Главная страница

Вариант 9 (Восстановлен). Решение. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего неоднородному уравнению (1) (2)


Скачать 38.97 Kb.
НазваниеРешение. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего неоднородному уравнению (1) (2)
Дата15.05.2019
Размер38.97 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файлаВариант 9 (Восстановлен).docx
ТипРешение
#77286

1. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

y´+ y = (1)

Решение. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего неоднородному уравнению (1):

(2)

Запишем . Получаем

Проинтегрируем обе части уравнения:

, где С=const.

- общее решение уравнения (2).

В уравнение (1) вместо y подставим , допустив, что С - некоторая функция от х, т.е. .

Получаем, .

Подставляем в исходное уравнение:







Итак, - общее решение уравнения (1).

2. (19) Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

. (1)

Решение. Уравнение (1) явно не содержит переменную y, значит допускает решить уравнение понижением степени производной.

Заменим u = y´, тогда y´´ = u´ и уравнение принимает вид u´·tgx = u + 1, а это уже уравнение 1-й степени. Решим его:





Вспомним, что tgx =.

Проинтегрируем

.

Отсюда .

Вспомним, что u = y´,

Проинтегрируем, , , где С и С1 = постоянные.

3. (39)Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Запишем соответствующее однородное уравнение , характеристическое уравнение имеет вид

.

Так как правая часть уравнения представляет собой многочлен второй степени, то частное решение будем искать в виде , ,

Подставим выражения для , , в исходное уравнение:

,

,



Приравниваем коэффициенты левой и правой частей и находим A, B и C:



Отсюда, и где С1 и С2 - некоторые постоянные.

Теперь найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .





Получаем систему линейных уравнений относительно переменных C1 и С2:







Ответ: - частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.

4.(49) Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами



Требуется: 1) Найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать в матричной форме систему и ее решение.

Решение.

1) Запишем характеристическое уравнение:

Значит общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:

где С1 и С2 - некоторые постоянные.

Найдем коэффициенты .





- общее решение системы дифференциальных уравнений.

2) Запишем матрицу системы линейных уравнений и матрицу неизвестных тогда система уравнений имеет вид:

, а ее общее решение

.

5 (59) Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(-1;1) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси Ох касательной, проведенной в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания.

Решение. Пусть кривая задана уравнением y=f(x). Тогда уравнение касательной имеет вид:

y=f(x0)+f´(x0)(x-x0).

Отрезок, который эта кривая отсекает от оси Ох:

0= f(x0)+f´(x0)(x-x0).

Отсюда найдем х (длину отрезка):

f´(x0)(x-x0)= - f(x0), f´(x0)x- f´(x0)x0= - f(x0), f´(x0)x= f´(x0)x0 - f(x0), .

По условию , т.е. , ,

.

Проинтегрируем обе части:

По условию при x=-1, y=1.

Итак, искомая функция имеет вид:

6 (69) Исследовать ряд на сходимость:

а) ;

Решение. Применим признак Даламбера и найдем , значит ряд сходится.

б)

Решение. Данный ряд является знакочередующимся.

Применим признак Лейбница:

1) и 2) .

Следовательно ряд сходится.

Рассмотрим ряд , состоящий из исходного ряда. Сравним его с расходящимся гармоническим рядом используя предельный признак сравнения:

значит ряд расходится и ряд сходится условно.

7 (79) Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Найдем .

Чтобы ряд сходился необходимо, чтобы выполнялось условие , т.е.

.

(-6;-4) - интервал сходимости.

Рассмотрим этот ряд на концах интервала и выясним его сходимость.

При х = - 6 получаем знакочередующийся ряд.

Применим признак Лейбница:

1) ; 2) следовательно ряд сходится.

Рассмотрим ряд состоящий из модулей членов знакочередующегося ряда .

Сравним его с расходящимся гармоническим рядом , используя предельный признак сравнения:

значит ряд расходится.

Ряд сходится условно.

При х = -4 получаем . Он расходится как мы уже выяснили.

Ответ: (-6;-4) - интервал сходимости степенного ряда, при х= - 6 ряд сходится условно.

8. (89) Вычислить с помощью рядов (точность до 0,001):

а) .

Решение:

Преобразуем .

Теперь применим биномиальное разложение



.

.

б) .

Решение. Используем табличное разложение

В нашем случае . Получаем



9. (99) Найти 4 первых члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям y(1) = 0.

Решение. Разложение решения дифференциального уравнения в ряд выглядит так:



Начальное условие y(1) = 0 дает первый член этого ряда. Подставим х=1, у=0 в уравнение:

. И второй член этого ряда также равен 0.

Продифференцируем исходное уравнение:

Найдем .

Найдем .

.

Подставим найденные значения в ряд, получим:

.

10. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2l, заданную на промежутке (-l;l] следующими равенствами: f(x)=2x, -1<x≤1, l=1.

Решение. Функция f(x)=2x является нечетной, поэтому коэффициенты аn=0 и функция раскладывается в ряд Фурье только по синусам:

.

Найдем

Таким образом .


написать администратору сайта