца: «предположим, мы уже построили касательную». Обозначим точку касания ![]() ![]() ![]() Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1 Как мы уже сказали, свойством касательной к окружности является тот факт, что касательная перпендикулярна радиусу, который проведен в точку касания: ![]() Продолжим ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 3. Иллюстрация к задаче 1 Полученный большой треугольник ![]() ![]() ![]() Рис. 4. Иллюстрация к задаче 1 В этом треугольнике мы знаем все три стороны: ![]() ![]() Треугольник по трем сторонам строить мы умеем. Похоже, мы решили задачу. Переходим к следующим этапам. Обратите внимание, что нашей целью было свести задачу к одной из тех, которые мы умеем решать. В данном случае нам удалось свести к задаче о построении треугольника по трем сторонам. Второй этап. Построение Начертим окружность с центром в точке ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1 Получить радиус в два раза больший данного можно разными способами. Например, можно использовать диаметр первой окружности. Далее проведем окружность с центром в точке ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 6. Иллюстрация к задаче 1 Точку пересечения ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 7. Иллюстрация к задаче 1 Третий этап. Доказательство После построения необходимо доказать, что мы построили именно то, что нас просили. Доказательство обычно почти повторяет первый пункт – анализ, но требует четкой записи. Итак, докажем, что в самом деле касательная. Рассмотрим треугольник ![]() ![]() Рис. 8. Иллюстрация к задаче 1 Т. к. ![]() ![]() ![]() ![]() Т. к. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 9. Иллюстрация к задаче 1 Значит, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Доказано. Четвертый этап. Исследование Здесь изучается вопрос: всегда ли в рамках заданных условий решение у задачи есть и сколько их. По нашим анализам и построениям мы видим, что решения всегда есть и их два. Через точку ![]() ![]() ![]() Рис. 10. Иллюстрация к задаче 1 Задача решена. Докажите любой из признаков подобия треугольников. Теорема 1 (первый признак): Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого. Доказательство Дано: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Доказать: ![]() ![]() ![]() Доказательство: ![]() По теореме о сумме углов треугольника ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Докажем, что стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А1В1С1. Так как ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так как ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Итак, стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А1В1С1. Теорема доказана. |