ргр. Решение Освободимся от связей и рассчитаем значение реакции r a

Название	Решение Освободимся от связей и рассчитаем значение реакции r a
Дата	22.11.2022
Размер	0.83 Mb.
Формат файла
Имя файла	rgr_skhema_10_2_chast.docx
Тип	Решение #806111

Задача 19.Трехступенчатый стальной брус нагружен силами F1 и F2. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить удлинение бруса, приняв Е=2·10⁵ МН/м².

Дано:

F₁=28 кН

F₂=50 кН

A₁=2 см²

A₂=4.2 см²

A₃=6 см²

- ?

Решение

Освободимся от связей и рассчитаем значение реакции R_A:

Мысленно разобьем брус на четыре участка AB,BC,CD,DE,расположив граничные точки в местах изменения диаметра бруса и в местах приложения сил. На каждом из участков мысленно проведем сечения I,II,III,I٧, и рассмотрим каждое из этих сечений.

1

Как видим, усилие N₄=R_A, что подтверждает правильность наших расчетов.

Построим эпюру продольных сил, возникающих в брусе. ( См. рис. выше)

Определим нормальные напряжения σ, возникающие в сечениях.

Теперь построим эпюру нормальных напряжений, возникающих в сечениях бруса ( см. рис. выше).

Судя по знакам посчитанных продольных усилий, можно утверждать, что стержень растянут. Определим его удлинение

, которое найдем как сумму удлинений участков

Ответ:

Задача 20. Для ступенчатого чугунного бруса построить эпюры поперечных усилий и нормальных напряжений, найти из условия прочности требуемую площадь поперечного сечения, если [σ_p]=50 Н/мм² и [σ_с]=120 Н/мм².

Дано: F₁ = 18 кН F₂ = 18 кН F₃= 46 кН [σ_р]=50 Н/мм² [σ_с]=120 Н/мм²
А- ?

Решение

Брус разбивается на пять участков (в местах приложения сил и местах изменения площади сечения).

На каждом из участков проведем сечения 1, 2, 3, 4, 5. Будем последовательно рассматривать сечения, мысленно отбрасывая левые их части.

3

Исходя из уравнений равновесия для каждого сечения, найдем усилия

N

₁, N₂, N₃, N₄:

Строим эпюру поперечных усилий.

Теперь, зная у

силия, возникающие в сечениях, можем определить напряжения σ₁,σ₂,σ₃,σ₄ в брусе. Т.к. усилия в нем положительны - брус сжат.

Ответ: A=360

4

Задача 21. Определить требуемый размер поперечного сечения стальных стержней, удерживающих в равновесии горизонтальный жесткий брус, шарнирно закрепленный одним концом, если [σ]=160 МПа. Определить требуемое значение площади А, найти напряжения в поперечных сечениях обоих стержней.

Дано: F = 19 кН M=30 Н∙м A1=A2
А- ?

Решение

Освобождаемся от связей. Изображаем реакции. Обозначаем характерные точки. Выбираем систему координат.

Составим уравнения равновесия для заданной системы сил:

Три неизвестные, два уравнения. Задача статически неопределима. Запишем уравнение перемещений, проиллюстрировав его соответствующей схемой.

Из подобия треугольников и имеем:

По формуле Гука:

5

Вернемся к уравнениям равновесия, записанным выше

Для определения площади поперечного сечения воспользуемся проектным расчетом:

Максимальное уси

лие, которое необходимо использовать в этой формуле в нашем случае равно N₂.
Подставим значения

Ответ:

Задача 22. Биметаллический провод провод подвешивается на горизонтальном пролете l. Требуется определить:

Стрелу провисания f₁ в летних условиях с тем, чтобы в зимних условиях напряжение в проводе не превысило допускаемое.
Распределение усилий и напряжений по различным материалам биметаллического провода в летних и зимних условиях.
«Тяжение» провода в летних и зимних условиях N₁ и N₂.
Дать заключение о запасе прочности в различных частях провода.

Решение.

1. Составляем таблицы механических характеристик составных частей провода и исходных данных.

Механические характеристики составных частей провода

Модуль упругости, Н/мм²		Коэффициент расширения, 1/град			Предел прочности, Н/мм² (МПа)			Удельные веса, Н/см³ = Н/ммм²
Е_А	Е_С		_А	_С					_А	_С
710⁴	2110⁴		2510^-6	12,510^-6		200	800		2710^-3	7810^-3

Исходные данные

Сечение	Длина	Температура		Отношение площадей	Отношение нагрузки	Запас прочности	Площади сечений
А, мм²	l, м	t₁	t₂	А_А/A_C	k₁ = ₂/₁	[S]	А_А	А_C
360	375	18	-16	9,0	2.5	2,7	324	36

2. Определяем приведенные величины биметаллического провода по формулам. Причем для ускорения вычислений эти формулы следует упростить, разделив числители и знаменатели некоторых формул на А_С, а одну из формул – на произведение Е_СА_С и вводя при этом коэффициенты

;

3. По результатам приведенных величин и формулам последовательно получаем вспомогательные коэффициенты:
₂ = k₁₁ = 2.5 32.1 10^-3 = 80.2510^-3

;

4. По результатам расчетов приведенных величин составляем табл.

Приведенные величины

Е_пр, МПа	₁, Н/ммм²	[], МПа	_пр, град^-1	B₁, МПа	С, МПа
0,8410⁵	32.110^-3	96.296	34.37510^-6	50.7110⁴	6.138

Найденные числа позволяют составить «уравнение состояния провода»:

;

.
5. Решаем уравнение методом подбора. Окончательно ₁ = 51.75 МПа.

6. Определяем и анализируем результаты расчетов, сведенные в табл..
Необходимая стрела провисания:

летом

м;

зимой

м.
Близость результатов указывает на то, что зимняя нагрузка ₂ скомпенсировала температурное укорочение провода.

Летнее и зимнее «тяжение» провода:
N₁ = ₁(A_A + A_C) = 40,34(460) = 18556 Н;

N₂ = [](A_A + A_C) = 108,2621(460) = 49801 Н.
Очень важно вычислить и осмыслить распределение растягивающего усилия N₁ и N₂ по материалам провода, т. е. в алюминиевой N_А и стальной N_С частях.

Из соотношения

найдем N_С и N_А в летний и зимний периоды:

Н;

Н.

Н;

Н.
Усилия в алюминии и стали распределяются прямо пропорционально «жесткостям сечений», то есть произведениям площадей на модули упругости.

Выясняется, что растягивающие напряжения оказываются пропорциональными модулям упругости материалов независимо от площадей. Определим напряжения в частях биметаллического провода:

МПа;

МПа.

МПа;

МПа.

Оценка прочности частей биметаллического провода:

;

.
Результаты расчетов

₁, МПа	f₁, м	N₁, Н	[], МПа	f₂, м	N₂, H	N₂_A, H	N₂_C, H	₂_C, МПа	₂_A, МПа	S_C	S_A
40,34	4,3	18556	108,2621	5,955	49801	32234	17577	248,37	82,81	3,221	2,415

Вывод: т.к. S_C>[S], а S_A<[S], то это значит, что прочностных характеристик стали достаточно, а алюминия – не достаточно.

Задача 23. Для заданной консольной балки построить эпюры поперечных сил и зигибающих моментов и подобрать размеры поперечного сечения в двух вариантах ( двутавр или прямоугольник с заданным отношением h/b высоты и ширины).

Дано: F = 60 кН F₁=15 кН М = 30кН·м [σ]=160 МПа h/b=3 l1=0.9 l2=0.8 l3=0,5
Cечение, эпюры ?

Решение

Освобождаемся от связей, обозначая реакции. В точке D—глухая заделка, поэтому кроме реакции R_D, направленной вертикально, здесь будет еще и момент М_D.

Из уравнений равновесия определим реакции:

Зная реакции, можно определить поперечные силы в балке

Строим эпюру поперечных напряжений.

Определим изгибающие моменты в характерных точках

Строим эпюру изгибающих моментов.

Для того, чтобы подобрать размеры поперечного сечения, запишем условие прочности:

Рассмотрим случай швеллера:

По табл. находим ближайшее большее значение W_X=13,5 см², которому соответствует балка № 12П.

Рассмотрим случай прямоугольника:

W_X в этом случае вычисляется по формуле:

Ответ: h=25.869 cм b=8.633 см

Балка № 33

Задача 24. Для заданной двухопорной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и подобрать размеры поперечного сечения(круг или квадрат). Для материала балки (сталь Ст3) с учетом повышенных требований к её жесткости принять[σ]=130 МПа.

Дано:

F=200 кН

M₁=3 Н∙м

L₁=30 мм

L₂=60 мм

L₃=60 мм

M=2 Н∙м

Сечение - круг

а - ?

Решение

Сперва найдем реакции R_B и R_C. Для этого запишем уравнения моментов относительно точек B и C.

14

Проверка:

Построим эпюру поперечных усилий Q. Для это найдем поперечные усилия в критических точках A,C,D,B с учетом правила знаков.

Построим эпюру изгибающих моментов М_х

В данной задаче нам необходимо произвести проектный расчет для нахождения диаметра сечения бруса

Ответ:

Задача 25. Для заданной балки определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и из условия прочности балки на изгиб определить допускаемую нагрузку, если [σ] = 100 МПа.

Дано: F = 40 кН
R_{A ,} R_C – ?

Решение

Сначала вычислим нагрузку:

Для нахождения реакций составим уравнения равновесия:

16

Выполним проверку

Определим усилия, возникающие в поперечных сечениях балки:

Определим изгибающие моменты в характерных точках:

По табл. берем W_x, затем определяем допускаемую нагрузку

17

Ответ:

Задача 27. Для стального вала постоянного поперечного сечения с двумя зубчатым колесами, передающего мощность P при угловой скорости , рад/с: а) определить вертикальные и горизонтальные составляющие реакций подшипников; б) построить эпюру крутящих моментов; в) построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях; г) определить диаметр d вала, приняв [] = 70 Н/мм² и полагая F_r₁ = 0,36F_t₁; F_r₂ = 0,36F_t₂.

Дано: P = 30 кВт ω=48 рад/c σ=60 H/мм²
R_{B ,} R_D – ? D - ?

Решение

Для удобства вычислений перейдем в другую изометрию.
Определим Т:

Окружные силы:

20

Радиальные силы:

Составляем расчетную схему вала в вертикальной плоскости, определяем реакции опор и строим эпюру М_в

Условно разобьем балку на три участка. На каждом из них мысленно проведем сечение на каком-то расстоянии Z₁,Z₂,Z₃ от характерных точек и рассмотрим изгибающий момент, возникающий в сечении