Контрольная работа по математике. Вариант 5. Решение Пусть u arcos ( x ) u arccos ( x ) б)
 Скачать 320.16 Kb.
|
|
Вариант 5 Задание 1 Найти неопределенный интеграл а)  Решение: Пусть u=arcos(x)     u=arccos(x)  б)  Решение: Применяем преобразование функций:     Применяем линейность            в)  Решение: Пусть         г)  Решение: Приведем подобные  Применим линейность               д)  Решение:                    е)  Решение: Интегрирование по частям 
 Интегрирование по частям:              Задание 2 Вычислить определенный интеграл а)  Решение: Применим линейность:   б)  Интегрирование по частям:
           в)  Решение:           Задание 3 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями а)  Решение:            б) y=x+1, y=  Решение:      в)  Решение:      Задание 4 Вычислить несобственный интеграл а)  Решение:       б)  Решение:       в)  Решение:         Задание 5 Исследовать сходимость функции а)  Решение:        Интеграл расходится  б)  Решение:       Интеграл сходится  в)  Решение: Используем метод Остроградского: Пусть P(x) и Q(x) полиномы, где Q(x) имеет повторяющиеся корни и P(x)/Q(x) является правильной рациональной дробью, делая невозможным дальнейшее деление полинома столбиком. Тогда:  где, Q1(x) наибольший общий делитель (может быть вычислен, к примеру, с помощью алгоритма Евклида) для Q(x) и ее производной Q′(x), и Q2(x)=Q(x)/Q1(x). Находим производную от каждой из сторон выражения и находим подходящие полиномы P1(x) и P2(x) путем решения системы линейных уравнений для их неизвестных коэффициентов (примерно так же как при разложении дроби на простейшие). Степени P1(x) и P2(x) меньше степеней Q1(x) и Q2(x), соответственно. Для нашего интеграла мы имеем:      Полиномы которые мы ищем, соответственно:           Перепишем  как  чтобы представить дробь в виде суммы дробей:          Применение модуля к аргументу логарифма, расширяет его диапазон:   Интеграл расходится  Задание 6 Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями  Решение: Исходя из того, что z=0;z=2 Найдем границы для x и y  ;  ;          Задание 7 Решить дифференциальное уравнении а)  Решение:             б) y// + 9y = 6 e3x Решение: Решением уравнения является  Линейное уравнение с постоянными коэффициентами  Составим характеристическое уравнение   Находим корни  , где k – кратность корня,  - слагаемое для корня   Общее решение есть сумма слагаемых вида:  Где  Общее решение:  Метод неопределенных коэффициентов поиск частного решение Для правой части:  Частное решение:  Где s=0, если  не корень характеристического уравнекния и s=k, если корень ( Частное решение для 6 e3x   Вычисляем производные:      Решение уравнения  Задание 8 Исследовать сходимость ряда  Решение: Этот ряд вида Степенной ряд Радиус сходимости ряда можно вычислить по формуле      Тогда    Ряд сходится |
