задачи. Решение изначально имеем одноканальную смо с неограниченной длиной очереди

• Название: Решение изначально имеем одноканальную смо с неограниченной длиной очереди
• Анкор: задачи
• Дата: 22.04.2023
• Размер: 60.56 Kb.
• Имя файла: 50.docx
• Тип: Закон; #1080929

Задание 1
“У Петра” - маленький магазин с одним прилавком. Предположим, что покупатели прибывают в магазин по закону Пуассона со средней скоростью 15 покупателей в час. Время обслуживания распределено экспоненциально, средняя скорость обслуживания 20 покупателей в час.

Рассчитайте:

• 
  среднее время, которое покупатель проводит в очереди;
  
• 
  среднюю длину очереди;
  
• 
  среднее время, которое покупатель проводит в магазине;
  
• 
  вероятность того, что в магазине не окажется покупателей.
  

Владелец магазина хочет ограничить среднее время ожидания обслуживания пятью минутами. Он решил, что было бы желательно усовершенствовать сервис с помощью реализации одной из следующих альтернатив:

1. 
   Нанять продавца, который бы выполнял заказ, в то время как кассир рассчитывается с покупателем. Это позволит увеличить среднюю скорость обслуживания до 30 покупателей в час. Будет ли в данном случае достигнута искомая цель?
   

2. 
   Нанять второго работника (кассира), тем самым создать в магазине двухканальную очередь (средняя скорость обслуживания - 20 клиентов в час для каждого из работников). Какое решение следует принять
   

Решение: изначально имеем одноканальную СМО с неограниченной длиной очереди
Интенсивность потока заявок



Интенсивность обслуживания



Коэффициент загрузки


Вероятность того, что в магазине не окажется покупателя

Поскольку любая заявка может быть обслужена, то относительная пропускная способность Q=1.
Абсолютная пропускная способность


Среднее число заявок в очереди

Среднее число заявок в СМО (обслуживаемые и в очереди)

Среднее время, которое покупатель проводит в очереди

Среднее время, которое покупатель проводит в магазине

1. Нанимаем продавца.
Опять имеем одноканальную СМО с неограниченной длиной очереди
Интенсивность потока заявок



Интенсивность обслуживания



Коэффициент загрузки


Вероятность того, что в магазине не окажется покупателя

Поскольку любая заявка может быть обслужена, то относительная пропускная способность Q=1.
Абсолютная пропускная способность

Среднее число заявок в очереди


Среднее число заявок в СМО (обслуживаемые и в очереди)

Среднее время, которое покупатель проводит в очереди


Среднее время, которое покупатель проводит в магазине

Таким образом, цель сократить среднее время ожидания до 5 минут выполнена
2. Нанять второго работника
Имеем двуканальную СМО с неограниченной длиной очереди
Интенсивность потока заявок



Интенсивность обслуживания



Коэффициент загрузки


Вероятность того, что в магазине не окажется покупателя

Поскольку любая заявка может быть обслужена, то относительная пропускная способность Q=1.
Абсолютная пропускная способность


Среднее число заявок в очереди

Среднее число заявок в СМО (обслуживаемые и в очереди)


Среднее время, которое покупатель проводит в очереди

Среднее время, которое покупатель проводит в магазине

Поскольку среднее время ожидания ниже во втором случае, то следует нанять второго работника.
Задание 2
На окружности расположены шесть точек , равноотстоящих друг от друга. Частица движется из точки в точку следующим обратом. Из данной точки она перемешается в одну из ближайших соседних точек с вероятностью ¼ - или в диаметрально противоположную точку с вероятностью ½. Записать матрицу вероятностей перехода для этого процесса и построить граф соответствующий этой матрице
Решение: процесс имеет шесть состояний, элемент матрицы определяет вероятность перехода из состояния в состояние j.
Построим граф:

Соответствующая матрица


Задание 3
В соответствии со стандартом содержание активного вещества в продукции должно составлять 10% Выборочная контрольная проверка 100 проб показала содержание активного вещества 15 % На уровне значимости 0,05 выяснить, должна ли продукция быть забракована. Рассмотреть два случая:

а) конкурирующая гипотеза p₁ ≠ 0.1;

б) конкурирующая гипотеза p₁ > 0.1.
Решение: нулевая гипотеза H₀ = 0.1, генеральное среднее , выборочное среднее .
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем стандартную нормальную случайную величину


Наблюдаемое значение критерия

а) конкурирующая гипотеза p₁ ≠ 0.1;
По таблице функции Лапласа находим критическую точку по равенству



Поскольку – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, т.е. продукция не должна быть забракована.
б) конкурирующая гипотеза p₁ > 0.1;
По таблице функции Лапласа находим критическую точку по равенству



Поскольку – нулевую гипотезу отвергаем, т.е. принимаем гипотезу p₁ > 0.1, продукция должна быть забракована.

Задание 4
Решить задачу 3 при условии, что население города неизвестно, а известно лишь, что оно очень большое по сравнению с объемом выборки
Выборка ( ):

Xi. (руб)	Менее 500	500-1000	1000-1500	1500-2000	2000-2500	Свыше 2500
Ni	58	96	239	328	147	132

Получаем следующую задачу:
а) найти вероятность того, что доля малообеспеченных жителей города (с доходом менее 500 руб.) отличается от доли таких же жителей в выборке не более чем на 0,01 (по абсолютной величине);
б) определить границы, в которых с надежностью 0,98 заключена доля малообеспеченных жителей города;
в) каким должен, быть объем выборки, чтобы те же границы для доли малообеспеченных жителей города гарантировать с надежностью 0,9973.
г) как изменились бы результаты, полученные в п. а) и в), если бы о доле малообеспеченных жителей вообше не было ничего неизвестно.
Решение: доля малообеспеченных жителей

Если объем генеральной совокупности достаточно ве­лик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокуп­ность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.
Средняя квадратическая ошибка для доли повторной выборки вычисляется по формуле:

а) Вероятность того, что доля отличается от доли в выборке на можно вычислить по формуле:

б) Доверительный интервал определяется по формуле:

Где : , следовательно

Доверительный интервал:




в) чтобы гарантировать с вероятностью 0,9973 те же границы, т.е.





Тогда




Т.е. необходимо не менее 1658 наблюдений.
г) как изменились бы результаты, полученные в п. а) и в), если бы о доле малообеспеченных жителей вообще не было ничего неизвестно.

Если доля неизвестна, то для определения средней квадратической ошибки выборки в качестве принимаем его максимальное возможное значение



Соответственно средняя квадратическая ошибка выборки возрастёт.

Тогда, вероятность того, что доля отличается от доли в выборке на уменьшится, а число необходимых наблюдении для попадания в тот же интервал не изменится (если считать, что в пункте в) доверительный интервал также считается для неизвестной доли малообеспеченных жителей).