математика. Решение_AU_6701230. Решение Пусть, тогда приходим к уравнению
 Скачать 231 Kb.
|
|
Министерство науки и высшего образования Российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Комсомольский-на-Амуре государственный университет» Факультет Кадастра и строительство Кафедра «Математика» КОТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине «Математика» Вариант №1 Студент группы 0ПСба-1 Ш.Р. Амиров Преподаватель М.В. Сташкевич 2021 Задание 1 Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.  Решение  Данное уравнение линейное, найдём его общее решение методом Бернулли. Сделаем подстановку  . Подставим выражения для y и y’ в заданное уравнение:  . Найдём функцию u как частное решение уравнения  . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:  Подставляя найденную функцию в уравнение получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого найдём функцию  : . Учитывая, что y=uv, получим общее решение исходного уравнения Задание 11 Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка  Решение Пусть  , тогда приходим к уравнению  Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:  Возвращаемся к переменной  и получаем Задание 31 Найти частное решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальным условиям  Решение Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения  . Для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни Общее решение однородного уравнения будет Правая часть неоднородного уравнения имеет вид  . Частное решение можно искать методом неопределённых коэффициентов. Частное решение, соответствующее правой части будем искать в виде  , в том числе  .Подставляя эти выражения в неоднородное уравнение (с правой частью fx):  Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x и находим:  . Таким образом,  . Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения есть  Найдем частное решение  Значит, частное решение есть  Задание 61 Исследовать ряд на сходимость А)  Б)  Решение А) Применим предельный признак сравнения  , значит, в силу конечности предела и расходимости  следует расходимость Б) Рассмотрим сразу ряд из модулей  . Для ряда  применим признак Даламбера , значит, ряд сходится, а из сходимости следует сходимость то есть ряд сходится абсолютноЗадание 71 Найти область сходимости степенного ряда  Решение Из признака Даламбера получаем  , значит, радиус сходимости равен 2, интервал сходимости  При  получаем ряд  , а при  получаем ряд  Так как  не существует, а  , поэтому для рядов , не выполняется необходимый признак сходимости ряда, значит, ряды , расходится, значит, область сходимости  Задание 91 Найти 3 первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям  Решение  Ряд Тейлора имеет вид  Задание 101 Разложить в ряд Фурье функцию f(x), периодическую, с периодом 2, заданную на промежутке (–, ] следующими равенствами  Решение Перед вычислением коэффициентов Фурье вычислим вспомогательный интеграл  Ряд Фурье для функции  определенной на интервале  записывается в виде  , где  В данном случае  Так как функция четная, поэтому   Значит,  |