10 вариант 27.04.21. Решение Найдем решение задачи аналитическим методом
![]()
|
Содержание Задание 1 2 Задание 2 6 Задание 3 9 Задание 4 12 Список использованных источников 15 Задание 1Условие: Найти решение игры, заданной матрицей А: а) аналитическим методом; б) графическим методом. ![]() Решение: Найдем решение задачи аналитическим методом. Чистой стратегией игрока I является выбор одной из n строк матрицы выигрышей А, а чистой стратегией игрока II является выбор одного из столбцов этой же матрицы. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях. Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A2. Верхняя цена игры b = min(bj) = 6. Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 3 ≤ y ≤ 6. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии). Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш. Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I. 3. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Запишем систему уравнений. Для игрока I ![]() Для игрока II ![]() Решение найдем по следующим формулам: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() p1 = 1/2 (вероятность применения 1-ой стратегии). p2 = 1/2 (вероятность применения 2-ой стратегии). Оптимальная смешанная стратегия игрока I: P = (1/2; 1/2) q1 = 5/8 (вероятность применения 1-ой стратегии). q2 = 3/8 (вероятность применения 2-ой стратегии). Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = (5/8; 3/8) Цена игры: y = 9/2 Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы: В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A1, правый - стратегии A2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2). На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A2. Решение игры (2 x 2) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет. Выделяем нижнюю границу выигрыша B1NB2, рисунок 1. ![]() Рисунок 1 – Графическое решение Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B1B1 и B2B2, для которых можно записать следующую систему уравнений: ![]() Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений ![]() Решение найдем по следующим формулам: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задание 2Условие: Найти графическим методом решение игры, заданной матрицей. ![]() Решение: Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях. Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = -2, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1. Верхняя цена игры b = min(bj) = -1. Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах -2≤ y ≤ -1. Находим решение игры в смешанных стратегиях Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы. С позиции проигрышей игрока В стратегия B4 доминирует над стратегией B2 (все элементы столбца 4 меньше элементов столбца 2), следовательно, исключаем 2-й столбец матрицы. Вероятность q2 = 0.
В платежной матрице отсутствуют доминирующие строки. свели игру 2 x 4 к игре 2 x 3. Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш. Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A1, правый - стратегии A2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2). На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A2. Решение игры (2 x n) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет. Выделяем нижнюю границу выигрыша B1NB3, рисунок 2. ![]() Рисунок 2 – Графическое решение Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B1B1 и B3B3, для которых можно записать следующую систему уравнений: ![]() Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию В2, которая дает явно больший проигрыш игроку В и следовательно q2=0 ![]() ![]() Цена игры: y = -5/4, векторы стратегии игроков: Q(1/4, 0, 3/4), P(1/8, 7/8) Задание 3Условие: По данным десяти наблюдений: а) составить выборочное уравнение регрессии Y на Х; б) построить корреляционное поле и линию регрессии; в) сделать прогноз при х = хα; г) вычислить выборочный коэффициент корреляции и по нему оценить тесноту и направление связи между признаками.
xa=27 Решение: Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу 1 Таблица 1 – Расчетная таблица
Выборочные средние. ![]() ![]() ![]() Выборочные дисперсии: ![]() ![]() Среднеквадратическое отклонение ![]() Коэффициент корреляции b можно находить по формуле: ![]() ![]() Тогда уравнение регрессии У на Х: у=1,9686х-0,01062 Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл. Коэффициент регрессии b = 1,969 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 1,969 Коэффициент a = -0,0106 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями. Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая. Сделаем прогноз при х=27 У=1,9686*27-0,01062=53,143 Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле: ![]() Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1. Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока: 0.1 < rxy < 0.3: слабая; 0.3 < rxy < 0.5: умеренная; 0.5 < rxy < 0.7: заметная; 0.7 < rxy < 0.9: высокая; 0.9 < rxy < 1: весьма высокая; В нашем примере связь между признаком Y и фактором X весьма высокая и прямая. На рисунке 3 представлено поле корреляции. ![]() Рисунок 3 – Поле корреляции Задание 4Условие: По данным n наблюдений вычислить выборочный коэффициент корреляции и составить уравнения прямых линий регрессии Y на Х и Х на Y. ![]() Решение: Перепишем корреляционную таблицу, таблица 2. Таблица 2 – Корреляционная таблица
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид: ![]() Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид: ![]() Найдем необходимые числовые характеристики. Выборочные средние: ![]() ![]() Дисперсии: σ2x = (212*5 + 272(2 + 11) + 332(12 + 1 + 8 + 3) + 392(4 + 7 + 3 + 10) + 452(6 + 8))/80 - 35.1752 = 46.12 σ2y = (42(5 + 2 + 12) + 82(11 + 1) + 122(8 + 4) + 162(3 + 7 + 6) + 202(3 + 8) + 242*10)/80 - 12.92 = 46.79 Откуда получаем среднеквадратические отклонения: σx = 6.791 и σy = 6.84 и ковариация: Cov(x,y) = (21*4*5 + 27*4*2 + 33*4*12 + 27*8*11 + 33*8*1 + 33*12*8 + 39*12*4 + 33*16*3 + 39*16*7 + 45*16*6 + 39*20*3 + 45*20*8 + 39*24*10)/80 - 35.175*12.9 = 34.6 Коэффициент корреляции: ![]() Запишем уравнения линий регрессии y(x): ![]() и вычисляя, получаем: yx = 0,75x -13,52 Запишем уравнения линий регрессии x(y): ![]() и вычисляя, получаем: xy = 0,74 y + 25,62 Список использованных источниковКраснов, М.Л. Вся высшая математика. Т.5. Теория вероятностей, математическая статистика, теория игр / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. - М.: ЛКИ, 2015. - 296 c. Кочетыгов, А. А. Основы эконометрики / А.А. Кочетыгов, Л.А. Толоконников. - М.: Издательский центр "МарТ", 2015. - 352 c. Лабскер, Л.Г. Теория игр в экономике. Практикум с решениями задач (для бакалавров) / Л.Г. Лабскер; под ред. Ященко Н.А.. - М.: КноРус, 2016. - 331 c. Носко, В.П. Эконометрика. В 2-х т.Книга 1: Часть 1: Основные понятия, элементарные методы; Часть 2: Регрессионный анализ временных рядов: Учебник / В.П. Носко. - М.: ИД Дело РАНХиГС, 2011. - 672 c. |