Задачи по микроэкономике. А. Ю. Филатов Задачи иркутских олимпиад по математической экономике 20042006 годов с решениями Сборник задач
 Скачать 0.59 Mb.
|
|
Федеральное агентство по образованию Иркутский государственный университет А. Ю. Филатов Задачи иркутских олимпиад по математической экономике 2004–2006 годов с решениями Сборник задач Рекомендовано Иркутским региональным отделением Научно-методического совета по математике Министерства образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов математических и экономико-математических специальностей университетов. Иркутск – 2006 УДК 373.167.1:330 ББК 65.01я721 Печатается по решению редакционно-издательского совета Иркутского государственного университета Рецензенты: д-р техн. наук, проф. Зоркальцев В. И. (зав. кафедрой математической экономики ИМЭИ ИГУ), канд. физ.-мат. наук Бокмельдер Е. П. (доцент кафедры математического анализа ИМЭИ ИГУ), канд. экон. наук Савватеев А. В. (старший научный сотрудник ЦЭМИ РАН, доцент РЭШ), Филатов А. Ю.Задачи иркутских олимпиад по математической экономике 2004–2006 годов с решениями: сб. задач. – Иркутск: Ир- кут. ун-т, 2006. – 32 с. Содержит задачи из области микро- и макроэкономики, теории производст- венных организаций, составленные и предложенные автором на городских и ре- гиональных олимпиадах школьников и студентов по математической экономике в 2004–2006 годах. Задачи сопровождаются решениями. Более сложные задачи отмечены звездочкой, наиболее трудные и требующие специальной подготовки – отмечены двумя звездочками. Предназначен для преподавателей экономики средних общеобразователь- ных школ, средних специальных учебных заведений и вузов. Также будет поле- зен старшеклассникам, студентам и аспирантам, изучающим курсы по микро- и макроэкономике. © Филатов А.Ю., 2006 © Иркутский государственный университет, 2006 Александр Юрьевич Филатов, e-mail: fial@irlan.ru, ICQ 10793366 Другие авторские разработки в области математической экономики выложены на сайтах http://polnolunie.baikal.ru/me/mat_ec.htm http://matec.isu.ru http://fial_.livejournal.com Редактор Э. А. Невзорова Темплан 2006. Поз.38. Подписано в печать 16.05.2006. Формат 60 ×84 1/16. Бумага писчая белая. Печать офсетная. Уч.-изд.л. 2,0. Тираж 300 экз. Редакционно-издательский отдел Иркутского государственного университета 664003, Иркутск, бул. Гагарина, 36 2 Задачи иркутских экономических олимпиад Спрос и предложение 1. Спрос и предложение Задача 1 Фирма понизила цену на свою продукцию на 20%. На сколько процентов фирма должна повысить цену, чтобы она стала первоначальной. Объяснить. Решение: Пускай начальная цена составляла p. После понижения она стала равной 0,8p. По условию, 0,8p x = p. Отсюда повышение цены составит x = p / 0,8p =1,25 раза или 25%. Задача 2 Фирма повысила цены на велосипеды на 20%, в результате объем продаж сокра- тился на 10%. Как изменилась выручка? Решение: Пускай начальная цена составляла p, а объем продаж q. Выручка в этой ситуации была равна pq. После повышения цена стала равна 1,2p, а объем продаж 0,9q. Новая выручка составила 1,2p ×0,9q = 1,08pq, что на 8% больше, чем раньше. Задача 3 В микрорайоне есть 2 супермаркета: «Мир ниже нуля» и «+20». Первый с целью увеличения объема продаж снижает цену на 20%. Второй – каждому покупателю дает дополнительно 20% продукции бесплатно. Есть ли разница, где делать по- купки, если изначально цены были одинаковы? Ответ поясните. Решение: В супермаркете «Мир ниже нуля» на первоначальную сумму TR по сниженной на 20% цене 0,8p можно купить объем товара p TR p TR q 25 , 1 8 , 0 = = , то есть на 25% боль- ше, чем раньше. Супермаркет же «+20» дает бесплатно только 20% продукции. Ответ. В супермаркете «Мир ниже нуля» делать покупки выгоднее. Задача 4 Пусть годовой спрос на CD-RW в Иркутске задан соотношением p q = − 50 0 1 , , а в Шелехове – p q = − 40 0 4 , . Здесь p – цена (в руб.), а q – объем продаж (в тыс. шт.). Если цена превышает уровень 50 руб. в Иркутске и 40 руб. в Шелехове, спрос становится нулевым. Найти суммарный спрос на CD-RW в 2 городах. Решение: Выразим объем продаж в Иркутске ( ) и в Шелехове ( )через цену: 1 q 2 q q p 1 500 10 = − при p ≤ 50 и при q 1 0 = p > 50 ; q p 2 100 2 5 = − , при p ≤ 40 и при q 2 0 = p > 40 Суммарный спрос [ ] ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ∈ − ∈ − = 50 , 0 ; 50 ; 40 , 10 500 ; 40 ; 0 , 5 , 12 600 p p p p p Q p Q 40 600 50 100 3 Задачи иркутских экономических олимпиад Спрос и предложение Задача 5 Заполните пропущенные ячейки в таблице. Ответ поясните. Цена Спрос Предлож. Дефицит Избыток Объем продаж Выручка 40 80 800 80 30 1800 50 5 5000 120 30 40 Решение: Используем формулы: 1) дефицит = спрос – предложение, если спрос > предложения; 2) избыток = предложение – спрос, если предложение > спроса; 3) объем продаж = min{спрос, предложение}; 4) выручка = цена × объем продаж. Ответ. Цена Спрос Предлож. Дефицит Избыток Объем продаж Выручка 40 100 20 80 – 20 800 60 80 30 50 – 30 1800 100 55 50 5 – 50 5000 120 40 70 – 30 40 4800 Задача 6 Какие изменения равновесной цены и объема продаж на рынке автомобилей можно ожидать в результате каждого из описанных ниже событий? Проиллюст- рируйте произошедшие изменения с помощью графиков. 1. Государство увеличило таможенные пошлины. 2. Выросли доходы населения. 3. Резко повысилась цена на бензин. Решение: p q S D S’ p q S D D’ p q S D D’ 1 2 3 1. Увеличение таможенных пошлин сокращает предложение (по старой цене производители не в состоянии поставлять прежнее количество автомобилей). Цена увеличивается, объем продаж сокращается. 2. Увеличение доходов стимулирует увеличение спроса на автомобили. Цена и объем продаж увеличиваются. 4 Задачи иркутских экономических олимпиад Спрос и предложение 3. Поскольку бензин и автомобили являются дополняющими товарами, то подо- рожание бензина приведет к сокращению спроса на автомобили. Цена и объ- ем продаж сокращаются. Задача 7 Пусть p – цена мороженого (в руб.), q – объем продаж (в млн. шт.). Апрельский спрос задан функцией . В мае он увеличился на 40%. Определить функцию майского спроса на мороженое. Каков будет спрос при цене 7 руб.? При какой цене мороженое перестанут покупать совсем? p q D 2 , 0 2 − = Решение: В мае спрос увеличивается на 40% или в 1,4 раза. Зависимость будет иметь вид . При цене 7 руб. спрос составит ( ) p p q D 28 , 0 8 , 2 2 , 0 2 4 , 1 − = − = 84 , 0 7 28 , 0 8 , 2 = × − = q Найдем, при какой цене спрос станет нулевым: 0 28 , 0 8 , 2 = − p , 10 28 , 0 8 , 2 = = p руб. Задача 8* Предприятие ежедневно производит лекарство в количестве . Еже- дневный объем спроса составляет q p S = − 2 80 p q D = − 130 . Как и насколько изменится рав- новесный объем продаж и равновесная цена, если государство примет решение дотировать каждую единицу продукции в размере 15 руб.? Решение: Точка равновесия – это точка, в которой спрос равен предложению. Найдем точ- ку равновесия в ситуации до введения государственной дотации: 130 2 80 3 210 70 130 70 60 − = − = = = − = p p p p q , , * , * Введение дотации приведет к росту предложения. Если на ценнике указана цена p, то производитель получает руб. и готов предоставить на рынок лекар- ство в объеме ( p + 15 ) ( ) q p p S = + − = − 2 15 80 2 50 . Таким образом, в новой ситуации 130 2 50 3 180 60 130 60 70 − = − = = = − = p p p p q , , ** , ** Ответ. Введение государственной дотации сократит цену лекарства с 70 до 60 руб. и увеличит ежедневный объем продаж с 60 до 70 упаковок. Задача 9 Известно, что при бесплатном входе на концерт придет 4 тыс. зрителей, а увели- чение цены билета на каждый рубль сокращает их число на 5 человек. Какую цену за билет должны установить организаторы, если они хотят максимизиро- вать выручку, сколько человек придет на концерт и какова будет выручка? Решение: Спрос на билеты в зависимости от цены выражается функцией p q D 5 4000 − = Выручка равна произведению числа билетов и цены, ее надо максимизировать: (4000 – 5p) p → max. Подсчитываем производную и приравниваем ее к нулю. 400 , 0 10 4000 = = − p p руб., 800 2000 400 , 2000 400 5 4000 = × = = × − = π q тыс. руб. Ответ. Цена билета 400 руб., придут 2000 зрителей, выручка составит 800 тыс. руб. 5 Задачи иркутских экономических олимпиад Эластичность Задача 10* Месячный спрос на говядину на иркутском рынке составляет , а предложение . Здесь p – цена, руб., а q – объем продаж, т. Найти объем продаж на третий месяц в условиях динамической паутинообразной мо- дели рынка, если в первый месяц на рынок будет привезено 96 т. говядины. Яв- ляется ли процесс сходящимся, расходящимся или постоянным? p q D 2 , 1 204 − = 12 6 , 0 − = p q S В паутинообразной модели объем привезенной продукции определяется из функции предложения на основе цены предыдущего месяца, а цена – из функции спроса при подстановке объема текущего месяца. Решение: Из уравнения спроса можно выразить цену p q D 2 , 1 204 − = q p D 6 5 170 − = . Отсюда, 90 96 6 5 170 6 5 170 1 1 = × − = − = q p , 42 12 90 6 , 0 12 6 , 0 1 2 = − × = − = p q , 135 42 6 5 170 6 5 170 2 2 = × − = − = q p , 69 12 135 6 , 0 12 6 , 0 2 3 = − × = − = p q Равновесную точку найдем, приравняв спрос и предложение: 12 6 , 0 2 , 1 204 − = − p p , , 216 8 , 1 = p p* = 120 руб. , т 60 * = q Поскольку ближе к , чем 69 3 = q 60 * = q 96 1 = q , а функции спроса и предложения линейные, то процесс сходящийся. 2. Эластичность Задача 11 Заданы значения эластичности спроса от доходов населения в краткосрочном и долгосрочном периодах на квартиры, мебель и одежду. Определить, какому то- вару соответствует какая строчка данных. Ответ объяснить. Краткосрочный период Долгосрочный период 0,95 1,17 0,07 2,45 2,60 0,53 Решение: Даже значительное повышение доходов в краткосрочном периоде не приведет к серьезному увеличению спроса на квартиры (квартира – слишком дорогой то- вар, чтобы его можно было купить сразу). В долгосрочном же периоде покупка квартир при повышении доходов становится возможной. То есть эластичность в долгосрочном периоде должна быть гораздо больше, чем в краткосрочном, что соответствует второй строке (0,07 → 2,45). Для мебели ситуация противоположная – повышение доходов уже в кратко- срочном периоде позволяет приобрести новую мебель. Однако в долгосрочном периоде повторное приобретение мебели, как правило, уже не требуется. Поэто- му эластичность в долгосрочном периоде меньше, чем в краткосрочном – третья строка (2,60 → 0,53). Оставшаяся первая строка (0,95 → 1,17) соответствует одежде. Эластичность слабо меняется в долгосрочном периоде относительно краткосрочного. 6 Задачи иркутских экономических олимпиад Эластичность Задача 12 Издатель журнала понизил цену на свое издание с 50 до 45 руб. По старым це- нам распродавался тираж 80 тыс. экз. Каков будет тираж журнала в новой ситуа- ции, если известно, что коэффициент ценовой эластичности спроса при цене 50 руб. равен –3? Решение: Цена сокращается с 50 до 45 руб., то есть новая цена составляет % 90 9 , 0 50 45 = = от старой, сокращение составляет 10%. ε = % % изменение спроса изменение цены , 10% спроса изменение % 3 − = − , 30% спроса изменение % = Новый тираж будет на 30% или в 1,3 раза больше и составит = ×80 3 , 1 104 тыс. экз. Задача 13 Монополист работает на рынке с неэластичным спросом. Как он должен изме- нить цену с целью максимизации прибыли? Ответ поясните. Решение: p q D p 0 p 1 q 0 q 1 В зоне неэластичного спроса даже серьезное по- вышение цены ведет лишь к небольшому падению спроса. Таким образом, выручка (на графике изо- бражена прямоугольниками) с ростом цены вырас- тет. Издержки в этой ситуации снизятся в связи с сокращением объема продаж. Таким образом, при- быль фирмы увеличится при повышении цены. Задача 14 Эластичность спроса на DVD-диски по цене равна –2, а по доходу равна 1,5. Це- на DVD-дисков в 2005 году упала на 30%. Доходы населения выросли на 10%. Как изменился объем продаж? Эластичности указаны для начальной ситуации. Решение: ε = % % изменение спроса изменение цены , 30% спроса изменение % 2 − = − , % изменение спроса = 60% ε = % % изменение спроса изменение дохода , 1 5 , % = изменение спроса 10% , % изменение спроса = 15% Таким образом, за счет понижения цены спрос вырос в 1,6 раза, а за счет повы- шения доходов еще в 1,15 раза. Итоговое увеличение составило 1,6 ×1,15 = 1,84 раза, т.е. объем продаж вырос на 84%. Задача 15* Эластичность спроса на пленочные фотоаппараты по цене равна –2,5, а по цене цифровых фотоаппаратов равна 1. Цифровые фотоаппараты в 2005 году подеше- вели на 20%. Как должны изменить цену производители пленочных фотоаппара- тов, чтобы объем продаж остался прежним. Эластичности указаны для началь- ной ситуации. 7 Задачи иркутских экономических олимпиад Эластичность Решение: ε C = % % изменение спроса измен.цены другого товара , 1 20% = − % измен.спроса , % измен.спроса = −20% Таким образом, за счет сокращения цены цифровых фотоаппаратов спрос на пленочные упал на 20%, то есть составил 0,8 от первоначального количества. Чтобы восстановить объем продаж, необходимо за счет цены увеличить спрос на пленочные фотоаппараты в 1 0 8 1 25 , , = раза, то есть на 25%. ε = % % изменение спроса изменение цены , − = 2 5 25% , % изменение цены , % изменение цены = −10% Отсюда видим, что производителям пленочных фотоаппаратов необходимо по- низить цену своей продукции на 10%. Задача 16* Известно, что спрос на журнал «Афиша Иркутска» линейно убывает с ростом цены. При текущей цене 15 руб. распространяется 6000 экземпляров. Найти функцию спроса, если известно, что текущая эластичность равна –0,5. Отыскать, при какой цене издатель получит максимальную выручку. Решение: Найдем, как изменится объем продаж, если це- на упадет до нуля (то есть на 100%): ε = % % изменение спроса изменение цены , % 100 % 5 , 0 − = − q Получим, что объем продаж должен вырасти на (–0,5) ×(–100%) = 50% и достичь 9000 экземпля- ров. Функция спроса имеет вид bp q D − = 9000 p q D 15 6000 Подставив в нее 15 = p и , получим, что 6000 = q 200 = b , p q D 200 9000 − = Максимизируем выручку, равную произведению цены и объема продаж: ( ) max 200 9000 200 9000 2 → − = − = = p p p p pq TR Приравняв производную к нулю ( 0 400 9000 ' = − = p TR ), найдем, что максимальная выручка будет при цене 9000/400 = |