решение уравнений. Практическая работа №3 Решение уравнений. Решение квадратного уравнения Используется для нахождения корней многочлена второй степени вида f

• Название: Решение квадратного уравнения Используется для нахождения корней многочлена второй степени вида f
• Анкор: решение уравнений
• Дата: 11.01.2023
• Размер: 82.17 Kb.
• Имя файла: Практическая работа №3 Решение уравнений.docx
• Тип: Решение; #881308

Решение уравнений

1. Решение квадратного уравнения

Используется для нахождения корней многочлена второй степени вида:

f( x)ax² bxc

Порядок выполнения:

1. 
   Вводятся коэффициенты уравнения.
   
2. 
   Вводится матрица, состоящая из данных коэффициентов, записанных в обратном порядке. Производится еѐ транспонирование.
   
3. 
   Для нахождения решения используется функция polyroots
   

Пример:

Решить квадратное уравнение:

x²  2x 8  0

1. 
   Ввод коэффициентов уравнения.
   

a 1 b 2 c 8

2. 
   Вводится матрица, состоящая из коэффициентов, записанных в об- ратном порядке. Производится еѐ транспонирование.
   

v ( c b a ) ^T

3. 
   Для нахождения решения используется функция polyroots.
   

2

r polyroots(v) r =

4

2. Символьное решение уравнений

Порядок выполнения:

1. 
   Ввести уравнение.
   
2. 
   Синим уголком курсора выделить переменную, относительно которой нужно решить уравнение.
   
3. 
   В главном меню выбрать команду Symbolics→Variable→Solve
   

(Символьныевычисления→Переменная→Решить).

Пример:

Символьно найти решение уравнения относительно переменной h:

2h3  h b 0

1. 
   Ввод уравнения. В качестве знака равно использовать знак Булева ра- венства (вводится сочетанием клавиш [Ctrl]+[=]).
   

2h²  h  b 0

2. 
   Выделение переменной, относительно которой проводится решение.
   

3. 
   Решение уравнения при помощи команды Symbolics → Variable →
   

Solve (Символьные вычисления → Переменная → Решить).

_ ^{8b  1} _ ¹ _





_ 

4

8b  1

4

4 <sub>

1</sub> 

 _{4 }

Недостаток использования меню Symbolics заключается в том, что най- денное решение не пересчитывается автоматически при изменении выражения или входящих в него величин и не участвует в последующих расчетах.

Достоинством использования меню Symbolics является то, что ранее принятые численные значения величин не учитываются в символьных расчетах.

Если выделенное выражение не имеет символьного решения (а большин- ство уравнений не имеет символьного решения), то Mathcad сообщает об ошибке:

«No solution was found» («Решение не найдено»).

3. Численное решение уравнений

Функция root решает уравнения итерационным методом секущих и по- этому требует задания перед собой начальных значений. Кроме того, функция root, выполняя вычисления методом спуска, находит и выводит только один ко- рень, ближайший к начальному приближению. Для поиска остальных корней уравнения необходимо задание других начальных значений.

Пример:

Найти корни уравнения в диапазоне от -4 до 3:
x3  6x 2  0

1. 
   Ввод диапазона, где определяется корень.
   

x 4.. 3

2. 
   Ввод уравнения.
   

f( x)

x³ 6^.x 2

3. 
   Поиск интервалов, где происходит смена знака функции.
   

-4
-3
-2
-1
0
1
2
3

-38
-7
6
7
2
-3
-2
11

x  f (x) 
Данных интервалов 3 (-3…-2, 0…1, 2..3), следовательно уравнение на заданном интервале имеет 3 корня.

4. 
   Задание точности вычисления корня.
   

TOL 10 ⁵

5. 
   Задание начального положения для поиска. Задается как среднее зна- чение между значениями переменной, где происходит смена знака функции.
   

_{x } 3  2

2

x  2.5

6. 
   Вычисление корня
   

X1  root (f (x)  x)
X1  2.602

7. 
   Проверка решения. Значение функции должно быть близко к 0.
   

f (X1)  3.553

 15

10

8. 
   Вычисление второго корня.
   

_{x } 0  1

2

X2  root (f (x)  x)
f (X2)  6.095

 11
x  0.5
X2  0.34

10

9. 
   Вычисление третьего корня
   

_{x } 2  3

2

X3  root (f (x)  x)

10
f (X3)  3.052

 10
x  2.5
X3  2.262

4. Поиск экстремума функции

С помощью функции root можно найти и экстремум функции, приравняв производную к нулю. Функции должно предшествовать начальное приближение.

Для нахождения экстремума функции следует:

1. 
   Задать начальное приближение, наиболее близко расположенное к экстремуму. Для его поиска необходимо определить, на каких интервалах проис- ходит смена знака производной функции.
   
2. 
   Записать выражение с функцией root, включив в качестве функции, которая должна быть равна нулю, производную по заданной переменной;
   
3. 
   Вычислить значение заданной функции от найденного корня.
   

Пример:

Найти экстремумы уравнения в диапазоне от -4 до 3:
x3  6x 2  0

1. 
   Ввод диапазона.
   

x 4.. 3

2. 
   Ввод уравнения.
   

f( x)

x³ 6^.x 2

3. 
   Поиск интервалов, где происходит смена знака производной функции
   

^d f (x) 

-4
-3
-2
-1
0
1
2
3

42
21
6
-3
-6
-3
6
21

x  _dx
Данных интервалов 2 (-2…-1, 1…2), следовательно уравнение на заданном диапазоне имеет 2 экстремума.

4. 
   Задание точности вычисления экстремума.
   

TOL 10 ⁵

5. 
   Задание начального положения для поиска экстремума. Задается как среднее значение между значениями переменной, где происходит смена знака градиента функции.
   

_{x } 2  1

2

x  1.5

6. 
   Нахождение первого экстремума
   

X1  root ^d f (x)  x^
X1  1.414

_dx _

7. 
   Вычисление значения функции в экстремуме.
   

f (X1)  7.657

8. 
   Нахождение второго экстремума.
   

_{x } 1  2

2

X2  root ^d f (x)  x^

x  1.5
X2  1.414

_dx _

f (X2)  3.657

5. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Известно, что система линейных уравнений в матричной форме A∙X=B. Вектор решения получается из X=A-1∙B.

Для решения систем линейных уравнений в MathCAD существует встро- енная функция lsolve(A,B), которая возвращает вектор X для системы линейных уравнений при заданной матрице коэффициентов и векторе свободных членов.

Также используются системы линейных уравнений для вычисления оп- ределителя по формулам Крамера – точный метод решения. Решение линейной системы методом Гаусса – приближенный метод.

Функции, предназначенные для решения задач линейной алгебры, можно разделить на три группы:

• 
  функции определения матриц и операции с блоками матриц;
  
• 
  функции вычисления различных числовых характеристик матриц;
  
• 
  функций, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры.
  

Пример:

Решить систему линейных уравнений:

^x2 y3z1



^2 x3 y z2



^x2 y5z3

1. 
   Преобразуем данную систему:
   

^1x2 y3z1



^2 x3 y1z2



^1x2 y5z3

2. 
   Матрица коэффициентов системы:
   

1 2 3

A 2 3 1

1 2 5

3. 
   Вектор свободных членов
   

1

b 2

3

4. 
   Решение системы
   

X A ^1.b

5. 
   Результаты решения
   

8

X = 5

1

6. 
   Проверка решения
   

0

A^.X b = 0

0

7. 
   Решение с применением функции Isolve
   

X lsolve( A, b)

8

X = 5

1

1. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера

Порядок выполнения

1. 
   Переменной ORIGIN присвоить значение равное единице.
   
2. 
   Ввести матрицу коэффициентов системы.
   
3. 
   Ввести вектор свободных членов (столбец правых частей).
   
4. 
   Вычислить определитель матрицы системы. Система имеет единст- венное решение, если определитель отличен от нуля.
   
5. 
   Вычислить определителей матрицы, полученных заменой соот- ветствующего столбца столбцом правых частей.
   
6. 
   Определить решение системы по формулам Крамера.
   

Пример:

Решить систему линейных уравнений:

^x2 y3z1



^2 x3 y z2



^x2 y5z3

1. 
   Преобразуем данную систему:
   

^1x2 y3z1



^2 x3 y1z2



^1x2 y5z3

2. 
   Матрица коэффициентов системы:
   

1 2 3

A 2 3 1

1 2 5

3. 
   Вектор свободных членов
   

1

b 2

3

4. 
   Присваиваем переменной ORIGIN значение 1.
   

ORIGIN 1

5. 
   Вычисляем определителя матрицы системы.
   

 A  = 2

6. 
   Вычисление определителей матрицы
   

1 2 3

1 2 3 1

3 2 5

1 1 3

2 2 2 1

1 3 5

1 2 1

3 2 3 2

1 2 3

1 = 16

2 = 10

3 = 2

7. 
   Определение решения системы по формулам Крамера
   

_x 1



_y 2



_z 3



x = 8

y = 5

z = 1

2. Решение линейной системы методом Гаусса (метод гауссовых ис- ключений)

Порядок выполнения:

1. 
   Переменной ORIGIN присвоить значение равное единице.
   
2. 
   Ввести матрицу системы и вектор-столбец правых частей.
   
3. 
   Сформировать расширенную матрицу системы при помощи функции
   

augment(A,b).

4. 
   Привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду при помощи функции rref(Ar).
   
5. 
   Сформировать столбец решений системы при помощи функции sub- matrix(Ag,1,3,4,4).
   

Пример:

Решить систему линейных уравнений:

^x2 y3z1



^2 x3 y z2



^x2 y5z3

1. 
   Преобразуем данную систему:
   

^1x2 y3z1



^2 x3 y1z2



^1x2 y5z3

2. 
   Матрица коэффициентов системы:
   

1 2 3

A 2 3 1

1 2 5

3. 
   Вектор свободных членов
   

1

b 2

3

4. 
   Присваиваем переменной ORIGIN значение 1.
   

ORIGIN 1

5. 
   Формирование расширенной матрицы системы
   

Ar augment(A, b)

Ar =

1 2 3 1

2 3 1 2

1 2 5 3

6. 
   Приведение расширенной матрицы системы к ступенчатому виду
   

Ag rref( Ar )

Ag =

1 0 0 8

0 1 0 5

0 0 1 1

7. 
   Формирование столбца решения системы
   

8

x submatrix( Ag , 1, 3, 4, 4)

x = 5

1

6. Решения нелинейных уравнений

1. 
   Решение трансцендентных уравнений
   

Многие уравнения, например трансцендентные, не имеют аналитических решений. Однако они могут решаться численными методами с заданной по- грешностью. Для простейших уравнений вида F(x)=0 решение находится с по- мощью функции root. Эта функция возвращает значение переменной с указан- ным уровнем, при котором выражение дает 0.

Пример:

Решить уравнение 3-ей степени:
x3  6x2  21x 52  0

1. 
   Ввод коэффициентов полинома.
   

a3 1 a2 6 a1 21 a0 52

2. 
   Ввод полинома.
   

f(x)

a3^.x³

a2^.x²

a1^.x a0

3. 
   Вычисление действительного корня с помощью функции root.
   

x 0 x1 root( f( x), x) x1= 4

4. 
   Вычисление двух других корней.
   

i 1 x 1

1^.i

x2 root , x

x3 root

x2= 1 +3.464i
^{, x} x3= 1 3.464i

2. Решение систем нелинейных уравнений при помощи блока «Giv- en – Find»

При решении систем нелинейных уравнений используется специальный вычислительный блок, открываемый служебным словом – директивой Given – и имеющий следующую структуру:

1. 
   Ввод начальных приближений
   

2. Given

3. 
   Уравнения
   
4. 
   Выражения с функциями find и minerr
   

Пример:

Решить систему нелинейных уравнений:

^2 x y5 z²



^ y³ 4 z4



_xy ze^z

1. 
   Задание начальных приближений для всех неизвестных.
   

x 1 y 1 z 0

2. 
   Ввод уравнений в блок решения уравнения.
   

Given

24. 
    y 5
    

2. 
   z²
   

y³ 4^.z 4

24. 
    z e^z
    

vec find( x, y, z)

2. 
   Найденное решение.
   

1.325

vec =

1.823

0.513

7. Символьное решение систем уравнений

нужно:

Для того, чтобы найти решение системы уравнений в символьном виде,

1. 
   Ввести слово Given.
   
2. 
   Ввести уравнения и неравенства ниже слова Given.
   
3. 
   Ввести функцию Find с аргументами-неизвестными.
   
4. 
   Убедиться в том, что команда Использоватьсимволикув меню Ма-
   

тематикаотмечена галочкой, в противном случае выберите эту команду.

5. 
   Ввести комбинацию клавиш [Ctrl]+[+]. Mathcad выводит стрелку
   

вправо.

6. 
   Щѐлкнуть вне области действия функции Find. Mathcad вырабатыва-
   

ет результат в виде вектора. Результаты размещаются в том же порядке, в кото- ром были перечислены неизвестные-аргументы функции Find.

Пример:

Найти координаты точки пересечения 2-х прямых:

^^{x2 ya}



^^{4 x yb}

1. 
   Ввод уравнений в блок решения уравнения
   

Given

x 2^.^.y a

4^.x y b

2. 
   Найденное решение.
   

1

^.( 2^.^.b a)

Find( x, y)

( 1 8^.)

( 4^.a b)

( 1 8^.)