Вариант 9 (Восстановлен). Решение. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего неоднородному уравнению (1) (2)
![]()
|
![]() y´+ y = ![]() Решение. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего неоднородному уравнению (1): ![]() Запишем ![]() ![]() Проинтегрируем обе части уравнения: ![]() ![]() В уравнение (1) вместо y подставим ![]() ![]() Получаем, ![]() Подставляем в исходное уравнение: ![]() ![]() ![]() Итак, ![]() 2. (19) Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка ![]() Решение. Уравнение (1) явно не содержит переменную y, значит допускает решить уравнение понижением степени производной. Заменим u = y´, тогда y´´ = u´ и уравнение принимает вид u´·tgx = u + 1, а это уже уравнение 1-й степени. Решим его: ![]() ![]() Вспомним, что tgx = ![]() Проинтегрируем ![]() Отсюда ![]() Вспомним, что u = y´, ![]() Проинтегрируем, ![]() ![]() 3. (39)Найти частное решение дифференциального уравнения ![]() ![]() Решение. Запишем соответствующее однородное уравнение ![]() ![]() ![]() Так как правая часть уравнения представляет собой многочлен второй степени, то частное решение будем искать в виде ![]() ![]() ![]() Подставим выражения для ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Приравниваем коэффициенты левой и правой частей и находим A, B и C: ![]() Отсюда, ![]() ![]() Теперь найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям ![]() ![]() ![]() Получаем систему линейных уравнений относительно переменных C1 и С2: ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() 4.(49) Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ![]() Требуется: 1) Найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать в матричной форме систему и ее решение. Решение. 1) Запишем характеристическое уравнение: ![]() ![]() ![]() Найдем коэффициенты ![]() ![]() ![]() ![]() 2) Запишем матрицу системы линейных уравнений ![]() ![]() ![]() ![]() 5 (59) Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(-1;1) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси Ох касательной, проведенной в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания. Решение. Пусть кривая задана уравнением y=f(x). Тогда уравнение касательной имеет вид: y=f(x0)+f´(x0)(x-x0). Отрезок, который эта кривая отсекает от оси Ох: 0= f(x0)+f´(x0)(x-x0). Отсюда найдем х (длину отрезка): f´(x0)(x-x0)= - f(x0), f´(x0)x- f´(x0)x0= - f(x0), f´(x0)x= f´(x0)x0 - f(x0), ![]() По условию ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Проинтегрируем обе части: ![]() По условию при x=-1, y=1. ![]() Итак, искомая функция имеет вид: ![]() 6 (69) Исследовать ряд на сходимость: а) ![]() Решение. Применим признак Даламбера и найдем ![]() б) ![]() Решение. Данный ряд является знакочередующимся. Применим признак Лейбница: 1) ![]() ![]() Следовательно ряд сходится. Рассмотрим ряд ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 7 (79) Найти область сходимости степенного ряда ![]() Решение. Найдем ![]() Чтобы ряд сходился необходимо, чтобы выполнялось условие ![]() ![]() (-6;-4) - интервал сходимости. Рассмотрим этот ряд на концах интервала и выясним его сходимость. При х = - 6 получаем ![]() Применим признак Лейбница: 1) ![]() ![]() Рассмотрим ряд ![]() ![]() Сравним его с расходящимся гармоническим рядом ![]() ![]() ![]() Ряд ![]() При х = -4 получаем ![]() Ответ: (-6;-4) - интервал сходимости степенного ряда, при х= - 6 ряд сходится условно. 8. (89) Вычислить с помощью рядов (точность до 0,001): а) ![]() Решение: Преобразуем ![]() Теперь применим биномиальное разложение ![]() ![]() ![]() б) ![]() Решение. Используем табличное разложение ![]() В нашем случае ![]() ![]() ![]() 9. (99) Найти 4 первых члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения ![]() Решение. Разложение решения дифференциального уравнения в ряд выглядит так: ![]() Начальное условие y(1) = 0 дает первый член этого ряда. Подставим х=1, у=0 в уравнение: ![]() Продифференцируем исходное уравнение: ![]() Найдем ![]() Найдем ![]() ![]() Подставим найденные значения в ряд, получим: ![]() 10. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2l, заданную на промежутке (-l;l] следующими равенствами: f(x)=2x, -1<x≤1, l=1. Решение. Функция f(x)=2x является нечетной, поэтому коэффициенты аn=0 и функция раскладывается в ряд Фурье только по синусам: ![]() Найдем ![]() Таким образом ![]() |