Вариант 9 (Восстановлен). Решение. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего неоднородному уравнению (1) (2)
 Скачать 38.97 Kb.
|
 1. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядкаy´+ y =  (1)Решение. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего неоднородному уравнению (1):  (2)Запишем  . Получаем  Проинтегрируем обе части уравнения:  , где С=const. - общее решение уравнения (2).В уравнение (1) вместо y подставим  , допустив, что С - некоторая функция от х, т.е.  .Получаем,  .Подставляем в исходное уравнение:    Итак,  - общее решение уравнения (1).2. (19) Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка  . (1)Решение. Уравнение (1) явно не содержит переменную y, значит допускает решить уравнение понижением степени производной. Заменим u = y´, тогда y´´ = u´ и уравнение принимает вид u´·tgx = u + 1, а это уже уравнение 1-й степени. Решим его:   Вспомним, что tgx =  .Проинтегрируем  .Отсюда  .Вспомним, что u = y´,  Проинтегрируем,  ,  , где С и С1 = постоянные.3. (39)Найти частное решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальным условиям  .Решение. Запишем соответствующее однородное уравнение  , характеристическое уравнение имеет вид   .Так как правая часть уравнения представляет собой многочлен второй степени, то частное решение будем искать в виде  ,  ,  Подставим выражения для  ,  ,  в исходное уравнение: , , Приравниваем коэффициенты левой и правой частей и находим A, B и C:  Отсюда,  и  где С1 и С2 - некоторые постоянные.Теперь найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .  Получаем систему линейных уравнений относительно переменных C1 и С2:    Ответ:  - частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.4.(49) Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами  Требуется: 1) Найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать в матричной форме систему и ее решение. Решение. 1) Запишем характеристическое уравнение:   Значит общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид: где С1 и С2 - некоторые постоянные.Найдем коэффициенты  .   - общее решение системы дифференциальных уравнений.2) Запишем матрицу системы линейных уравнений  и матрицу неизвестных  тогда система уравнений имеет вид: , а ее общее решение .5 (59) Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(-1;1) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси Ох касательной, проведенной в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания. Решение. Пусть кривая задана уравнением y=f(x). Тогда уравнение касательной имеет вид: y=f(x0)+f´(x0)(x-x0). Отрезок, который эта кривая отсекает от оси Ох: 0= f(x0)+f´(x0)(x-x0). Отсюда найдем х (длину отрезка): f´(x0)(x-x0)= - f(x0), f´(x0)x- f´(x0)x0= - f(x0), f´(x0)x= f´(x0)x0 - f(x0),  .По условию  , т.е.  ,  ,  .Проинтегрируем обе части:  По условию при x=-1, y=1.  Итак, искомая функция имеет вид:  6 (69) Исследовать ряд на сходимость: а)  ;Решение. Применим признак Даламбера и найдем  , значит ряд сходится.б)  Решение. Данный ряд является знакочередующимся. Применим признак Лейбница: 1)  и 2)  .Следовательно ряд сходится. Рассмотрим ряд  , состоящий из  исходного ряда. Сравним его с расходящимся гармоническим рядом  используя предельный признак сравнения: значит ряд расходится и ряд  сходится условно.7 (79) Найти область сходимости степенного ряда  .Решение. Найдем  .Чтобы ряд сходился необходимо, чтобы выполнялось условие  , т.е.  .(-6;-4) - интервал сходимости. Рассмотрим этот ряд на концах интервала и выясним его сходимость. При х = - 6 получаем  знакочередующийся ряд.Применим признак Лейбница: 1)  ; 2)  следовательно ряд сходится.Рассмотрим ряд  состоящий из модулей членов знакочередующегося ряда .Сравним его с расходящимся гармоническим рядом , используя предельный признак сравнения: значит ряд расходится.Ряд сходится условно.При х = -4 получаем . Он расходится как мы уже выяснили.Ответ: (-6;-4) - интервал сходимости степенного ряда, при х= - 6 ряд сходится условно. 8. (89) Вычислить с помощью рядов (точность до 0,001): а)  .Решение: Преобразуем  .Теперь применим биномиальное разложение   . .б)  .Решение. Используем табличное разложение  В нашем случае  . Получаем   9. (99) Найти 4 первых члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения  , удовлетворяющего начальным условиям y(1) = 0.Решение. Разложение решения дифференциального уравнения в ряд выглядит так:  Начальное условие y(1) = 0 дает первый член этого ряда. Подставим х=1, у=0 в уравнение:  . И второй член этого ряда также равен 0.Продифференцируем исходное уравнение:  Найдем  .Найдем  .  .Подставим найденные значения в ряд, получим:  .10. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2l, заданную на промежутке (-l;l] следующими равенствами: f(x)=2x, -1<x≤1, l=1. Решение. Функция f(x)=2x является нечетной, поэтому коэффициенты аn=0 и функция раскладывается в ряд Фурье только по синусам:  .Найдем  Таким образом  . |