Примерный тест для зачёта. Решение Пусть решение системы. Тогда выражение равно а 1 б 2 в 3 г 0 д 1 Решение

• Название: Решение Пусть решение системы. Тогда выражение равно а 1 б 2 в 3 г 0 д 1 Решение
• Дата: 12.03.2023
• Размер: 79.87 Kb.
• Имя файла: Примерный тест для зачёта.docx
• Тип: Решение; #981783

Тест по алгебре и геометрии (ИИН, 2022)

1. 
   Определитель равен: а) 10; б) -10; в) 8; г) -1; д) 0
   

Решение

2. 
   Пусть решение системы . Тогда выражение равно:
   

а) 1; б) -2; в) 3; г) 0; д) -1

Решение

Складывая второе и третье уравнения системы, получаем .

Складывая первое и второе уравнения системы, получаем . Следовательно,

. Из первого уравнения получаем

3. 
   Прямые и перпендикулярны, если равно:
   

а) -2: б) 3; в) 1; г)2; д) 4

Решение

Если прямые перпендикулярны, то и их направляющие векторы также перпендикулярны. Значит, скалярное произведение направляющих векторов равно нулю. Откуда получаем


4. Векторным произведением векторов и является вектор с координатами:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение


5. Дайте определение собственного вектора и собственного значения матрицы линейного оператора

Решение

Пусть – линейный оператор, заданный квадратной матрицей . Если существует ненулевой вектор и такое число , что

,

то число и вектор называются соответственно собственным числом (собственным значением) и собственным вектором оператора (матрицы ₎
6. Напишите каноническое уравнение эллипса

Решение

,
где _- расстояние между фокусами.
7. Выберете правильное продолжение определения скалярного произведения векторов. Если угол между векторами и равен , то скалярным произведением этих векторов называется

а) число, равное ; б) число, равное ; в) вектор, длина которого равна ; г) вектор, длина которого равна ; д) нет правильного продолжения.

_{8. Вычислите скалярное произведение векторов} и , если и

_{Решение}



Аналогично,

.

Следовательно,

.

9. Плоскости и перпендикулярны, если равно:

а) -2: б) -3; в) 1; г)2; д) 4

_{Решение}



10. Прямая и плоскость перпендикулярны, если произведение равно:

а) 3: б) -3; в) 1; г)2; д) 6

11. Дайте геометрическое определение гиперболы и напишите её каноническое уравнение
Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для которых модуль разности от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.


12. Какая поверхность называется цилиндрической. Что такое направляющая и образующая цилиндрической поверхности.

Пусть в пространстве задана кривая и прямая . Через каждую точку линии проведём прямую, параллельную прямой . Поверхность, получаемая в результате такого построения, называется цилиндрической. Линия называется направляющей, а построенные прямые – образующими цилиндрической поверхности.
13. Рангом матрицы называется:

а) любой минор этой матрицы, не равный нулю;

б) наименьший порядок минора этой матрицы, не равного нулю;

в) наибольший порядок минора этой матрицы, не равного нулю;

г) наибольший порядок минора этой матрицы, равного нулю;

д) наибольший минор этой матрицы