Лин.Диф.Уравнения. ЛДУ. Решение однородных уравнений '' ' 0,, y ay by a b
 Скачать 263.79 Kb.
|
|
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициен- тами. Полное описание вариантов решения уравнений второго порядка Решение однородных уравнений '' ' 0, , y ay by a b + + = Введем обозначение для правой части уравнения: '' ' Ly y ay by = + + . Такую функцию от функций принято назвать оператором. Теперь само уравнение можно записать так 0 Ly = . Заметим, что оператор L очень просто действует на показательную функцию ( ) x f x e = , ( ) 2 x x Le e a b = + + . Таким обра- зом некоторые решения уравнения 0 Ly = можно получить, полагая рав- ным корню уравнения 2 0 a b + + = . Ввиду важной роли этого квадратного уравнения оно получило название – характеристическое уравнение. Простые соображения, связанные с линейностью множества решений и теоремой единственности для задачи Коши, гарантируют, что возникающие таким об- разом два решения почти всегда образуют базис в пространстве решений В зависимости от вида корней следует различать три случая: 1) характеристическое уравнение имеет различные вещественные корни 1 2 , , тогда общее решение уравнения имеет вид 1 2 1 2 x x y C e C e = + , здесь 1 2 , c c -- произвольные постоянные. 2) характеристическое уравнение имеет кратные корни 1 2 = . Формально второе решение неоткуда брать, но легко проверить, что функция 1 ( ) x f x xe = так же является решением. Как и в случае (1a), общее решение уравнения имеет вид 1 1 1 2 x x y C e C xe = + , здесь 1 2 , c c -- произвольные по- стоянные. 3) характеристическое уравнение имеет пару комплексно сопряженных кор- ней 1 2 , i i = + = − . Решение можно записать как и в случае (1a), но оно окажется комплексным. Чтобы избавиться от комплексной структуры, достаточно воспользоваться формулами ( ) ( ) cos sin i x x e e x i x = , поз- воляющими записать общее решение в виде ( ) 1 2 cos sin x y e C x iC x = = Примеры 1) Решить задачу Коши : '' 5 ' 6 0 y y y − + = , (0) 1, '(0) 2. y y = = Cоставим характеристическое уравнение: 2 5 6 0. − + = Очевидно, что его корнями являются 1 2 = и 2 3. = Поскольку корни вещественны и различны, то общее решение однородного уравнения имеет вид 2 3 1 2 x x y C e C e = + Подберем коэффициенты так, чтобы y удовлетворял начальным условиям (для этого подставим 0 x = в выражения для y и ' y ): 2 0 3 0 1 2 1 2 1 2 0 3 0 1 2 2 1 2 1, 1, 1, 2 3 2; 0. 2 3 2; C e C e C C C C C C C e C e + = + = = + = = + = Таким образом, решением поставленной задачи Коши является функция 2 x y e = 2) Решить задачу Коши: '' 6 ' 9 0 y y y − + = , (0) 2, '(0) 1. y y = = Характеристическое уравнение: 2 6 9 0 − + = Корни уравнения совпадают 1 2 3 = = и общее решение однородного урав- нения имеет вид 3 3 1 2 x x y C e C xe = + Что бы решить задачу Коши, надо вычислить производную ( ) 3 3 1 2 2 3 3 x x y C C e C xe = + + и переписать в этих терминах начальные условия 1 2 1 1 2 2 2 1 / 2 3 1 5 / 2. C C C C C C + = = − + = = Окончательное решение получает вид 3 3 0,5 2,5 x x y e xe = − + 3) Решить задачу Коши: '' 6 ' 13 0 y y y − + = , (0) 1, '(0) 1. y y = = Характеристическое уравнение: 2 6 13 0 − + = имеет комплексные корни 1 3 2i = + и 2 3 2 . i = − Следовательно для описа- ния решения надо использовать формулу пункта (3) ( ) 3 1 2 cos 2 sin 2 x y e C x C x = + Для определения постоянных требуется вычислить производную ( ) ( ) 3 3 1 2 1 2 3 cos 2 sin 2 2 sin 2 2 cos 2 x x y e C x C x e C x C x = + + − + Обратите внимание, что здесь проще сразу вычислить '(0) y и не тратить уси- лий на тождественные преобразования. Из начальных условий получаем си- стему для определения постоянных: 1 1 1 2 2 1 1 3 2 1 1. C C C C C = = + = = − Решением поставленной задачи Коши является функция ( ) 3 cos 2 sin 2 x y e x x = − Решение неоднородных уравнений '' ' ( ) y ay by f x + + = Когда решение общее однородного уравнения известно, общее реше- ние неоднородного уравнение можно записать в виде 0 * ( ) ( ) ( ) y x y x y x = + , где 0 y -- общее решение однородного уравнения, а * y -- частное (какое- нибудь) решение неоднородного уравнения. Существует метод (вариация произвольных постоянных), позволяющий решить эти уравнение для любой интегрируемой функции ( ) f x , но решение, точнее, вычисление возникаю- щих интегралов, как правило, возможно только численно. Поэтому в прило- жениях наиболее востребованы функции, для которых интегрирование мож- но провести аналитически. Класс таких функций составляют линейные ком- бинации выражений вида , , cos ,sin n ax x e bx bx и любые произведения этих четырех функций. Линейность уравнения позволяет решать задачу нахожде- ния общего решения «поотдельности» для каждого слагаемого, а затем сло- жить их. Следовательно, достаточно рассмотреть в качестве ( ) f x , ,cos ,sin , , cos , cos , cos n ax n ax n ax n ax x e bx bz x e x bx e bx x e bx Отметим, что последнее слагаемое «перекрывает» все остальные за счет подходящего выбора параметров. Приведенный список позволяет луч- ше почувствовать, какие функции могут стоять в правой части уравнения. Метод неопределенных коэффициентов Заметим, что все функции, допущенные в качестве правой части урав- нения, мало меняются при дифференцировании. Это позволяет описать для фиксированной правой части базис функций, по которому можно разложить частное решение, пока, с неопределенными коэффициентами. Далее надо вы- числит результат применения оператора L к составленному выражению. Приравнивая полученное выражения к функции ( ) f x , получим равенство двух линейных комбинаций элементов базиса. Такое равенство возможно только, если равны все коэффициенты при элементах базиса. Таким образом, возникает система линейных уравнений относительно неизвестных коэффи- циентов, причем эта система всегда имеет единственное решение. При со- ставлении выражения частного решения необходимо контролировать сле- дующее обстоятельство – некоторые элементы базиса могу обращаться в ноль оператором, стоящим в правой части. Присутствие таких слагаемых в выражении с неопределенными коэффициентами бесполезно. Но если их удалить, то неопределенных коэффициентов станет меньше, чем уравнений и система не будет иметь решения. Имеется простой способ исправить эту «недостачу». Достаточно домножить соответствующие элементы базиса на x . Далее перечислены все возможные варианта составления выражения для частного решения, при этом предполагается, что ( ) cos n ax f x x e bx = Как отмечалось, все остальные случаи сводятся к этому. Увидеть, как это происходит, можно из примеров, приведенных ниже. 1) Характеристический многочлен имеет различные вещественные корни 1 2 , и нет совпадений: ( ) , 1, 2 k x f x e k = , то есть 0 Lf . Тогда частное решение надо искать в виде ( ) ( ) ( ) cos ( )sin ax y x e P x bx Q x bx = + здесь ( ), ( ) P x Q x многочлены степени n с неопределенными коэффициентами. 2) Случай «совпадения»: 1 ( ) x f x e = , 0 Lf = . Тогда частное решение надо ис- кать в виде 1 2 * ( ) x x y x Ae Bxe = + 3) Характеристический многочлен имеет совпадающие вещественные корни 1 2 = и 1 ( ) , 0,1 x k f x x e k = . Тогда частное решение надо искать в виде частного решения тот же, что в случае (1) ( ) ( ) ( ) cos ( )sin ax y x e P x bx Q x bx = + 4) Случай «совпадения»: 1 ( ) x k f x x e = , тогда частное решение надо искать в виде 1 2 * ( ) x k y x Ax e + = 5) Характеристический многочлен имеет комплексные корни 1 2 , i i = + = − . Общий случай: ( ) cos , ( ) sin x x f x e bx f x e bx . То- гда частное решение надо искать в виде частного решения тот же, что в слу- чае (1) ( ) ( ) ( ) cos ( )sin ax y x e P x bx Q x bx = + 6) Случай «совпадения»: ( ) cos x f x e bx = или ( ) sin x f x e bx = , тогда част- ное решение надо искать в виде ( ) * ( ) cos sin x y x xe A bx B bx = + Примеры 1) Решить задачу Коши: '' 5 ' 6 , (0) 1, (0) 2 x y y y e y y − − + = = = Соответствующее однородное уравнение было решено в цикле примеров од- нородных уравнений. Корни характеристического уравнения 1 2 = и 2 3 = вещественны и различны, общее решение однородного уравнения 2 3 0 1 2 x x y C e C e = + Функции 2x e , 3x e не являются решениями однородного уравнения и, следо- вательно, частное решение надо искать по формуле пункта (1). Заметим, что в рассматриваемом случае 0, 1, 0 n a b = = − = и запишем выражение для част- ного решения с неопределенными коэффициентами * ( ) x y x Ae − = Чтобы подставить эту функцию в уравнение надо вычислить производные ( ) , ( ) x x y x Ae y x Ae − − = − = и подставить их в уравнение 5 6 12 1 / 12. x x x x x x Ae Ae Ae e Ae e A − − − − − − + + = = = Теперь можно записать общий вид решение неоднородного уравнения 2 3 0 * 1 2 12 x x x e y y y C e C e − = + = + + Остается решить задачу Коши, то есть подобрать постоянные так, что бы вы- полнялись начальные условия. Для этого потребуется производная 2 3 1 2 2 3 12 x x x e y C e C e − = + − Запишем значения функции производной в точке ноль 1 2 1 1 2 2 1 / 12 1 1 / 4 2 3 1 / 12 2 2 / 3. C C C C C C + + = = + − = = Решение задачи Коши 2 3 2 1 2 4 3 12 x x x e y e C e − = + + 2) Найти общее решение уравнения: 2 '' 5 ' 6 x y y y e − + = Решение однородного уравнения то же, что в примере (1) 2 3 0 1 2 x x y C e C e = + Но на этот раз, правя часть оказывается решением однородного уравнения, частное решение надо искать по формуле пункта (2) 2 * x y Axe = Вычисляем производные 2 2 2 * * (1 2 ), 2 (1 2 ) 2 x x x y Ae x y Ae x Ae = + = + + и получаем уравнение для определения коэффициента 2 2 2 2 2 2 (1 2 ) 2 5 (1 2 ) 6 1. x x x x x Ae x Ae Ae x Axe e A + + − + + = − = Общее решение неоднородного уравнения 2 3 2 0 * 1 2 x x x y y y C e C e xe = + = + − 3) Найти общее решение уравнения: 2 '' 6 ' 9 x y y y e − + = Соответствующее однородное уравнение было решено в цикле примеров од- нородных уравнений. Характеристическое уравнение имеет кратный корень 1 2 3 = = , общее решение однородного уравнения 3 3 0 1 2 x x y C e C xe = + Функция 2x e не является решением однородного уравнения и, следователь- но, частное решение надо искать по формуле пункта (3) 2 * x y Ae = Вычисляем производные 2 2 * * 2 , 4 x x y Ae y Ae = = и находим коэффициент 2 2 2 2 4 12 9 1. x x x x Ae Ae Ae e A − + = = Общее решение неоднородного уравнения 3 3 2 0 * 1 2 x x x y y y C e C xe e = + = + + 4) Найти общее решение уравнения: 3 '' 6 ' 9 x y y y e − + = Левая часть уравнения та же, что в примере (3) – кратный корень. Решение однородного уравнения 3 3 0 1 2 x x y C e C xe = + Правя часть уравнения является решением однородного уравнения и потому частное решение надо искать по формуле пункта (4) 2 2 x y Ax e = Вычислим производные : y 3 2 3 2 ' (2 3 ), '' (2 12 9 ) x x y Ae x x y Ae x x = + = + + и подставим их в неоднородное уравнение: 3 2 3 2 2 3 3 (2 12 9 ) 6 (2 3 ) 9 x x x x Ae x x Ae x x Ax e e + + − + + = После упрощений получаем, что 3 3 1 2 2 x x Ae e A = = Общее решение неоднородного уравнения 3 3 2 3 0 * 1 2 1 2 x x x y y y C e C xe x e = + = + + 5) Найти общее решение уравнения 2 '' 6 ' 13 2 1. y y y x − + = + Соответствующее однородное уравнение было решено в цикле примеров од- нородных уравнений. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни 1 3 2i = + и 2 3 2i = − , общее решение однородного уравнения ( ) 3 0 1 2 cos 2 sin 2 x y e C x C x = + Функция 2 2 1 x + не является решением однородного уравнения и, следова- тельно, частное решение надо искать по формуле пункта (5). Здесь 2, n = 0, 0 a b = = . 2 y Ax Bx C = + + Чтобы найти коэффициенты, вычислим производные : y ' 2 , '' 2 y Ax B y A = + = и подставим их в уравнение: 2 2 2 6(2 ) 13( ) 2 1. A Ax B Ax Bx C x − + + + + = + Коэффициенты при всех степенях x должны совпадать. Это дает систему 2 6 13 1 2 24 261 12 13 0 , , 13 169 2197 13 2 A B C A B A B c A − + = − + = = = = = Таким образом, общим решением неоднородного уравнения является 3 2 0 * 1 2 2 24 261 ( cos 2 sin 2 ) 13 169 2197 x y y y e C x C x x x = + = + + + + 6) Найти общее решение уравнения '' 4 sin 2 . y y x + = Составим характеристическое уравнение 2 4 0. + = Его корни 1,2 2 . i = Решение однородного уравнения 0 1 2 cos 2 sin 2 . y C x C x = + Правя часть уравнения является решением однородного уравнения и потому частное решение надо искать по формуле пункта (6) ( ) cos 2 sin 2 y x A x B x = + Вычислим производные : y ( ) ( ) ' cos 2 sin 2 2 sin 2 2 cos 2 y A x B x x A x B x = + + − + = ( 2 )cos 2 ( 2 )sin 2 , A Bx x B Ax x = + + − '' 2 cos 2 2 sin 2 2( 2 )sin 2 2( 2 ) cos 2 . y B x A x A Bx x B Ax x = − − + + − Подставим эти выражения в уравнение 2 cos 2 2 sin 2 2( 2 )sin 2 2( 2 )cos 2 B x A x A Bx x B Ax x − − + + − + ( ) 4 cos 2 sin 2 sin 2 . x A x B x x + + = Проведем тождественные преобразования 1 4 cos 2 4 sin 2 sin 2 , 0. 4 B x A x x A B − = = − = Общее решение неоднородного уравнения 0 * 1 2 1 cos 2 sin 2 cos 2 . 4 y y y C x C x x x = + = + − Материалы для самостоятельной работы Цель любого обучения -- добиться такого состояния, что бы ученик мог самостоятельно применять полученные знания для решения практических задач. Чаще всего проверка этого обстоятельства крайне затруднительна. С другой стороны, этот навык, полученный в определенном достаточно узком направлении, трансформируется в жизненный опыт, позволяющий уверенно приобретать такие навыки в совершенно других направлениях. Поэтому осо- бый интерес представляют те направления, где проверка усвоения материала дается сравнительно легко. Тема дифференциальные уравнения с постоян- ными коэффициентами – идеальный полигон для того, что бы почувствовать как знания переходят в умения. Изложенные выше правила решения таких задач очень просты, но применение их на практике нередко вызывает затруд- нение и требует специальных усилий по осмыслению алгоритмов решения. Для того, что бы поводить эту работу самостоятельно был разработан ком- плекс программ-тренажеров. Каждая программа ориентирована на одну из разобранных выше ситуаций и предусматривают возможность выбрать зада- чу, решить ее самостоятельно и затем просмотреть подробное описание ее решения. Среда программирования – пакет Exsl выбрана по соображениям максимальной доступности использования на любом компьютере. Тренажер представляет собой файл в формате .xls, состоящий из трех листов. Первый лист «Условия», на нем выводится условие задачи. Чтобы обновить условие задания надо ввести в помеченную ячейку число из указанного диа- пазона. На том же листе находится окно для ввода ответа и окно для оценки правильности решения. После того как задача решена, надо ввести в окно для ответа значение полученного решения в точке ноль. Если это число сов- пало со значением правильного решения в точке ноль, то в окне для ответа появиться «да», в противном случае «нет». Параллельно на втором листе «Решения» формируется подробное решение предложенной задачи, по кото- рому можно проанализировать правильность собственного решения. Ниже приведены копии листов «условия» и «решение» для одного из тренажеров в том виде, как они выводятся на экран. Условие Решите задачу Коши 0 0 1 1 0, ( ) , ( ) y Ay By y x y y x y + + = = = Для формирования коэффициентов и начальных условий введите в соседнюю ячейку число от 1 до 308 24 A = 0 B = -1 0 x = 0 0 y = 1 1 y = 2 Проверка вычислите значение решения в точке х=1 Введите ваш ответ (1) y = 4 оценка да Решение Однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэф- фициентами (случай вещественных корней) 0 y Ay By + + = A = 0 B = -1 0 x = 0 0 y = 1 1 y = 2 Характеристическое уравнение 2 0 A B + + = Корни 1 = -1 2 = 1 Общее решение однородного уравнения 1 2 1 2 x x y C e C e = + Выбор произвольных постоянных (решение задачи Коши) 1 0 2 0 0 0 1 2 0 ( ) x x y x y C e C e y = + = Для использования второго условия необходимо сначала вычислить произ- водную ( ) 1 0 2 0 1 2 0 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) ( ) x x x x y x y y x C e C e C e C e y = = + + = В итоге получаем систему для определения постоянных 1 2 , C C 11 1 12 2 0 21 1 22 2 1 , a C a C y a C a C y + = + = 11 a = 1 12 a = 1 21 a = -1 22 a = 1 Решаем систему по формулам Крамера 11 12 21 22 a a a a = = 2 0 12 1 1 22 y a y a = = -1 11 0 2 21 1 a y a y = = 3 Из системы находим 1 C = -0,5 2 C = 1,5 И формируем решение задачи Коши. Проверка решения в точке * x = 1 * ( ) y x = 3,89 Описанные тренажеры можно найти на сайте leti.vm-2.spb.ru . Литература Оглавление |