Росдистант высшая математика 1 задание 1 вариант 10,1,1. Высшая математика1(Задание1_вариант 10,1,1) — копия. Решение Найдем собственные числа из характеристического уравнения

• Название: Решение Найдем собственные числа из характеристического уравнения
• Анкор: Росдистант высшая математика 1 задание 1 вариант 10,1,1
• Дата: 28.02.2023
• Размер: 117.29 Kb.
• Имя файла: Высшая математика1(Задание1_вариант 10,1,1) — копия.docx
• Тип: Документы; #959202

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования
«Тольяттинский государственный университет»
Институт химии и энергетики
(наименование института полностью)
Кафедра /департамент /центр¹ ________ Электроснабжение и электротехника__

(наименование кафедры/департамента/центра полностью)

Практическое задание №___
по дисциплине (учебному курсу) «___Высшая математика 1_____»

^{(наименование дисциплины (учебного курса)}
Вариант 10,1,1 (при наличии)


Тольятти 2023

Задание 1

РАЗДЕЛ № 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Задача 1

Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.



Решение:

Найдем собственные числа из характеристического уравнения:

= ( = -(



Для найдем его собственный вектор:

Для




Тогда имеем однородную систему линейных уравнений, решим ее методом Гаусса:



Собственный вектор:

Х=
Для





Тогда имеем однородную систему линейных уравнений, решим ее методом Гаусса:



Собственный вектор:

Х=


Задача 2

Доказать совместность системы и решить её тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса и средствами матричного исчисления.



Решение:

Дана неоднородная система из трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Для того чтобы исследовать систему, вычислим ранги основной и расширенной матриц данной системы уравнений.

A - это основная матрица системы,

B - матрица-столбец свободных членов,

C - расширенная матрица системы :

Решение методом Крамера

Для решения системы методом Крамера сначала вычислим определитель основной матрицы системы :

|A|=

Т.к. матрица A не квадратная (число уравнений не равно числу переменных), то |A| вычислить невозможно.
Данную СЛАУ невозможно решить методом Крамера и обратной матрицы.
Решим систему методом Гаусса:

Опорный элемент это тот, элементы ниже которого, в данном столбце, нужно сделать нулевыми. Сам опорный элемент не должен быть нулевым.

∼

Чтобы элемент c21=1 сделать нулевым, вычтем из 2-ой строки 1-ю строку, умноженную на 0,25 : R2=R2−0,25*R1

c21=1−0,25⋅4=0

c22=7−0,25⋅2=6,5

c23=-5−0,25⋅(−1)=−4,75

c24=2−0,25⋅1=1,75

c25=−9−0,25⋅(−12)=−6

∼ ∼

Чтобы элемент c31=−2c31=−2 сделать нулевым, прибавим к 3-ей строке 1-ю строку, умноженную на 0,50,5 : R3=R3+0,5⋅R1

c31=−2+0,5⋅4=0c31=−2+0,5⋅4=0

c32=5+0,5⋅2=6c32=5+0,5⋅2=6

c33=−6+0,5⋅(−1)=−6,5c33=−6+0,5⋅(−1)=−6,5

c34=3+0,5⋅1=3,5c34=3+0,5⋅1=3,5

c35=−8+0,5⋅(−12)=−14

∼ ∼

Чтобы элемент c32=6c32=6 сделать нулевым, вычтем из 3-ей строки 2-ю строку, умноженную на 12131213 : R3=R3−1213⋅R2

c31=0−(12/13)⋅0=0

c32=6−(12/13)⋅6,5=0

c33=−6,5−(12/13)⋅(−4,75)=−(55/26)

c34=3,5−(12/13)⋅1,75=(49/26)

c35=−14−(12/13)⋅(−6)=−(110/13)

∼

Запишем систему, соответствующую этой матрице

Из последней системы выражаем переменные.
Из 3-го уравнения находим переменную x3 :

− x3= − − x4

x3=4+ x4

Из 2-го уравнения находим переменную x2 :
6,5x2=−6+4,75x3−1,75x4=−6+4,75(4+( )x4)−1,75x4=13+ x4

x2=2+ x4

Из 1-го уравнения находим переменную x1 :

4x1=−12−2x2+x3−x4=−12−2(2+ x4)+4+ x4−x4=−12− x4

x1=−3− x4

Ответ :

x1=−3− x4

x2=2+ x4

x3=4+ x4

x4=x4

Общее решение :


Задача 3

Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравнений.



Решение:

Дана однородная система из трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Для того чтобы исследовать систему, вычислим ранг матрицы данной системы уравнений, для чего приведём системы к ступенчатому виду:







По теореме Кронекеля-Капелли ранг основной матрицы меньше количества переменных, значит система является совместной и неопределенной, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Запишем систему, соответствующую этой матрице :



Из последней системы выражаем переменные.

Из 3-го уравнения находим переменную x4 :





Из 2-го уравнения находим переменную x3 :





Из 1-го уравнения находим переменную x1 :





Ответ :








Общее решение :




РАЗДЕЛ № 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Задача 1

Составить уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно вектору . Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках. Составить уравнение плоскости , проходящей через точки . Найти угол между плоскостями и . Найти расстояние от точки до плоскости .



Решение:

1) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Найдём координаты вектора :



Запишем уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору :



Подставляем координаты точки и координаты вектора в уравнение .

Получаем:






2) Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках.

Общее уравнение плоскости :



Нормальное уравнение плоскости :



Уравнение плоскости в отрезках:


3) Составить уравнение плоскости , проходящей через точки .

Запишем уравнение плоскости , проходящей через три заданные точки

Получаем:



Вычислим определитель, разлагая его по первой строке:









Следовательно, уравнение плоскости имеет вид:


4) Найти угол между плоскостями и .

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и вычисляется по формуле:












5) Найти расстояние от точки до плоскости .

Расстояние от точки до плоскости , найдем по формуле:





Тогда:


Задача 2

Прямая задана в пространстве общими уравнениями. Написать её каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой , и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки на прямую и точку пересечения прямой и плоскости .



Решение:

1) Написать ее каноническое и параметрическое уравнения.

Чтобы записать канонические или параметрические уравнения прямой , необходимо знать координаты точки на прямой и координаты направляющего вектора этой прямой.

По условию задачи прямая задана как линия пересечения двух плоскостей и .

По общим уравнениям этих плоскостей можно записать их векторы нормалей:





Векторы нормалей и перпендикулярны искомой прямой, образованной пересечением плоскостей. Следовательно, её направляющий вектор может быть найден как векторное произведение векторов и :





Определим точку, лежащую на прямой. Для этого решим систему уравнений:



При получаем:







Таким образом, точка, лежащая на данной прямой, имеет координаты .

Записываем канонические уравнения прямой :



и параметрические уравнения:


2) Составить уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой , вычислить расстояние между ними.

Чтобы составить уравнение прямой , проходящей через точку , параллельно прямой , в качестве направляющего вектора искомой прямой возьмем направляющий вектор прямой :



В то же время прямая проходит через точку , значит ее уравнение имеет вид:



Найдем расстояние между прямыми и .

Расстояние от точки до прямой будем рассматривать как длину высоты параллелограмма, построенного на векторах , где – точка на прямой , – направляющий вектор прямой .



Тогда:



Находим векторное произведение:





Находим модули векторов:





Подставляя найденные значения в формулу, находим расстояние от точки до прямой:


3) Найти проекцию точки на прямую и точку пересечения прямой и плоскости .

Найдем проекцию точки на прямую .

Найдем уравнение плоскости, которая перпендикулярна к прямой и проходит через точку .

Для этого нам нужно знать координаты нормального вектора плоскости.

Направляющий вектор прямой является нормальным вектором плоскости, которая перпендикулярна к прямой . То есть, – нормальный вектор плоскости. Тогда уравнение плоскости , проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид:





Осталось найти координаты точки пересечения прямой и плоскости – они являются искомыми координатами проекции точки на прямую .

Подставим в уравнение плоскости вместо их выражения через параметр:


Теперь мы можем вычислить искомые координаты точки пересечения прямой и плоскости по параметрическим уравнениям прямой:





Таким образом, проекция точки на прямую имеет координаты:



Найдем точку пересечения прямой и плоскости .

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:



Подставим значения в уравнение плоскости :







21t



Теперь найдем значения координат , соответствующие параметру :



Точка пересечения прямой и плоскости .

РАЗДЕЛ № 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Задача 1

Даны координаты вершин треугольника . Составить уравнения сторон треугольника. Составить уравнения медианы, высоты и биссектрисы угла , найти их длины. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам.



Решение:

1) общие уравнения всех сторон треугольника;

Уравнения сторон найдем по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки:





Из уравнения стороны .





Из уравнения стороны .





Из уравнения стороны .
Расстояние d между точками M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; y₂) определяется по формуле:




2) общее уравнение медианы ;

Для определения уравнения медианы найдем координаты точки , которая делит отрезок пополам:





Тогда координаты точки .

Медиана проходит через точки и .





Длина медианы:




3) Уравнение высоты через вершину A

Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину A

y = -2x + 4 или y +2x -4 = 0

Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой BC.

Уравнение BC: y = 1/2x + 5/2, т.е. k1 = 1/2

Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.

Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим:

1/2k = -1, откуда k = -2

Так как перпендикуляр проходит через точку A(1,2) и имеет k = -2,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).

Подставляя x0 = 1, k = -2, y0 = 2 получим:

y-2 = -2(x-1)

или

y = -2x + 4 или y + 2x - 4 = 0
Найдем точку пересечения с прямой BC:

Имеем систему из двух уравнений:

2y -x - 5 = 0

y + 2x - 4 = 0

Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.

Получаем:

x = 3/5

y = 14/5

D(3/5;14/5)

Найдем уравнение высоты через вершину B
x = 3

Найдем точку пересечения высот.

Имеем систему из двух уравнений:

y +2x -4 = 0

x = 3

Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.

Получаем:

x = 3

y = -2

Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой A(1;2) и прямой BC (2y -x - 5 = 0)


Длину высоты можно вычислить и по другой формуле, как расстояние между точкой A(1;2) и точкой D(³/₅;¹⁴/₅).
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:


4) общее уравнение биссектрисы;

Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим K.

Уравнение AB: y = x + 1, уравнение AC: y - 2 = 0

Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k1x + b1 и y2 = k2x + b2, вычисляется по формуле:
Угловые коэффициенты данных прямых равны 1 и 0. Воспользуемся формулой, причем ее правую часть берем по модулю:
tg(φ) = 1

φ = arctg(1) = 450

Поскольку угол тупой, то φ = 180 - 45 = 135

Биссектриса делит угол пополам, следовательно угол CAK ≈ 67.50

Тангенс угла наклона AC равен 0 (т.к. y - 2 = 0). Угол наклона равен 00

∠ ACK ≈ 1800 - (00 + 67.50) ≈ 112.50

tg(112.50) = -2.41

Биссектриса проходит через точку A(1,2), используя формулу, имеем:

y - y0 = k(x - x0)

y - 2 = -2.41(x - 1)

или

y = -2.41x + 4.41
5) уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам;

Чтобы составить уравнение прямой , найдем угловой коэффициент этой прямой. Так как , то угловые коэффициенты этих прямых равны между собой, т.е. .

Из уравнения стороны .

Тогда .

Составим уравнение прямой , зная угловой коэффициент и координаты точки :



Чтобы составить уравнение прямой , найдем угловой коэффициент этой прямой. Так как , то угловые коэффициенты этих прямых равны между собой, т.е. .

Из уравнения стороны .

Тогда .

Составим уравнение прямой , зная угловой коэффициент и координаты точки :



Чтобы составить уравнение прямой , найдем угловой коэффициент этой прямой. Так как , то угловые коэффициенты этих прямых равны между собой, т.е. .

Из уравнения стороны .

Тогда .

Составим уравнение прямой , зная угловой коэффициент и координаты точки :



Сделаем рисунок:



Задача 2

По координатам вершин пирамиды средствами векторной алгебры найти:

1) длины ребер и ;

2) угол между ребрами и ;

3) площадь грани ;

4) проекцию вектора на ;

5) объем пирамиды.



Решение:

1) длины ребер и ;

Длина ребра   равна модулю вектора  .

Модуль вектора вычисляется по формуле:





Подставляя в эту формулу исходные данные, получим:



Длина ребра   равна модулю вектора  .



Подставляя в эту формулу исходные данные, получим:


2) угол между ребрами и ;

Угол между ребрами и будем искать, используя формулу скалярного произведения векторов:



В нашем случае:






3) площадь грани ;

Площадь грани найдем как половину площади параллелограмма, построенного на векторах .










4) проекцию вектора на ;


5) объем пирамиды.

Объем пирамиды вычислим с помощью смешанного произведения трех векторов, на которых построена пирамида:

1^ Оставить нужное