Вышмат-1_Задание_1_Вариант_14-1-12. Решение Найдем решение уравнения Находим определитель и получаем Таким образом, получаем собственные значения

Название	Решение Найдем решение уравнения Находим определитель и получаем Таким образом, получаем собственные значения
Дата	27.12.2021
Размер	60.41 Kb.
Формат файла
Имя файла	Вышмат-1_Задание_1_Вариант_14-1-12.docx
Тип	Решение #319403

Раздел 1. Линейная алгебра

Задание 1.14

Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.

Решение:

Найдем решение уравнения:

Находим определитель и получаем:

Таким образом, получаем собственные значения:

Для каждого λ найдем его собственные векторы:

1.

Таким образом,

Задание 2.1

Доказать совместность системы и решить её тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса и средствами матричного исчисления.

Решение:

По теореме Кронекера-Копелли для того, что бы система линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, что бы ранг основной матрицы.

Так как rang|A|=3 равен rang|B|=3, но меньше количества неизвестных n=4, то система имеет множество решений. В таком случае следует использовать метод Гаусса.

Ответ:

Решение в векторном виде:

Задание 3.12

Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравнений.

Решение:

Рассмотрим основную матрицу и с помощью преобразований Гаусса получим эквивалентную ей с точки зрения решений системы:

Получаем эквивалентную систему и решение системы:

Ответ:

- общее решение системы.

Раздел 2. Векторная алгебра

Задание 1.14

Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку А перпендикулярно вектору

. Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках. Составить уравнение плоскости

, проходящей через точки А, В, С. Найти угол между плоскостями P и P₁. Найти расстояние от точки D до плоскости Р.

A=(1;0;2); B=(-2;0;6); C=(-3;1;2); D=(-1;2;4).

Решение:

Вектор

Найдем уравнение плоскости P:

Найдем уравнение плоскости P₁:

Вычислим угол между плоскостями:

Найдем расстояние от точки D до плоскости P:

Задание 2.1

Прямая l задана в пространстве общими уравнениями. Написать её каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой l₁, проходящей через точку М параллельно прямой l, и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М на прямую l и точку пересечения прямой l и плоскости Р.

Решение:

Находим направляющий вектор прямой:

Находим точку прямой, приравняв нулю одну из координат:

тогда каноническое уравнение имеет вид:

Параметрическое уравнение прямой

Составить уравнение прямой l₁ , проходящей через точку М параллельно прямой l.

Вычислим расстояние между ними.

Находим точки прямых: M1(19/11; 12/11; 0) и точка М(1; 2; 3).

Вычислим координаты вектора М1М

Находим векторное произведение

Тогда расстояние равно:

Находим проекцию точки М на прямую l, для этого находим плоскость, проходящую через эту точку с нормальным вектором s

Находим точку пересечения плоскости и прямой. Записываем параметрическое уравнение прямой

и подставим в уравнение плоскости

Вычисляем искомые координаты пересечения точки

Тогда точка пересечения

Находим точку пересечения плоскости и прямой. Записываем параметрическое уравнение прямой

и подставим в уравнение плоскости P

Вычисляем искомые координаты пересечения точки

Тогда точка пересечения

Раздел 3. Аналитическая геометрия

Задание 1.12

Даны координаты вершин треугольника АВС. Составить уравнения сторон треугольника. Составить уравнения медианы, высоты и биссектрисы угла А, найти их длины. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам.

A=(1;2); B=(3;4); C=(-1;2)

Решение:

Найдем соответствующие векторы: AB=(2;2); AC=(-2;0); BC=(-4;-2).

Составим уравнения сторон треугольника:

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам:

Найдем уравнение медианы:

Найдем длину медианы:

Найдем уравнение высоты AH. Она перпендикулярна прямой

и проходит через A, т.е., имеет вид:

Найдем длину высоты:

Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим K. Уравнение AB: y=x+1, уравнение AC: y-2=0.

Уравнение биссектрисы имеет вид:

Уравнение прямой, параллельной BC, проходящей через точку A:

Уравнение прямой, параллельной AC, проходящей через точку B:

Уравнение прямой, параллельной AB, проходящей через точку C:

Задание 2.14

По координатам вершин пирамиды АВСD средствами векторной алгебры найти:

1) длины ребер АВ и АС;

2) угол между ребрами АВ и АС;

3) площадь грани АВС;

4) проекцию вектора AB на AC;

5) объем пирамиды.

A=(3;-5;2); B=(4;5;1); C=(-3;0;-4); D=(-4;5;-6).

Решение:

Составим уравнение векторов при точке A:

Найдем длины векторов:

Найдем угол между ребрами АВ и АС как угол между соответствующими векторами:

Площадь грани АВС найдем как площадь треугольника через векторное произведение векторов AB и AC:

Найдем проекцию вектора AB на AC:

Найдем объем пирамиды, используя смешанное произведение: