10 вариант 27.04.21. Решение Найдем решение задачи аналитическим методом

Название	Решение Найдем решение задачи аналитическим методом
Дата	02.09.2022
Размер	415.71 Kb.
Формат файла
Имя файла	10 вариант 27.04.21.docx
Тип	Решение #659826

Содержание

Задание 1 2

Задание 2 6

Задание 3 9

Задание 4 12

Список использованных источников 15

Задание 1

Условие:

Найти решение игры, заданной матрицей А:

а) аналитическим методом;

б) графическим методом.

Решение:

Найдем решение задачи аналитическим методом.

Чистой стратегией игрока I является выбор одной из n строк матрицы выигрышей А, а чистой стратегией игрока II является выбор одного из столбцов этой же матрицы.

Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки	B₁	B₂	a = min(A_i)
A₁	3	7	3
A₂	6	2	2
b = max(B_i)	6	7

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры

a = max(a_i) = 3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A₂.

Верхняя цена игры b = min(b_j) = 6.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 3 ≤ y ≤ 6. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.

Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.
3. Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Запишем систему уравнений.

Для игрока I

Для игрока II

Решение найдем по следующим формулам:

p₁ = ¹/₂ (вероятность применения 1-ой стратегии).

p₂ = ¹/₂ (вероятность применения 2-ой стратегии).

Оптимальная смешанная стратегия игрока I: P = (¹/₂; ¹/₂)

q₁ = ⁵/₈ (вероятность применения 1-ой стратегии).

q₂ = ³/₈ (вероятность применения 2-ой стратегии).

Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = (⁵/₈; ³/₈)

Цена игры: y = 9/2

Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:

В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A₁, правый - стратегии A₂ (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S₁ = (p₁,p₂).

На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A₁. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A₂.

Решение игры (2 x 2) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.

Выделяем нижнюю границу выигрыша B₁NB₂, рисунок 1.

Рисунок 1 – Графическое решение

Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B₁B₁ и B₂B₂, для которых можно записать следующую систему уравнений:

Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений

Решение найдем по следующим формулам:

Задание 2

Условие:

Найти графическим методом решение игры, заданной матрицей.

Решение:

Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.
Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки	B₁	B₂	B₃	B₄	a = min(A_i)
A₁	4	-3	-4	-3	-4
A₂	-2	2	5	-1	-2
b = max(B_i)	4	2	5	-1

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a_i) = -2, которая указывает на максимальную чистую стратегию A₁.

Верхняя цена игры b = min(b_j) = -1.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах -2≤ y ≤ -1. Находим решение игры в смешанных стратегиях

Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы.

С позиции проигрышей игрока В стратегия B₄ доминирует над стратегией B₂ (все элементы столбца 4 меньше элементов столбца 2), следовательно, исключаем 2-й столбец матрицы. Вероятность q₂ = 0.

4	-4	-3
-5	5	-1

В платежной матрице отсутствуют доминирующие строки.

свели игру 2 x 4 к игре 2 x 3.

Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.

Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.

В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A₁, правый - стратегии A₂ (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S₁ = (p₁,p₂).

На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A₁. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A₂.

Решение игры (2 x n) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.

Выделяем нижнюю границу выигрыша B₁NB₃, рисунок 2.

Рисунок 2 – Графическое решение

Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B₁B₁ и B₃B₃, для которых можно записать следующую систему уравнений:

Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию В₂, которая дает явно больший проигрыш игроку В и следовательно q₂=0

Цена игры: y = ^-5/₄, векторы стратегии игроков:

Q(¹/₄, 0, ³/₄), P(¹/₈, ⁷/₈)

Задание 3

Условие:

По данным десяти наблюдений:

а) составить выборочное уравнение регрессии Y на Х;

б) построить корреляционное поле и линию регрессии;

в) сделать прогноз при х = х_α;

г) вычислить выборочный коэффициент корреляции и по нему оценить

тесноту и направление связи между признаками.

X_i	5	8	11	12	15	15	19	23	23	25
Y_i	11	15	23	21	28	31	38	44	47	49

x_a=27
Решение:

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу 1
Таблица 1 – Расчетная таблица

x	y	x²	y²	x*y
5	11	25	121	55
8	15	64	225	120
11	23	121	529	253
12	21	144	441	252
15	28	225	784	420
15	31	225	961	465
19	38	361	1444	722
23	44	529	1936	1012
23	47	529	2209	1081
25	49	625	2401	1225
156	307	2848	11051	5605

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле:

Тогда уравнение регрессии У на Х:

у=1,9686х-0,01062

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 1,969 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 1,969

Коэффициент a = -0,0106 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.

Сделаем прогноз при х=27

У=1,9686*27-0,01062=53,143

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < r_xy < 0.3: слабая;

0.3 < r_xy < 0.5: умеренная;

0.5 < r_xy < 0.7: заметная;

0.7 < r_xy < 0.9: высокая;

0.9 < r_xy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y и фактором X весьма высокая и прямая.

На рисунке 3 представлено поле корреляции.

Рисунок 3 – Поле корреляции

Задание 4

Условие:

По данным n наблюдений вычислить выборочный коэффициент корреляции и составить уравнения прямых линий регрессии Y на Х и Х на Y.

Решение:

Перепишем корреляционную таблицу, таблица 2.
Таблица 2 – Корреляционная таблица

Y / X	21	27	33	39	45
4	5	2	12
8		11	1
12			8	4
16			3	7	6
20				3	8
24				10

Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:

Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:

Найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:

(21*5 + 27(2 + 11) + 33(12 + 1 + 8 + 3) + 39(4 + 7 + 3 + 10) + 45(6 + 8))/80 = 35.175

(4(5 + 2 + 12) + 8(11 + 1) + 12(8 + 4) + 16(3 + 7 + 6) + 20(3 + 8) + 24*10)/80 = 12.9

Дисперсии:

σ²_x = (21²*5 + 27²(2 + 11) + 33²(12 + 1 + 8 + 3) + 39²(4 + 7 + 3 + 10) + 45²(6 + 8))/80 - 35.175² = 46.12

σ²_y = (4²(5 + 2 + 12) + 8²(11 + 1) + 12²(8 + 4) + 16²(3 + 7 + 6) + 20²(3 + 8) + 24²*10)/80 - 12.9² = 46.79

Откуда получаем среднеквадратические отклонения:

σ_x = 6.791 и σ_y = 6.84

и ковариация:

Cov(x,y) = (21*4*5 + 27*4*2 + 33*4*12 + 27*8*11 + 33*8*1 + 33*12*8 + 39*12*4 + 33*16*3 + 39*16*7 + 45*16*6 + 39*20*3 + 45*20*8 + 39*24*10)/80 - 35.175*12.9 = 34.6

Коэффициент корреляции:

Запишем уравнения линий регрессии y(x):

и вычисляя, получаем:

y_x = 0,75x -13,52

Запишем уравнения линий регрессии x(y):

и вычисляя, получаем:

x_y = 0,74 y + 25,62

Список использованных источников

Краснов, М.Л. Вся высшая математика. Т.5. Теория вероятностей, математическая статистика, теория игр / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. - М.: ЛКИ, 2015. - 296 c.
Кочетыгов, А. А. Основы эконометрики / А.А. Кочетыгов, Л.А. Толоконников. - М.: Издательский центр "МарТ", 2015. - 352 c.
Лабскер, Л.Г. Теория игр в экономике. Практикум с решениями задач (для бакалавров) / Л.Г. Лабскер; под ред. Ященко Н.А.. - М.: КноРус, 2016. - 331 c.
Носко, В.П. Эконометрика. В 2-х т.Книга 1: Часть 1: Основные понятия, элементарные методы; Часть 2: Регрессионный анализ временных рядов: Учебник / В.П. Носко. - М.: ИД Дело РАНХиГС, 2011. - 672 c.