Задачи по микроэкономике. А. Ю. Филатов Задачи иркутских олимпиад по математической экономике 20042006 годов с решениями Сборник задач
 Скачать 0.59 Mb.
|
|
520 контрольных работ. 19 Задачи иркутских экономических олимпиад Рыночные структуры 2) Работники «CWR» разрабатывают сайт в 10 раз дольше, чем решают контроль- ную работу. Если цена сайта будет превышать цену контрольной работы менее, чем в 10 раз (будет менее 3000 руб.), то они будут решать контрольные работы. 3) Работники «Минимакса» разрабатывают сайт в 120 раз дольше, чем решают контрольную работу. Если цена сайта превысит цену контрольной работы бо- лее, чем в 120 раз (то есть будет больше 36000 руб.), то они будут разрабаты- вать сайты. При цене сайта от 3000 до 36000 руб. будет выгодна специализация. Задача 36 В таблице заданы чистые прибыли/убытки (в млн. руб.) от реализации трех ин- вестиционных проектов, в зависимости от действий конкурента (который либо идет на сговор с нашей фирмой, либо действует в своих интересах, либо пытает- ся удалить нашу фирму с рынка). Идет на сговор Действует в своих интересах Пытается удалить с рынка Проект 1 8 6 4 Проект 2 15 5 –5 Проект 3 8 7 2 Определить наиболее привлекательный проект, если по оценке экспертов конку- рент с вероятностью 30% пойдет на сговор, а с вероятностью 20% будет пытать- ся удалить нашу фирму с рынка. Решение: Поскольку заданы вероятности каждого из 3 вариантов действий конкурента (30%, 50% и 20% соответственно), то можно подсчитать математическое ожида- ние прибыли для каждого проекта: 2 , 6 4 2 , 0 6 5 , 0 8 3 , 0 1 = × + × + × = π M ; 6 5 2 , 0 5 5 , 0 15 3 , 0 2 = × − × + × = π M ; 3 , 6 2 2 , 0 7 5 , 0 8 3 , 0 3 = × + × + × = π M Ответ. Наиболее привлекательным оказывается проект 3. Задача 37* Продажу апельсинов на рынке с суточным спросом p q D 20 1000 − = (p – цена, руб., q – объем продаж, кг), контролирует фирма «Яблокитай». Однажды на рынке появ- ляется конкурент-однодневка, предлагающий сделку: он быстро продает 120 кг апельсинов по 20 руб., после чего фирма «Яблокитай» остается монополистом на остаточном спросе. Альтернативой является продажа фирмой «Яблокитай» апель- синов по цене не дороже 20 руб. Тогда конкурент в борьбу не вступает. Определить экономически оптимальное поведение и прибыль фирмы «Яблокитай» в этих услови- ях, если себестоимость килограмма апельсинов для нее составляет 10 руб. Считать, что покупать дешевые апельсины у конкурента будут случайно подошедшие покупатели. Решение: Рассмотрим обе альтернативы. Первая состоит в том, чтобы продавать апельси- ны по цене, не дороже, чем у конкурента: 20 = p руб. Тогда покрывается весь рыночный спрос 600 20 20 1000 20 1000 = × − = − = p q D кг. Прибыль от продажи 1 кг составит руб., а суммарная прибыль 10 10 20 = − 6000 600 10 1 = × = π руб. 20 Задачи иркутских экономических олимпиад Рыночные структуры Вторая альтернатива состоит в допущении конкурента на рынок и последующем извлечении монопольной прибыли на остаточном спросе. По цене p = 20 объем спроса составляет 600 20 20 1000 = × − = D q кг. Из них 120 кг, то есть 20%, продает конкурент. Поскольку дешевые апельсины покупают случайно подошедшие по- купатели, то остаточный спрос составит при любой цене, начиная с 20 руб., 80% от первоначального. ( ) p p q 16 800 20 1000 8 , 0 ост − = − = . На нем будет максимизиро- вать свою прибыль фирма «Яблокитай». Прибыль от продажи 1 кг апельсинов составит руб. при объеме продаж ( p − 10 ) ( ) p 16 800 − кг. Суммарная прибыль рав- на ( )( ) max 8000 960 16 16 800 10 2 2 → − + − = − − = p p p p π 50 p 30 20 10 320 480 q q ост Продифференцируем прибыль и приравня- ем производную к нулю: 0 960 32 = + − p , p * = 30 , , 320 * = q 6400 2 = π Поскольку π π 2 > 1 , фирме «Яблокитай» вы- годнее допустить конкурента на рынок, но продавать апельсины по монопольной цене. Задача 38** Рынок мороженого в Иркутске характеризуется годовым спросом (здесь p – цена, руб., q – объем продаж, млн. шт.). Все производители мороженого имеют одинаковые функции суммарных издержек q D = − 10 p ( ) TC q q = + 4 2 (млн. руб.). Сколько фирм ожидается на этом рынке при совершенной конкуренции в долгосрочном периоде – каждая фирма имеет неотрицательную прибыль и нет стимулов для входа дополни- тельных фирм? Какая установится на рынке цена и каков будет объем продаж? Решение: Условие максимизации прибыли для рынка совершенной конкуренции записы- вается в виде . Отсюда оптимальный объем производства одной фирмы в зависимости от цены составит ( ) ( ) p MC q TC q q = = ′ = 2 q p = 2 . Поскольку в отрасли на- ходится n таких фирм, суммарный объем производства будет равен Q nq np = = 2 Этот объем производства должен покрывать спрос: Q p = − 10 . Следовательно, 10 2 − = p np , p n = + 20 2 , q n = + 10 2 Проверим, при каком числе фирм у каждой из них будет неотрицательная прибыль. ( ) ( ) ( ) π = − = − + = + + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ≥ TR q TC q pq q n n n 4 20 2 10 2 10 2 4 0 2 2 , 10 2 4 2 n + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ≥ , 10 2 2 n + ≥ , , n + ≤ 2 5 n ≤ 3 , p = + = 20 3 2 4 , q = + = 10 3 2 2 , Q = = 2 3 6 * Таким образом, на рынке будет присутствовать 3 фирмы, каждая из которых будет производить по 2 млн. порций мороженого и продавать их по 4 руб. Замечание: поскольку каждая из 3 фирм будет получать в точности нулевую при- быль, возможен вариант, что на рынке останется 2 фирмы, каждая из которых будет производить по ( ) 5 , 2 2 2 10 = + = q млн. порций и продавать их по ( ) 5 2 2 20 = + руб. 21 Задачи иркутских экономических олимпиад Рыночные структуры Задача 39** На рынке некоторого товара, спрос на который составляет q D p = − 1 , действуют 2 одинаковые фирмы с издержками производства ( ) TC q q = 2 2 . Построить кривые реакции и найти равновесие, если фирмы функционируют в условиях конкуренции по Бертрану (стратегической переменной является цена; все покупатели покупают товар у того производителя, у которого он дешевле; в случае одинаковых цен рынок делится пополам; производитель обязан покрыть весь рыночный спрос). Решение: Рассмотрим возможное поведение первой фирмы в зависимости от цены, уста- новленной второй. У первой фирмы есть 3 альтернативы: 1) p p q 1 2 1 1 0 > ⇒ = = , 0 π – уход с рынка; 2) p p q q Q 1 2 1 2 2 = ⇒ = = – дележ рынка пополам; 3) – захват рынка. В этой ситуации нет смысла устанавливать цену существенно ниже, чем у конкурента. Если цена будет даже на копейку ниже, по условиям задачи захват рынка можно считать осуществленным. Поэто- му можно считать, что p p q 1 2 1 < ⇒ = Q 2 2 1 p p p ≈ Δ − = . Обозначим эту цену p Q = − 1 Подсчитаем прибыли первой фирмы в ситуациях 2 и 3: 2) ( ) π 2 2 2 2 2 2 2 1 2 8 2 5 8 = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − − = − p Q Q Q Q Q Q Q ; 3) ( ) π 3 2 2 2 1 3 = − = − − = − pQ Q Q Q Q Q Q 2 2 2 Обе функции представляют из себя параболы с ветвями, направленными вниз. Найдем вершины каждой из них: 2) 0 4 5 2 1 8 5 2 2 = − = ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ , 5 2 = Q , ( ) 10 1 8 5 2 5 2 5 2 2 max 2 = − = π ⎝ ⎛ − Q Q Q 3) 0 3 1 2 3 2 = − = ′ ⎟ ⎟ ⎞ ⎛ − Q Q Q ⎠ ⎝ ⎜ ⎜ , 3 1 = Q , ( ) 6 1 2 3 1 3 3 1 2 max 3 = − = π Схематически зависимость прибыли от объема производства в каждой из трех ситуаций (уход с рынка, дележ рынка и захват рынка) изображена на графике. Найдем точку π π 2 3 = : захват дележ уход π 1/6 1/10 1/3 2/5 4/7 4/49 Q = 1 – p 4/5 Q Q Q Q Q Q Q 2 5 8 3 2 7 8 2 4 7 2 2 2 − = − = = , , Найдем точку π 2 0 = : Q Q Q 2 8 5 Таким образом, при 5 0 4 2 − = = , Q > 4 5 первой фирме выгоднее уйти с рынка, при [ ] Q ∈ 4 7 4 5 ; – разделить рынок с кон- курентом, а при Q < 4 7 - захватить рынок. При этом производить объем продукции Q < 1 3 также невыгодно. 22 Задачи иркутских экономических олимпиад Рыночные структуры Перейдем обратно в систему координат, зависящую от цены конкурента p Q 2 1 = − : 1) 0 , 0 , 5 1 1 1 2 1 2 = = > ⇒ < π q p p p – уход с рынка; 2) [ ] ( ) 2 1 2 , 7 3 ; 5 1 2 2 1 2 1 2 p Q q q p p p − = = = = ⇒ ∈ – дележ рынка; 3) ( ] 2 1 2 2 1 2 1 , 3 2 ; 7 3 p Q q p p p p − = = ≈ Δ − = ⇒ ∈ – захват рынка; 4) 3 1 , 3 2 3 2 1 1 2 = = = ⇒ > Q q p p – захват рынка, извлечение монопольной прибыли. Для второй фирмы ситуация будет абсолютно симметричной. Нарисуем на графике кривые реакции: p 2 p 1 2/3 3/7 1/5 2/3 3/7 1/5 Сплошной линией изображена кривая реакции первой фирмы на цену вто- рой, а пунктирной – кривая реакции второй фирмы на цену первой. Жирной линией показана область их пересечения – область равновесия, когда ни одной из фирм не выгодно изменить цену. Наилучшим из всех равновесий будет равновесие p p 1 2 3 7 = = , q q 1 2 2 7 = = Прибыль каждой фирмы при этом со- ставит ( ) 49 4 2 7 2 7 2 7 3 2 2 1 = − × = = π π Задача 40** На рынке компакт-дисков, суммарный месячный спрос на которые составляет Q p = − 160 (тыс. шт.), действует 2 независимых конкурента. Если обе фирмы ус- тановят одинаковые цены , рынок разделится пополам. Спрос на про- дукцию второй (более дорогой) фирмы линейно убывает с падением цены первой (более дешевой) и становится нулевым в точке p p 1 = 2 q 2 p 1 p p 1 = * , в которой сум- марный спрос вдвое больше, чем при цене . Найти точку (цены, объе- мы продаж и прибыли), равновесную по Нэшу, когда ни одной из фирм не вы- годно увеличивать или уменьшать цену продукции, при условии, что каждой из них компакт-диски обходятся в 50 руб. Q p ( ) 1 p 2 Решение: Пусть вторая (дорогая) фирма продает продукцию по цене . Найдем критичес- кую цену первой (дешевой) фирмы , при которой она захватывает весь рынок: p 2 p * ( ) 160 2 160 2 − = − p p * , p p * = − 2 16 2 0 Так как при падении цены первой фирмы с 1 2 p p = до спрос на продукцию второй фирмы линейно уменьшается с p p p 1 2 2 160 = = − * ( ) q p 2 2 0 5 160 = − , q 2 0 до = , то можем найти эту линейную зависимость q p 2 1 p 1 p 2 p* q 2 = + α β . Коэффициент β находим как тангенс угла наклона: ( ) ( ) ( ) β = − − − = − − = 0 5 160 2 160 0 5 160 160 0 5 2 2 2 2 2 , , , p p p p p 23 Задачи иркутских экономических олимпиад Рыночные структуры Свободный член α отыщем, подставив в функцию q 2 0 5p 1 = + α , значения p p 1 2 = и : ( ) q p 2 2 0 5 160 = − , ( ) 0 5 160 0 5 2 2 , , − = + p p α , α = − 80 2 p Таким образом, ( ) q p p p p p p p p 2 1 2 1 1 1 80 0 5 0 = − + ≤ ≤ < ⎧ ⎨ ⎩ , , * , *. 2 , p Поскольку суммарный спрос при цене составляет p 1 Q = − 160 1 , то спрос на про- дукцию первой фирмы равен ( ) ( ) q p p q p p p p p p p p p 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 160 80 1 5 160 = − − = + − ≤ ≤ − < ⎧ ⎨ ⎩ , , * , *. 2 , Найдем кривую реакции первой фирмы (ее оптимальную цену в зависимости от цены второй фирмы) при условии, что себестоимость единицы продукции равна 50 руб. Для этого максимизируем прибыль ( ) ( ) ( )( ) π 1 1 2 1 1 1 2 1 50 50 80 1 5 1 p p p q p p p p , , = − = − + − → max Найдем частную производную и приравняем ее к нулю: ( ) ∂ π ∂ 1 1 2 1 2 1 155 3 0 p p p p p , = + − = , ( ) p p 1 2 1 3 155 = + Аналогично, зафиксировав , вычислим кривую реакции второй фирмы: p 1 ( ) ( ) ( )( ) π 2 1 2 2 2 2 2 1 50 50 80 0 5 2 p p p q p p p p , , = − = − − + → max Найдем частную производную и приравняем ее к нулю: ( ) ∂ π ∂ 2 1 2 2 1 2 260 4 0 p p p p p , = + − = , ( ) p p 2 1 1 4 260 = + Решив систему из 2 уравнений, найдем точку пересечения кривых реакции: p p 1 2 80 85 = = , Данная точка является равновесной по Нэшу – ни одной из фирм не выгодно увеличивать или уменьшать цену продукции. Найдем объемы продаж и прибыли каждой фирмы: 45 80 5 , 1 85 80 1 = × − + = q , 35 80 5 , 0 85 80 2 = × + − = q , ( ) 1350 45 50 80 1 = × − = π , ( ) 1225 35 50 85 2 = × − = π 6. Макроэкономика Задача 41 Месячная инфляция не изменялась в течение года и составляла 10%. На сколько процентов выросли цены за год? Решение: Поскольку проценты насчитываются на проценты, а ежемесячно цены растут в 1,1 раза, то за 12 месяцев будет наблюдаться рост в раза или на 214%. 14 , 3 1 , 1 12 = 24 Задачи иркутских экономических олимпиад Макроэкономика Задача 42 Верховный шейх Ачхурабии поставил задачу увеличить валовый внутренний продукт государства вдвое за предстоящие 8 лет. На сколько процентов ВВП должен возрастать ежегодно, если считать, что темпы роста постоянны. Решение: Важно заметить, что проценты насчитываются на проценты. Таким образом, ежегодный темп роста должен составлять 2 2 1 0905 8 = ≈ , , то есть ВВП дол- жен ежегодно возрастать на 9,05%. Задача 43 Валовый внутренний продукт в стране Инфляндии за 2005 год вырос с 4 до 9 триллионов талеров. Как и насколько изменился физический объем производст- ва, если цены за этот же период выросли на 150%. Решение: Индекс ВВП, показывающий во сколько раз вырос номинальный ВВП (в задаче он составляет 9/4=2,25), равен произведению индекса цен (2,5) и индекса объе- мов производства. 9 , 0 5 , 2 25 , 2 = = Q I . Таким образом, объем производства |