Задачи по микроэкономике. А. Ю. Филатов Задачи иркутских олимпиад по математической экономике 20042006 годов с решениями Сборник задач
 Скачать 0.59 Mb.
|
|
22,5 руб. 3. Теория потребительского поведения Задача 17 Пепси-кола продается в магазине в полулитровых бутылках ценой 12 руб., лит- ровых – ценой 20 руб. и двухлитровых – ценой 30 руб. Сколько и каких бутылок будет покупать в месяц школьник Сережа, если он готов потратить на Пепси-колу 120 руб. и на эти деньги он хочет получить максимальное количество напитка? Решение: В полулитровых бутылках литр Пепси-колы стоит 12/0,5 = 24 руб., в литровых – 20 руб., а в двухлитровых – 30/2 = 15 руб. Школьник Сережа должен покупать Пепси-колу наиболее дешево – в двухлитровых бутылках, которых сможет приобрести 4 штуки. 8 Задачи иркутских экономических олимпиад Теория потребительского поведения Задача 18 На 2 товара – компакт-диски ( p x = 100 руб. ) и аудиокассеты ( p y ) Влад тратит в год 1000 руб. Определить оптимальный выбор, если его функция полез- ности: 1) = 25 руб. u xy = ; 2) u x ; 3) x = + 2 3 2 y y x u 4 3 = Решение: Выпишем бюджетное ограничение в алгебраической форме: При этом в точке оптимума тратятся все имеющиеся деньги, поэтому данное ог- раничение будет выполняться в виде равенства, и можно выразить одну пере- менную через другую: 1000 25 100 ≤ + y x x y 100 1000 25 − = , x y 4 40 − = . Подставим это выражение в каждую функцию полезности: 1) , ( ) max 4 40 4 40 2 → − = − = = x x x x xy u 0 8 40 = − x , 5 = x , 20 5 4 40 = × − = y 2) ( ) max 10 120 4 40 3 2 3 2 2 2 2 → − = − + = + = x x x x x xy x u , 0 20 120 = − x , 6 = x , 16 6 4 40 = × − = y 3) В этом случае удобно пользоваться свойством, справедливым для функций полезности Кобба-Дугласа : α и β – доли, в которых распределяет- ся имеющаяся сумма. В нашей ситуации средства делятся в пропорции 4:1, то есть 800 руб. на компакт-диски и 200 руб. на кассеты. Следовательно, опти- мальный выбор β α y Ax u = 8 100 800 = = x компакт–дисков и 8 25 200 = = y кассет. Ответ. 1) A(5; 20); 2) B(6; 16); 3) C(8; 8). Задача 19* Студент Дмитрий тратит в месяц 600 руб. на оплату интернета и приобретение компакт-дисков. Компакт-диски стоят 60 руб., а час работы в интернете 10 руб. При этом имеется альтернативная возможность разово заплатить 240 руб. и по- сле этого весь месяц работать в интернете за 5 руб./час. Построить множество покупательских возможностей Дмитрия. Определить оптимальный выбор, если функция полезности имеет вид u xy = , где x – число часов работы в интернете, а y – число купленных компакт-дисков. Что изменится, если разовая оплата увели- чится до 300 руб.? Если уменьшится до 120 руб.? Решение: Если Дмитрий не использует альтернативный тариф, то бюджетное ограничение выглядит 10 60 600 x y + ≤ (1). При использовании альтернативы после оплаты 240 руб. у Дмитрия остается 360 руб. Ограничение в этом случае принимает вид 5 60 360 x y + ≤ (2). Итоговым множеством покупательских возможностей будет объ- единение двух множеств, заданных указанными ограничениями и ограничениями x y ≥ ≥ 0 0 , Решением задачи xy x y → + = max, 10 60 600 будет точка A(30;5). Значение функ- ции полезности в ней составляет 30 × 5 = 150. Решением задачи xy x y → + = max, 5 60 360 будет точка B(36;3). Значение функции полезности в ней составляет 36 × 3 = 108, что существенно хуже, чем в точке A. Таким образом, Дмитрий не будет использовать альтернативный тариф. Если разовая оплата за интернет повысится до любой величины, в том числе, до 300 руб. (ограничение (3)), то Дмитрий по-прежнему не будет использовать аль- тернативный тариф. Оптимальный выбор (A) и полезность не изменятся. 9 Задачи иркутских экономических олимпиад Теория потребительского поведения 20 1 2 A C 4 3 40 60 80 y 10 5 x Если разовая оплата снизится до 120 руб., то новое ограничение будет иметь вид 5 60 480 x y + ≤ . Максимум функции u xy = достигается при этом в точке C(48;4), а полезность окажется равной 48 × 4 = 192, что больше, чем в точке A. Таким об- разом, Дмитрий будет использовать альтернативный тариф и получит при этом большую полезность. Задача 20* Компания, собираясь на шашлыки, планирует потратить на пиво (товар х) и мясо (товар y) не более 1100 руб. Мясо стоит 200 руб. / кг. Цена пива составляет 25 руб. при покупке до 20 бутылок, 22 руб. – при покупке 20 и более бутылок, 20 руб. – при покупке 40 и более бутылок. Построить множество потребительских возможностей. Найти оптимальный выбор, если функция полезности имеет вид: 1) xy u = ; 2) y x u 2 = Решение: Построим множество потребительских возможностей. Если все деньги будут по- трачены на мясо, компания в состоянии купить 1100/200 = 5,5 кг. Если все деньги будут потрачены на пиво ценой 25 руб., можно купить 1100/25 = 44 бутылки, по цене 22 руб. – 1100/22 = 50 бутылок, по цене 20 руб. – 1100/20 = 55 бутылок. В точках x=20 и x=40 наблюдается скачкообразное увели- чение множества потребительских возможностей. Ито- говое множество ограничено жирной линией. Найдем оптимальный выбор. Для функции по- лезности xy u = имеющиеся средства делятся пополам, то есть по 550 руб. на каждый из товаров. При покупке пива по цене 22 руб. денег хватит на 25 буты- лок и 2,75 кг мяса (точка A). 4 10 20 30 40 2 A B 50 x y 5,5 10 Задачи иркутских экономических олимпиад Теория фирмы Проверим, нельзя ли увеличить полезность, покупая пиво по 20 руб. В этом слу- чае денег хватает на 27,5 бутылок, однако минимальный объем покупки при та- кой цене 40 бутылок. Мяса можно купить на 1100 – 40 × 20 = 300 руб., то есть 300/200 = 1,5 кг (точка B). ( ) ( ) B u A u = × = > = × = 5 , 1 40 60 75 , 68 75 , 2 25 , поэтому оп- тимальным выбором будет все-таки точка A (25; 2,75). Для функции полезности средства делятся в соотношении 2:1, то есть примерно 773 руб. на пиво и 367 руб. на мясо. При покупке пива по 22 руб. можно купить y x u 2 = 3 1 33 бутылки и 1,83 кг мяса. Полезность при этом составит 2037. Если пиво покупается по 20 руб., денег хватит на 773/20 = 36,7 бутылок. Мини- мальный объем покупок составляет 40 бутылок, так что ближайшей допустимой точкой снова будет точка B, полезность в которой ( ) 2037 2400 5 , 1 40 2 > = × = B u Таким образом, для этого случая оптимальным выбором будет точка B (40; 1,5). 4. Теория фирмы Задача 21 В таблице представлена часть данных о возможных вариантах ведения бизнеса на некотором предприятии при неизменных постоянных издержках. Восстановите не- достающую информацию. Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Цена, руб. p 70 50 Объем продаж, тыс. шт. q 30 40 Выручка, тыс. руб. TR Постоянные издержки, тыс. руб. FC Переменные издержки, тыс. руб. VC 900 1200 Суммарные издержки, тыс. руб. TC 1600 1900 Прибыль, тыс. руб. π 800 800 Решение: Будем использовать формулы: pq TR = , VC FC TC + = , TC TR − = π , а также то, что постоянные издержки для всех 3 вариантов ведения бизнеса одинаковы. Из второго столбца 1000 900 1900 = − = FC , 2800 40 70 = × = TR , 900 1900 2800 = − = π В первом столбце 600 1000 1600 = − = VC , 2400 800 1600 = + = TR , 80 30 2400 = = p В третьем столбце 2200 1200 1000 = + = TC , 3000 800 2200 = + = TR , 60 50 3000 = = q Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Цена, руб. p 80 70 50 Объем продаж, тыс. шт. q 30 40 60 Выручка, тыс. руб. TR 2400 2800 3000 Постоянные издержки, тыс. руб. FC 1000 1000 1000 Переменные издержки, тыс. руб. VC 600 900 1200 Суммарные издержки, тыс. руб. TC 1600 1900 2200 Прибыль, тыс. руб. π 800 900 800 11 Задачи иркутских экономических олимпиад Теория фирмы Задача 22 Выручка предпринимателя за год составила 4 млн. руб. Для этого ему потребо- валось в начале года вложить в дело 2 млн. 200 тыс. руб. Найти бухгалтерскую и экономическую прибыль предпринимателя при условии, что ему предлагали следующую альтернативу: сдать производственные помещения в аренду за 750 тыс. руб. в год и наняться на работу с зарплатой в 25 тыс. руб. / мес. Налог на при- быль 24%. Процентные ставки по кредиту и депозиту 20% и 10% соответственно. Собственные средства предпринимателя на начало года составляли 700 тыс. руб. Решение: Прибыль к налогообложению составит 4000–2200 = 1800 тыс. руб. Налог на прибыль равен 1800 × 0,24 = 432 тыс. руб. Также предпринимателю необходимо взять кредит на сумму 2200–700 = 1500 тыс. руб., по которому требуется выпла- тить 1500 × 0,2 = 300 тыс. руб. процентов. Бухгалтерская прибыль равна 4000–2200–432–300 = 1068 тыс. руб. В альтернативе предприниматель мог получить 750 тыс. руб. арендной платы, 25 × 12 = 300 тыс. руб. зарплаты и 700 × 0,1 = 70 тыс. руб. банковского процента. Экономическая прибыль равна 1068–750–300–70 = –52 тыс. руб. Задача 23 Михаил живет в Слюдянке, а работает в Иркутске. Он ездит на работу на микро- автобусе, который идет 2 часа при цене билета 80 руб. 1) При каком уровне почасовой оплаты труда ему будет экономически выгоднее ездить на электричке, которая идет 3 часа при цене билета 40 руб.? 2) При какой почасовой зарплате он станет ездить на такси за 300 рублей, если на такси он может добраться до Иркутска за 1,5 часа? Решение: 1) Если Михаил ездит на электричке, то он экономит 40 руб., но тратит лишний час. Если он за час зарабатывает меньше 40 руб., то ему экономически вы- годнее ездить на электричке. 2) Михаилу выгоднее ездить на такси, если за сэкономленные полчаса он может заработать больше переплаченных 220 руб. Этот случай оплаты, превышаю- щей 440 руб./час. Ответ. 1) Меньше 40 руб./час 2) Больше 440 руб./час Задача 24 Предприниматель шьет рюкзаки себестоимостью 300 руб. Спрос на его продук- цию составляет q D p = − 350 0 5 , , где q – количество, шт., а p – цена, руб. Сколько рюкзаков и по какой цене будет продавать предприниматель, чтобы получить максимальную прибыль? Какова будет эта прибыль? Решение: Предприниматель, устанавливая цену p, будет с каждого проданного рюкзака получать прибыль (p – 300) руб. Таких рюкзаков он продаст . Сум- p q 5 , 0 350 − = 12 Задачи иркутских экономических олимпиад Теория фирмы марная прибыль составит ( )( ) 105000 500 5 , 0 5 , 0 350 300 2 − + − = − − = p p p p π . Ее нужно максимизировать: 0 500 = − = ′ p π . Следовательно, цена будет равна руб., объем продаж составит 500 = p 100 500 5 , 0 350 = × − = q рюкзаков, а предприниматель по- лучит прибыль ( ) 20000 100 300 500 = × − = π руб. Задача 25* Фирма действует на рынке совершенной конкуренции. Зависимость суммарных из- держек от выпуска представлена в таблице: Суточный выпуск, тыс. шт. q 0 1 2 3 4 5 6 Суммарные издержки, тыс. руб. TC 500 620 700 900 1240 1750 2400 На рынке установилась цена 400 руб. 1) Сколько продукции должна производить фирма, чтобы достичь максимума прибыли? Какова будет при этом прибыль? 2) Начиная с какой цены, фирма может работать с прибылью? 3) При какой цене фирме будет выгоднее прекратить производство продукции? Рассмотреть краткосрочный период. Решение: 1) Умножив суточный выпуск на 400, получим суммарную выручку. Прибыль равна разности суммарной выручки и суммарных издержек: Суточный выпуск, тыс. шт. q 0 1 2 3 4 5 6 Суммарные издержки, тыс. руб. TC 500 620 700 900 1240 1750 2400 Суммарная выручка, тыс. руб. TR 0 400 800 1200 1600 2000 2400 Прибыль, тыс. руб. π –500 –220 100 300 360 250 0 Из таблицы видим, что максимальная прибыль, равная 360 тыс. руб., будет при суточном выпуске 4 тыс. единиц продукции 2) Фирма работает с прибылью, если цена устанавливается выше уровня мини- мума средних суммарных издержек. Для их нахождения разделим суммарные издержки на выпуск. Суточный выпуск, тыс. шт. q 0 1 2 3 4 5 6 Средние сумм. издержки, руб. ATC – 620 350 300 310 350 400 Минимальное значение составляет 300 руб. Если цена устанавливается выше 300 руб., фирма работает с прибылью. 3) Фирма прекращает производство продукции, если она не в состоянии покрыть даже переменные издержки, то есть если цена устанавливается ниже миниму- ма средних переменных издержек. Для их нахождения разделим переменные издержки на выпуск. Переменные издержки можно отыскать, отняв от сум- марных издержек постоянные, равные 500 тыс. руб. (издержкам при нулевом объеме производства). Суточный выпуск, тыс. шт. q 0 1 2 3 4 5 6 Переменные издержки, тыс. руб. VC 0 120 200 400 740 1250 1900 Средние перем. издержки, руб. AVC – 120 100 133 185 250 317 Минимальное значение составляет 100 руб. Если цена устанавливается ниже 100 руб., фирма прекращает производство продукции. 13 Задачи иркутских экономических олимпиад Теория фирмы Задача 26* Функция суммарных издержек в зависимости от объема производства q (тыс. шт.) имеет вид (тыс. руб.). Найти, при каких ценах на про- дукцию фирма будет получать прибыль, при каких – нести убытки, а при какой цене вовсе уйдет с рынка. Рассмотреть краткосрочный период. ( ) 10000 600 2 + + = q q q TC Решение: Фирма будет получать прибыль, если цена установится выше минимума средних суммарных издержек, уйдет с рынка, если цена установится ниже минимума средних переменных издержек, и будет нести убытки, продолжая при этом про- изводство, при промежуточных ценах. min 10000 600 → + + = = q q q TC ATC , 100 , 0 10000 1 2 = = − q q , 800 min = ATC руб. q q VC 600 2 + = , min 600 → + = = q q VC AVC , 600 min = AVC руб. при 0 = q Ответ. – фирма получает прибыль; 800 > p – фирма несет убытки, но продолжает производство; [ 800 ; 600 ∈ p ] – фирма закрывается. 600 < p Задача 27 Сравнить эффективность двух инвестиционных проектов, рассчитанных на 3 го- да, при дисконте . В таблице заданы чистые прибыли/убытки (в тыс. руб.) за каждый год: d = 20% 1-й год 2-й год 3-й год Проект 1 –1000 720 720 Проект 2 –1000 240 1224 Решение: Приведем чистые прибыли/убытки каждого года к деньгам первого года. Для этого суммы второго года разделим на 1,2, а суммы третьего года – на 1,2 2 =1,44: 1-й год 2-й год 3-й год Проект 1 –1000 600 500 Проект 2 –1000 200 850 После этого, просуммировав приведенные прибыли/убытки за 3 года, получим чистую текущую стоимость каждого проекта. NPV 1 1000 600 500 100 = − + + = ; NPV 2 1000 200 850 50 = − + + = Таким образом, при дисконте d = 20% наиболее эффективным оказывается проект 1. Замечание: если считать, что все прибыли/убытки приведены на конец года, то чистая текущая стоимость каждого проекта окажется в 1,2 раза меньше. На вы- вод это не влияет. Задача 28 Проранжировать по внутренней норме доходности 3 инвестиционных проекта различной длительности, требующие стартовых капиталовложений в 1 млн. руб. В таблице приведены чистые прибыли (в тыс. руб.) за каждый год: 14 |