Задачи по микроэкономике. А. Ю. Филатов Задачи иркутских олимпиад по математической экономике 20042006 годов с решениями Сборник задач
 Скачать 0.59 Mb.
|
|
Решение: Внутренняя норма доходности d первого проекта находится из соотношения 1 ( ) − + + = 1000 1250 1 0 1 d , 1 1250 1000 1 25 1 + = = d , , d 1 0 25 25% = = , Внутренняя норма доходности d третьего проекта находится из соотношения 3 ( ) − + + = 1000 1728 1 0 3 3 d , 1 1728 1000 1 728 1 2 3 3 3 + = = = d , , , d 3 0 2 20% = = , Для нахождения внутренней нормы доходности второго проекта нужно решить квадратное уравнение ( ) ( ) − + + + + = 1000 230 1 1058 1 0 2 2 2 d d , 1 115 2 + = d , , d 2 0 15 15% = = , Таким образом, самым эффективным по внутренней норме доходности явля- ется первый проект, далее идет третий и на последнем месте – второй. Задача 29* Record-компания решает вопрос об издании альбома группы, спрос на диски ко- торой оценивается функцией 4 900 − = p q D (тыс. шт.), где p – цена, руб. Себе- стоимость одного диска 25 руб. При этом за право издания компания должна выплатить группе 350 тыс. руб. Возьмется ли компания издавать альбом, если минимальная прибыль, за которую она готова это сделать, составляет 100 тыс. руб.? Что изменится, если компания применит «политику снятия сливок», установив из- начально цену 150 руб., по которой диск по оценкам купит 88% из готовых это сде- лать по такой цене, а затем будет максимизировать прибыль на остаточном рынке? Решение: Выпишем функцию прибыли record-компании и максимизируем ее: ( )( ) max 100 4 900 25 900 4 900 25 → + − × − = − − = p p p p π , 0 4 900 25 2 = − × p , , 75 * = p 8 4 75 900 * = − = q , ( ) 400 8 25 75 * = × − = π тыс. руб. Видим, что эта сумма не покрывает гонорар группе 350 тыс. руб. + минимальную прибыль 100 тыс. руб. Проверим, изменит ли ситуацию «политика снятия сливок». По цене 150 руб. спрос составляет 2 4 150 900 = − = D q тыс. дисков. 88% из этого количества будет куплена, соответственно остаточный спрос сократится на 2 ×0,88 = 1,76 тыс. дисков и составит 76 , 5 900 − = p q ост . Выпишем функцию при- были и найдем оптимальную цену на остаточном спросе: ( )( ) max 144 76 , 5 900 25 900 76 , 5 900 25 → + − × − = − − = p p p p ост π , 0 76 , 5 900 25 2 = − × p , 5 , 62 = ост p , 64 , 8 76 , 5 5 , 62 900 = − = ост q Суммарная прибыль будет складываться из прибыли от проданных по высокой цене дисков и от прибыли на остаточном спросе: ( ) ( ) 544 64 , 8 25 5 , 62 76 , 1 25 150 * = × − + × − = π тыс. руб. Данная сумма превосходит необходимые для положительного решения вопроса об издании альбома 450 тыс. руб. 15 Задачи иркутских экономических олимпиад Теория фирмы Задача 30* В молодежном лагере «Шалопай» проживает 100 детей. Каждому из них выде- ляется до 15 руб. в день на мороженое. Причем каждый не может съесть больше килограмма в день, а цену запрещено поднимать выше 150 руб./кг. В лагере есть единственный ларек тети Дуси, где продают мороженое, которое привозят из го- рода по цене 50 руб./кг. 1) Построить кривую спроса на мороженое. 2) По какой цене будет продавать мороженое тетя Дуся, чтобы получить макси- мальную прибыль? 3) Завхоз лагеря предложил выдавать ежедневно каждому из детей не 15 руб., а 20, но за вычетом цены 100 г. мороженого. Какая цена на мороженое устано- вится, если тете Дусе это известно, и она будет по-прежнему максимизировать свою прибыль? Как изменится объем продаж? Как изменятся расходы лагеря? Решение: 1) При цене p руб./кг каждый ребенок на 15 руб. в состоянии купить ( 15 p ) кг мороженого, а все совместно – 1500 p . Максимально в день дети могут съесть 100 кг мороженого. Таким образом, { } q p D = ≤ min ; , 1500 100 150 p 2) Прибыль тети Дуси составит ( ) [ ] π 1 15 150 50 50 1500 1500 75000 = − = − = − → ∈ pq q p p p p max ; Максимальное значение будет при наивысшей разрешенной цене в 150 руб./кг, при этом каждый ребенок будет покупать по 100 г мороженого, при- быль тети Дуси будет равна 1000 руб./день. Расходы лагеря 1500 руб./день. 3) В новой ситуации каждому ребенку будет выдаваться по ( ) 20 0 1 − , p руб., таким образом, новый спрос и прибыль тети Дуси составят соответственно: ( ) { } q p p D = − min , ; , 100 20 0 1 100 150 p ≤ , ( )( ) π 2 15 50 100 5000 20 0 1 10 2500 100000 = − = − − = − + − → ≤ pq q p p p p p p , max − + = 10 100000 0 2 p , , p 2 10000 = p = 100 руб. Таким образом, тетя Дуся будет продавать мороженое по 100 руб./кг, при этом каждый ребенок будет получать по 10 100 1 , 0 20 = × − руб. и по-прежнему покупать по 100 г мороженого, прибыль тети Дуси будет равна 500 руб./день, а расходы лагеря сократятся до 1000 руб. Задача 31* Малая фирма, производящая торты, продает их в своем фирменном отделе, где суточный спрос составляет q D = p − 200 2 (здесь p – цена торта в руб., а q – объем продаж в шт.), и на центральном рынке, где существует возможность продать неограниченное количество тортов по 60 руб. Определить объем продаж в фир- менном отделе и на рынке, а также цену торта в фирменном отделе, при которых прибыль будет максимальна. Суммарные издержки на производство тортов со- ставляют ( ) TC q q q = + + 2 10 40 500 16 Задачи иркутских экономических олимпиад Рыночные структуры Решение: Пускай в фирменном отделе будет продаваться 1 тортов, а на центральном рынке тортов. Из функции спроса в фирменном отделе выразим цену: q 2 q 2 100 1 1 q p − = Выручка при этом составит ( ) ( ) 2 100 2 100 2 1 1 1 1 1 1 1 1 q q q q q p q TR − = − = = . Также име- ется выручка на центральном рынке. Учитывая, что функция издер- жек зависит от суммарного объема производства, составим функцию прибыли ( ) 2 2 2 60q q TR = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) max 500 40 40 10 5 10 60 2 100 500 40 10 60 2 100 , , , 2 1 , 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q TC q TR q TR q q → − − − − − − + − = = − + − + − + − = + − + = π π Найдем частные производные и приравняем их к нулю: 0 40 2 , 0 2 , 0 100 2 1 1 1 = − − − − = ∂ ∂ q q q q π , 0 40 2 , 0 2 , 0 60 2 1 2 = − − − = ∂ ∂ q q q π Решим полученную систему: ⎩ ⎨ ⎧ = + = + 20 2 , 0 2 , 0 , 60 2 , 0 2 , 1 2 1 2 1 q q q q ⇒ 40 1 = q , 60 2 = q , 100 = q , 80 2 40 100 1 = − = p руб. Таким образом, фирма будет производить 100 тортов в день, из них 40 она про- дает в фирменном отделе по 80 руб., а оставшиеся 60 – на центральном рынке. Задача 32* Сотовый оператор «Пчелайн» планирует вход на иркутский и шелеховский ры- нок. Годовой спрос на иркутском рынке он оценивает в размере , спрос на шелеховском рынке – p q 10 50 1 − = p q 2 6 , 7 2 − = . Здесь p – цена разговора, руб. / мин., q – суммарное время разговоров, млн. мин. Себестоимость минуты разго- вора составляет 1 руб. Постоянные издержки работы на иркутском рынке равны 30 млн. руб. / год, на шелеховском рынке – 3 млн. руб. / год. Определить цено- вую политику компании, если она применяет ценовую дискриминацию, устанав- ливая отдельные тарифы для Иркутска и Шелехова. Что произойдет, если запре- тить ценовую дискриминацию? Что произойдет, если постоянные издержки ра- боты на шелеховском рынке возрастут до 3,5 млн. руб.? Рассмотреть случай ис- пользования ценовой дискриминации и запрета на нее. Решение: Ценовая дискриминация означает определение оптимальной цены и соответст- вующего объема продаж на каждом отдельном рынке. На иркутском рынке функция прибыли равна ( ) ( ) max 80 60 10 30 10 50 1 10 50 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 → − + − = − − − − = − − = p p p p p F cq q p π , 0 60 20 1 = + − p , 3 1 = p , 20 3 10 50 1 = × − = q , 10 80 3 60 3 10 2 1 = − × + × − = π На шелеховском рынке функция прибыли равна ( ) ( ) max 6 , 10 6 , 9 2 3 2 6 , 7 1 2 6 , 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 → − + − = − − − − = − − = p p p p p F cq q p π , 0 6 , 9 4 2 = + − p , 4 , 2 2 = p , 8 , 2 4 , 2 2 6 , 7 2 = × − = q , 92 , 0 6 , 10 4 , 2 6 , 9 4 , 2 2 2 2 = − × + × − = π 17 Задачи иркутских экономических олимпиад Теория фирмы В случае запрета ценовой дискриминации устанавливается единая цена p для обоих рынков. Суммарный спрос равен p q q q 12 6 , 57 2 1 − = + = . С учетом того, что в Шелехове спрос существует только при цене ниже 7,6/2 = 3,8 руб., эта формула будет верна для 8 , 3 < p ( ) ( ) max 6 , 90 6 , 69 12 3 30 12 6 , 57 1 12 6 , 57 2 2 1 → − + − = − − − − − = − − − = p p p p p F F cq pq π , 0 6 , 69 24 = + − p , 9 , 2 = p , 21 9 , 2 10 50 1 = × − = q , 8 , 1 9 , 2 2 6 , 7 2 = × − = q , 9 , 9 30 21 1 21 9 , 2 1 = − × − × = π , 42 , 0 3 8 , 1 1 8 , 1 9 , 2 2 = − × − × = π , 32 , 10 2 1 = + = π π π Если постоянные издержки в Шелехове возрастут до 3,5 млн. руб. (то есть при- быль сократится на 0,5 млн. руб.), то при отсутствии ценовой дискриминации суммарная прибыль станет равной 82 , 9 5 , 0 32 , 10 2 1 = − = + = π π π , что меньше 10 млн. руб., получаемых исключительно с иркутского рынка. Работать только на иркутском рынке оказывается выгоднее, следовательно, оператор уйдет с ше- леховского рынка. В случае использования ценовой дискриминации прибыль на шелеховском рынке сократится до уровня 42 , 0 5 , 0 92 , 0 2 = − = π , но останется положительной. Оператор останется на шелеховском рынке. Задача 33* На рынке манны небесной спрос зависит от рекламных вложений и выражается соотношением ( p q = ) a − − 1 1 . Здесь p – цена за 1 грамм, тыс. руб., q – объем про- даж, тонн, – затраты на рекламу, млрд. руб. Себестоимость добычи не зависит от объема и составляет 500 руб. за 1 грамм. При каком объеме реклам- ных вложений можно получить максимальную прибыль? 0 ≤ ≤ a 1 Решение: Задачу можно решать, выписав функцию прибыли ( ) ( ) ( ) π = − − = − − − − p q a q a q 05 1 1 05 , , a , найдя оптимальный объем добычи при каждом уровне рекламных вложений и затем исследовав функцию прибыли от оптимального объема добычи на макси- мум по одной переменной: уровню рекламных вложений. Однако проще заметить, что при равенстве рекламных вложений 1 млрд. руб. уравнение спроса принимает вид p = 1 , то есть по цене 1 тыс. руб. за 1 грамм можно продать неограниченное количество продукции. Поскольку себестои- мость составляет 500 руб., что меньше продажной цены, можно получить неог- раниченную прибыль. Задача 34** Малая фирма, печатающая фотографии, работает на рынке с постоянной цено- вой эластичностью спроса. Известно, что оптимальной является цена, втрое пре- вышающая себестоимость одной фотографии, не зависящую от объема печати. Прибыль фирмы при цене 1 руб. составляет 27 тыс. руб., а при цене 2,25 руб. – 48 тыс. руб. Найти оптимальную цену, соответствующий объем печати и полу- чаемую при этом прибыль фирмы. 18 Задачи иркутских экономических олимпиад Теория фирмы Решение: Спрос на рынке с постоянной ценовой эластичностью ε задается функцией , где – произвольная константа, тогда выручка равна . Себе- стоимость одной фотографии c не зависит от объема печати, поэтому суммарные издержки заданы в виде . Выпишем функцию прибыли: ε ap q D = 0 > a 1 + = = ε ap pq TR ε acp cq TC = = max 1 → − = − = + ε ε π acp ap TC TR , ( ) 0 1 1 = − + − ε ε ε ε p ac p a , , ( ) ( ) 0 1 1 = − + − ε ε ε c p ap c c p 3 1 = + = ε ε , 3 1 = + ε ε , 3 3 + = ε ε , 5 , 1 − = ε , p p a ap q D = = − 5 , 1 Таким образом, прибыль выражается соотношением p p ac p a − = π Поскольку известно, что при 1 = p 27 = π , а при 25 , 2 = p 48 = π , то ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ × − = − = 5 , 1 25 , 2 5 , 1 48 27 ac a ac a ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − = − = c a c a 25 , 2 162 1 27 Разделив второе уравнение на первое, получим: c c − − = 1 25 , 2 6 , c c − = − 25 , 2 6 6 , 75 , 0 = c , 108 75 , 0 1 27 = − = a Оптимальная цена будет равна 25 , 2 75 , 0 3 * = × = p руб., объем печати составит 32 25 , 2 25 , 2 108 * = = q тыс. фотографий. Прибыль – 48 25 , 2 25 , 2 75 , 0 108 25 , 2 108 * = × × − = π тыс. руб. 5. Рыночные структуры Задача 35 На рынке действуют репетиторская фирма «МиниМакс» и разработчик сайтов «CWR», на каждой из которых работают 4 человека по 20 дней в месяц. Работ- ники «МиниМакса» решают по 6 принесенных им контрольных работ в день, а на разработку сайта, что не является их прямой специализацией, тратят 20 дней. Работники «CWR» сайт разрабатывают вчетверо быстрее – за 5 дней, но решают всего по 2 контрольных работы в день. 1) Если в некотором месяце фирмам поступил заказ на разработку 12 сайтов, то какое максимальное количество контрольных работ они смогут выполнить при объединении усилий? 2) Если цена выполнения контрольной работы установилась на рынке в размере 300 руб., то при каком диапазоне цен на разработку сайта обеим фирмам бу- дет выгодна специализация в своей области? Решение: 1) Месячный ресурс каждой из фирм составляет 4 ×20 = 80 дней. На разработку 12 сайтов фирма «CWR» потратит 12 ×5 = 60 дней. За оставшиеся 20 дней ее работники решат 20 ×2 = 40 контрольных работ. Работники «Минимакса» за месяц выполнят 80 ×6 = 480 контрольных работ. Таким образом, совместными усилиями будут решены 480+40 = |