Асимптотика уравнений второго порядка. Содержание введение 2 теоретические сведения линейных уравнений второго порядка на комплексной плоскости 4 асимптотика решения уравнений второго порядка при вещественных x. Главный член асимптотики 9 заключение 12 список литературы 13 введение
 Скачать 55.63 Kb.
|
|
СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 2 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 4 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ X. ГЛАВНЫЙ ЧЛЕН АСИМПТОТИКИ 9 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 12 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 13 ВВЕДЕНИЕ Большинство физических проблем, с которыми сегодня сталкиваются инженеры, физики и эксперты в области прикладной математики, обнаруживают множество важных особенностей, которые не позволяют им получать точные аналитические решения. Такими особенностями являются, например, нелинейность, переменные коэффициенты, границы сложной формы и нелинейные граничные условия на известных или в некоторых случаях неизвестных границах. Даже если точное решение какой-либо проблемы явно найдено, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретации или численных расчетов. Примерами таких задач являются большие функции Бесселя и двоичные периодические функции для больших значений аргументов. Поэтому мы вынуждены прибегать к приближениям, численным решениям или комбинации этих 2-х методов, чтобы получить информацию о решении уравнения. Среди методов аппроксимации в первую очередь необходимо упомянуть метод асимптотических возмущений, который является предметом данного исследования. Согласно этим методам, решение представлено некоторым 1 членом асимптотического разложения, число которых обычно не превышает 2. Разложение может осуществляться по большим или малым параметрам, которые естественным образом встречаются в уравнении или вводятся искусственно для удобства. Такое расширение называется возмущением параметра. С другой стороны, разложение может быть выполнено по координатам больших или малых значений, и в этом случае они называются координатными возмущениями. Глава 1 содержит обозначения, определения и действия для асимптотического разложения. Примеры декомпозиции по параметрам и координатам и их существенные свойства описаны в пунктах. To формализовать концепцию пределов, оценки ошибок, определения символов порядка и другие спецификации представлены в разделе 1.3. Раздел 1.4 содержит определение асимптотического разложения, асимптотической последовательности и степенного ряда, а также Раздел 1.5 содержит сравнение между сходящимся рядом и асимптотическим рядом. Далее в разделе определяются равномерные и неоднородные асимптотические разложения. Краткое описание операции по асимптотическому разложению приведено в разделе. В главе 2 описывается, как изучать асимптотическое поведение решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Идея этого метода заключается в преобразовании заданной системы дифференциальных уравнений в специальную форму, называемую L - диагональной. В некоторых случаях такого рода преобразование может быть выполнено путем элементарной линейной подстановки. Построение асимптотического разложения после преобразования решения линейного дифференциального уравнения в L-диагональную форму очень просто. Полезно сделать несколько общих замечаний о характеристиках рассматриваемой функции. Все числовые функции и параметры, о важности которых не делается никаких особых оговорок, в общем случае следует считать сложными. Например, в начале главы 2 предполагается, что коэффициенты и искомые функции дифференциального уравнения являются комплексными значениями в общем случае, когда t является действительным (с полубесконечным интервалом, определенным для t). Определите абсолютную непрерывность этой функции в соответствующем замкнутом интервале, определив суммируемость производных функции в определенном интервале. Везде, где рассматривается система дифференциальных уравнений с суммируемыми коэффициентами, ее решение подразумевает набор абсолютно непрерывных функций, которые удовлетворяют уравнению практически в любом месте заданного интервала. ГЛАВА 1 – ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ Уравнение вида:  Есть дифференциальное уравнение 2-го порядка с 2 переменными x и желаемой функцией z от y. Уравнения математической физики линейны, в отличие от уравнений с общей формой частных производных порядка 2, т.е. они линейно зависят от искомой функции и ее частных производных. Например, для 2 независимых переменных они имеют вид:  Уравнение называется однородным, если  , если  , то уравнение называется неоднородным.Обозначаем левую часть уравнения через  , тогда можно записать в виде: .Соответствующее однородное уравнение примет вид:  . - линейный дифференциальный оператор. Самостоятельно проверить свойства линейности оператора .Следующее утверждение непосредственно следует свойству линейности оператора L(z): Теорема 1.1. Если Z (x,y) является решением линейного однородного уравнения, то функция Cz (x,y) также является решением уравнения, а C - любая постоянная. Теорема 1.2. Если Z_1 (x,y) и z_2 (x,y) являются решениями линейных однородных уравнений, то сумма z_1 (x,y) + z_2 (x,y) также является решением этого уравнения. Следствие. Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами k решений уравнения  также является решением этого уравнения.В отличие от обычных линейных однородных дифференциальных уравнений с конечным числом линейно независимых частных решений, линейная комбинация дает общее решение этого уравнения, но уравнение в частных производных может иметь бесконечный набор линейно независимых частных решений. Например уравнение:  имеет общее решение  , поэтому его решениями будут, например, функции  Для линейного неоднородного:  - уравнения справедливы.Теорема 1.3. Если  - решение линейного неоднородного уравнения, а  - решение соответствующего однородного уравнения, сумма  также является решением неоднородного уравнения.Теорема 1.4. Если  - решение уравнения  , а  - решения уравнения  , то сумма + является решением уравнения  .Рассмотрим классификацию дифференциальных уравнений 2-го порядка с 2 независимыми переменными. Определение. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка в некоторой области  на плоскости хОу называется:гиперболическим в , если  в ;эллиптическим в , если  в ;параболическим в , если  в .Простейшим из гиперболических уравнений является волновое уравнение:  .Это обнаруживается в проблемах, связанных с процессом вибрации. Простейшим из уравнений эллиптического типа является уравнение Лапласа  .Интеграл этого уравнения достигается при изучении стационарных процессов. Простейшим уравнением параболического типа является уравнение теплопроводности (уравнение Фурье):  .Это часто встречается при изучении теплопроводности и диффузионных процессов. Позже мы рассмотрим эти уравнения более подробно. В курсе математической физики также изучаются более общие формы волновых уравнений, уравнений Лапласа и уравнений Фурье:  ,  , , ,  .Уравнение приводится к каноническому виду в достаточно малой окрестности любой заданной точки. Предположим, что коэффициенты A, B и C уравнения принадлежат классу C ^ 2 в некоторой окрестности и в то же время нигде в нем не исчезают. Чтобы быть уверенным, мы можем предположить≠0 в этой окрестности. Конечно, в противном случае вы могли бы найти C≤0, но если вы поменяете местами x и y, то получите уравнение с a≤0.Если A и C равняются нулю в какой-то точке одновременно, то B ≤0 вблизи этой точки.В этом случае после деления на 2 уравнение уже будет иметь канонический вид:  .Теперь давайте перейдем к новой переменной:  ,  ,  ,Тогда:  , ,  ,  ,  .Поэтому уравнение примет вид:  , где , , .Потребуем, чтобы функции и  обращали в нуль коэффициенты  и  , т.е. удовлетворяли уравнениям: , .Так как  , то эти уравнения эквивалентны линейным уравнениям ,  ,где  ,  ,  .Как мы с вами заметили, в зависимости от  возможны три типа уравнений. Рассмотрим отдельно эти три случая.Гиперболический тип,  .В этом случае уравнение приводится к каноническому виду:  Замена переменных  ,  приводит уравнение к другому, эквивалентному, каноническому виду: Чтобы доказать это представление, мы покажем, что существует по крайней мере одна пара решений уравнений π и n, удовлетворяющих условию. Во-первых, давайте установим взаимосвязь между этими решениями и характеристиками уравнения. Предположим, что существуют решения уравнений, такие что  ,  в рассматриваемой окрестности, тогда кривые: ,  Определите 2 семейства характеристик уравнения. Давайте теперь докажем следующее вспомогательное утверждение. Лемма. Пусть функция  такая, что  . Для того, чтобы семейство кривых  определяло характеристики уравнения, необходимо и достаточно, чтобы выражение было общим интегралом одного из обыкновенных дифференциальных уравнений ,  Это уравнение называется дифференциальным уравнением характеристики уравнения. ГЛАВА 2 – АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ X. ГЛАВНЫЙ ЧЛЕН АСИМПТОТИКИ В предыдущем разделе было определено понятие асимптотической декомпозиции и представления явно заданных функций. Как правило, задача приложения сложнее, чем нахождение асимптоты заданной функции. Физическая величина как функция переменной определяется неявно с помощью различных уравнений (дифференцирование, интегрирование и т.д.). Однако не всегда возможно получить асимптотическое значение искомой функции в 2 этапа. Сначала найдите функцию явно, затем найдите ее декомпозицию. В этом случае первый шаг опускается, и асимптотическое значение определяется непосредственно из уравнения. Многие проблемы, возникающие в теоретической физике, приводят к дифференциальным уравнениям второго порядка с переменными коэффициентами. В этом разделе мы рассмотрим методы аппроксимации для решения уравнений вид аy′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, при x→ ∞. 2.1 Главный член асимптоматики Решения можно сравнить с решением некоторого эталонного уравнения. Если положить, например, p(x) = 0, q(x) = ±1, то уравнение примет вид y′′ ± y= 0. Как известно, для него существуют, соответственно знаку пе ред y, по паре линейно независимых решений e±ixи e±x. Зададимся вопросом: при каких условиях уравнения y′′ ± q(x)y= 0 имеют решения, эквивалентные на бесконечности функциям e±ixили e±x? Ответ даст ряд теорем. Положим функцию q(x) в уравнении (10) равной q(x) = 1 + ϕ(x). 2.2 Лимма 1. Если функция ϕ(x) удовлетворяет условиям: lim x→∞ ϕ(x) = 0, 2.∫∞ |ϕ(x)|dx<∞, тоуравнение: y′′ + (1 + ϕ(x))y= 0 обладает двумя решениями, имеющие соответственно асимптотическийвидприx→ ∞: y1,2 = e±ix+ o(1) иливвещественнойформе: y1 = sin x+ o(1),y2 = cos x+ o(1). 2.3 Лимма 2. Если функция ϕ(x) удовлетворяет условиям: limx→∞ ϕ(x) = 0, 2.∫∞ |ϕ(x)|dx<∞, то уравнение y′′ − (1 + ϕ(x))y= 0 обладает двумя решениями, имеющие соответственно асимптотическийвидприx→∞: y3,4 = e±x+ o(1) . Теоремы A и B говорят о форме первого члена асимптотического представления решения уравнения. Этот член называется основным асимптотическим решением уравнения. Дополнительные предположения о функциях сделаны ниже ϕ(x), что позволит уточнить асимптотики y1,2 и y3,4, то есть получить следующий наименьший член в асимптотическом представлении и тем самым уменьшить ошибку в приближении. Процесс нахождения асимптотического разложения решения уравнения можно разделить на 2 этапа. Сначала постройте последовательность калибровки {ψk(x)} так называемые формальные асимптотические решения: ∞ y=ckψk(x). k=1 Частичная сумма n yn=ckψk(x) k=1 ряда (13) должна удовлетворять условию:  y′′ ± q(x)y^ = o(ψ(x)),x→ ∞nn для любого n. В^о вторых, доказать, что существует решение y(x) уравнения (10), которое разлагается в построенный выше формальный ряд. Это означает, что для любого nвыполняется условие:  ^ y(x) − yn(x) = O(ψn+1(x)),x→ ∞. Ещё раз отметим, что асимптотический ряд (13) не обязан сходиться. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Обсуждается один из методов изучения асимптотического поведения решения линейных дифференциальных уравнений. Идея этого метода заключается в преобразовании заданной системы дифференциальных уравнений в специальную форму, называемую L-диагональной. В некоторых случаях такого рода преобразование может быть выполнено путем элементарной линейной подстановки. Построение асимптотического разложения после преобразования решения линейного дифференциального уравнения в L-диагональную форму очень просто. Мы также предоставляем общую информацию об асимптотическом разложении и решаем задачу нахождения оптимального алгоритма для нахождения асимптотических методов для системы дифференциальных уравнений второго порядка. Как мы видим, предложенный метод хорошо реализован для определенных задач. Главное преимущество этого метода заключается в том, что он сочетает в себе эффективность нанесения и проникновения. Доказательство с 409 страницы: Дано уравнение: −qxy(x)+d2dx2y(x)=0 – это уже преобразованное уравнение с 409 страницы первого порядка Это дифференциальное уравнение имеет вид: f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'), где: f1(x)=1 g1(y′)=1 f2(x)=xy(x)) g2(y′)=q Приведём уравнение к виду: g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x). Разделим обе части уравнения на g2(y') и получим: d2dx2y(x)q=xy(x) Этим самым мы разделили переменные x и y'. Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким: dxd2dx2y(x)q=dxxy(x) или dy′q=dxxy(x) Возьмём от обеих частей уравнения интегралы: - от левой части интеграл по y', - от правой части интеграл по x. ∫1qdy′=∫xy(x)dx∫1 Возьмём эти интегралы y′q=Const+∫xy(x)dx Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y'. (Const - это константа) Решением будет: y′(x)=C1+q∫xy(x)dxy′ Возьмём эти интегралы: ∫d0+1dxy(x)dx=∫(C1+q∫xy(x)dx)dx∫ y(x)=C2+∫(C1+q∫xy(x)dx)dx В итоге система преобразований говорит о том что система приводится к упрощённому виду с целью того, чтобы решить данную систему через интегрирование системы первого порядка. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Вазов,В. Асимптотическое разложение решений обыкновенных дифференциальных уравнений /В.Вазов - М.: Мир, 1968. 2. Зайцев,В.Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / В.Ф.Зайцев,А.Д.Полянин -М.: Физматлит, 2001. - 576 с. 3. Калинин, В.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения (пособие для практических занятий) / В.Ф.Калинин - Издательство ФГУП "Нефть и газ" Российский государственный университет нефти и газа им. Губкина, 2005. Страница 68 4. Камке,А. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / А.Камке - М.: Наука, 1976. 5. Коддингтон, Э.А.Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Коддингтон Э.А.Н.Левинсон М.: ИЛ, 1958. 6. Краснов, М.Л.Обыкновенные дифференциальные уравнения: задачи и примеры с подробными решениями /М.Л.Краснов.А.И Киселев. Макаренко М.: Изд-во УРСС, 2002. Страница 256 7. Кузьмина,Р.П. Асимптотические методы для обыкновенных дифференциальных уравнений /Р.П.Кузьмина -М.: Унифицированный УРСС, 2003. 8. Матвеев, Н. и др.Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. /Н.Матвеев-М.: Высшая школа, 1967.-557 Метод возмущения /А.Найфе - М.: Мир, 1976. 9. Пантелеев,А.В. Примеры и обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах / А.В.Пантелеев,А.С.Якимова,А.В.Босов-М.: Издательство МАИ, 2000.-380 10. Понтрягин Л.С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с меньшими параметрами при более высоких производных, Труды Академии наук СССР, серия metem, 21 (1957). 11. Пушкарь Е.А. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. - М.: МГИУ, 2007. Страница 254 12. Рапопорт, И.М.О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений / И.М.Рапопорт – Киев: Академия наук Украинской ССР, 1954. 13. Рапопорт И.М.Асимптотическое ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДАН СССР, КИЕВ, 1951 Самойленко,А.М. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи / А.М.Самойленко, С.А.Кривошея,Н.А. Перестюк –М.: Высшая школа, 1989. Страница 383 14. Тамаркин Д.О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и разложении любой функции в ряды / Я.Д.Тамаркин Санкт-Петербург, 1971 15. Федорюк,М.В. Асимптотический метод линейных обыкновенных дифференциальных уравнений /М.В.Федорюк –М.: Наука, 1983. 16. Фещенко, С.Ф.Асимптотический метод в разработке линейных дифференциальных уравнений / С.Ф.Фещенко, Н.И.Шкиль, Л.А.Д.Николенко - Киев: Научная думка, 1966. 17. Хартман Ф.Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970. Эльшольц, Л.Е. Исчисление дифференциальных уравнений и вариаций / Л.Е.Эльшольц - М.: Наука, 1969. Страница 424 |