РТС. Обращение матриц Первый способ нахождения обратной матрицы

Название	Обращение матриц Первый способ нахождения обратной матрицы
Дата	12.03.2019
Размер	138.28 Kb.
Формат файла
Имя файла	РТС.docx
Тип	Документы #70111

Обращение матриц

Первый способ нахождения обратной матрицы. Пусть дана матрица $a = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}$ . Обратную матрицу можно вычислить по формуле $a^{-1}=(\det a)^{-1} \cdot a^{t},$ где $a^{t}$ — транспонированная матрица алгебраических дополнений. Найдем определитель этой матрицы по правилу треугольника. $\det a=$ $0 \cdot 3 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 3$ $+2 \cdot 5 \cdot 3-3 \cdot 3 \cdot 3$ $-5 \cdot 5 \cdot 0-2 \cdot 1 \cdot 7=4.$ Если бы определитель был равен нулю, то обратная матрица не существует. Дальше найдем алгебраическое дополнение матрицы. Чтобы найти алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы, нужно вычеркнуть строку и столбец содержащий этот элемент, найти определитель минора каждого элемента и умножить на

в степени суммы номера строки и столбца в которых располагается элемент.
$a_{11}=(-1)^{1+1} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 7 \\ \end{pmatrix}=-4$
$a_{12}=(-1)^{1+2} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \\ \end{pmatrix}=1$
$a_{13}=(-1)^{1+3} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=1$
$a_{21}=(-1)^{2+1} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \\ \end{pmatrix}=8$
$a_{22}=(-1)^{2+2} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end{pmatrix}=-9$
$a_{23}=(-1)^{2+3} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=3$
$a_{31}=(-1)^{3+1} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=-4$
$a_{32}=(-1)^{3+2} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{pmatrix}=6$
$a_{33}=(-1)^{3+3} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}=-2$
Матрица алгебраических дополнений $a = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 8 & -9 & 3 \\ -4 & 6 & -2 \end{pmatrix}$ . Транспонируем Матрицу алгебраических дополнений, $a^{t} = \begin{pmatrix} -4 & 8 & -4 \\ 1 & -9 & 6 \\ 1 & -3 & -2 \end{pmatrix}$ . Теперь найдем обратную матрицу $a^{-1}=$ $\frac{1}{4} \begin{pmatrix} -4 & 8 & -4 \\ 1 & -9 & 6 \\ 1 & -3 & -2 \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & -3/4 & -1/2 \end{pmatrix}$ . Если обратная матрица найдена правильно, то при умножение обратной матрицы на исходную получим матрицу, у которой на главной диагонали единицы, а все остальные элементы равны нулю. $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & -3/4 & -1/2 \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Так как получили единичную матрицу, то обратная матрица найдена верно.
Второй способ нахождения обратной матрицы. Запишем рядом с исходной матрицей единичную $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Любую матрицу можно привести к единичной, это мы и сделаем с нашей матрицей

, выполняя действия по привидению матрицы

к единичному виду, будем выполнять такие же с единичной матрицей.
$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Умножим вторую строку на

и прибавим к третьей.
$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$
Поменяем первую и третью строки местами.
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Первую строку умножим на

и прибавим ко второй.
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Вторую строку прибавим к третьей.
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}$
Поделим третью строку на четыре.
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}$
Умножим вторую строку на

и прибавим к первой.
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}$
Умножим третью строку на

и прибавим ко второй.
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ -1/4 & 9/4 & -3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}$
Умножим вторую строку на

.
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}$
Вторую строку умножим на

и прибавим к первой.
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}$
Полученная матрица является обратной.

Пусть имеется система линейных уравнений

(33).

Если уравнение (33) умножить слева и справа на обратную матрицу C^–1

,

то, учитывая, что

,

где E – единичная матрица, получим формулу для решения системы методом обращения матриц:

. (34)

Сложность этого метода заключается в нахождении обратной матрицы С^-1, которая рассчитывается следующим образом.

Находится транспонированная матрица С^Т.

Если

https://konspekta.net/studopediainfo/baza1/868369093313.files/image721.gif

, то

https://konspekta.net/studopediainfo/baza1/868369093313.files/image723.gif

.

Затем рассчитывается матрица алгебраических дополнений:

https://konspekta.net/studopediainfo/baza1/868369093313.files/image725.gif

,

где С_i,j – алгебраические дополнения элементов С_i,j (

), которые находятся следующим образом: из транспонированной матрицы вычеркивается i-я строка и j-й столбец, определитель оставшейся части записывается в элемент матрицы алгебраических дополнений С*_i,j. Знак «–» ставится перед определителем в том случае, если сумма индексов определителя является нечетным числом.

.

Элементы обратной матрицы ищутся из элементов матрицы алгебраических дополнений по формуле:

,

где det C – определитель матрицы С.

В Mathcad существует встроенная функция для расчета обратной матрицы. Она вызывается нажатием кнопки Inverse (Инверсия) на панели Matrix (Матрицы) (рис. 41).