Степан Шахов. Решение по данному начальному условию (решим задачу Коши)

• Название: Решение по данному начальному условию (решим задачу Коши)
• Дата: 14.11.2021
• Размер: 178.85 Kb.
• Имя файла: Степан Шахов.docx
• Тип: Решение; #271297

_{Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения.}



Разделим обе части уравнения на : .

_{Полученное уравнение есть} однородное дифференциальное уравнение 1 порядка. Сделаем замену: , , _{.
Получим} ;

;



Разделим переменные


.

Интегрируем обе части равенства



Разложим дробь



Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях t,получаем систему уравнений


Получаем









Выполним обратную замену

.

Получено общее решение данного уравнения

Ответ

_{Задача 2. Найти частное решение дифференциального уравнения}

, удовлетворяющего начальному условию .

Решение.

Разделим обе части уравнения на : .

Полученное уравнение есть линейное дифференциальное уравнение 1 порядка. Сделаем замену: , , <sub>.

Получим</sub>

















Получено общее решение данного уравнения. Найдем частное решение по данному начальному условию (решим задачу Коши).

При имеем

, .

Таким образом .

Ответ

2 cпособ решения

_{Разделим обе части уравнения} на :

_{Метод Лагранжа}.

Пусть



Пусть C=C(x)



Подставляем в исходное





Получено общее решение данного уравнения. Найдем частное решение по данному начальному условию (решим задачу Коши).

При имеем

, .

Таким образом .

Ответ

Задача 3.

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , двумя способами:

1. 
   классическим и 2) операционным.
   

1. 
   Решение классическим методом.
   

Данное уравнение - линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Его решение находим в виде: , где - общее решение соответствующего однородного уравнения _, - какое-либо частное решение исходного уравнения.

Решим соответствующее однородное уравнение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:



Итак, данное уравнение имеет два различных действительных корня.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

, где и произвольные постоянные.

Так как правая часть уравнения совпадает с одним из базисных решений, то частное решение нашего уравнения следует искать в виде:



Найдем неопределенный коэффициент А. Для этого подставим в исходное уравнение_:

.


<sub>.



Следовательно,</sub>

и общее решение данного уравнения примет вид:



<sub>Найдем теперь частное решение, используя начальные условия. Заметим, что


Имеем и . Тогда</sub>
ИЛИ

Получаем:

_ОТВЕТ:

2. 
   Решение операционным методом.
   

Найдем изображение исходного уравнения. Обозначим изображение искомой функции Y(p), т.е.

Используя теорему о дифференцирования оригинала, получим:





Изображение правой части

Изображение уравнения примет вид




Выразим Y(p) :




Для восстановления оригинала разложим дробь на простейшие дроби



Применим метод неопределенных коэффициентов для нахождения А,В и С:


Получим

Окончательно:


ОТВЕТ