Математика высшая. Контрольная работа Марина. Решение расстояние между точками находят по формуле 1 2 уравнение прямой, проходящей через две точки
 Скачать 62.36 Kb.
|
|
Контрольная работа 1. 1  6. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(-2;11), В(10;2), С(8;16). Вычислить: 1) длину стороны АВ; записать уравнения: 2) стороны АВ; 3) высоты CD, опущенной из вершины С на сторону АВ; 4) медианы АЕ; 5) окружности для которой медиана АЕ служит диаметром. Дано: А(-2;11), В(10;2), С(8;16) Найти: 1)  2) уравнение АВ 3) уравнение CD, CD⊥АВ4) уравнение АЕ, где ВЕ=ЕС 5) уравнение окружности, где АЕ=d Решение: расстояние между точками находят по формуле:  1)  2) уравнение прямой, проходящей через две точки:  Подставляя координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:  12(y-11)=-9(x+2) 12y-132=-9x-18 9x+12y-132+18=0 9+12y-114=0 |:3 3x+4y-38=0 уравнение прямой (AB) Решим это уравнение относительно у, находим уравнение прямой стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом 4y=-3x+38  (AB), 3) Высота СД перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты СД, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. kCD=  Подставим координаты точки С и найденного углового коэффициента высоты в формулу:    3y-48=4x-32 3y-4x-48+32=0 -4x+3y-16=0 (CD) 4) Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС, применяя формулу деления отрезка на две равные части:    E(9;9)Подставим координаты точекA(-2;11) E(9;9) в формулу:    -2(x+2)=11(y-11) -2x-4-11y+121=0 -2x-11y+117=0 (AE) 5) уравнение окружности радиуса Rс центром в точке Q(a;b) имеет вид:  Применяя формулу  находим длину стороны АЕ \AE\=  R=  Так как медиана (АЕ) является диаметром искомой окружности, то ее центр Q есть середина отрезка АЕ. Применяем формулу деления отрезка пополам:   (x-3,5)2+(y-10)2=  (x-3,5)2+(y-10)2=125 36. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: А(-3;-6;2), В(1;-2;0), С(-1;5;-8), D(-3;-4;3). Требуется: 1) записать векторы  в системе орт и вычислить модули этих векторов; 2) определить угол между векторами  ; 3) определить проекцию вектора  на вектор  ; 4) вычислить площадь грани АВС; 5) вычислить объем пирамиды ABCD.Дано: ABCD – пирамида А(-3;-6;2), В(1;-2;0), С(-1;5;-8), D(-3;-4;3) Найти: 1)  2) 3)  4)  5)  6)  6) VпирРешение: Если даны точки  , то проекция вектора на координатные оси находятся по формулам: длина вектора вычисляется по формуле:        Косинус угла между двумя векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей. Скалярное произведение векторов находим по формуле:      Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора  Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах  . Площадь параллелограмма, построенного на векторах  произведения векторов и  . Векторное произведение вычислим по формуле:   =    Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Смешанное произведение векторов находят по формуле:     Vпарал=\108\=108 (куб.ед)  56. Решите систему трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей по формулам Крамера.  Решение:  вычислим определитель  , составленный из коэффициентов при неизвестных и применяя правило треугольников.    вычислим определитель  , полученный из заменой первого столбца столбцом свободных коэффициентов и применяя правило треугольников.    вычислим определитель  , полученный из заменой второго столбца столбцом свободных коэффициентов и применяя правило треугольников   вычислим определитель  , полученный из заменой третьего столбца столбцом свободных коэффициентов и применяя правило треугольников    Ответ: (-2;0;-3) 76. Вычислите указанные пределы   Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на х3.   )Непосредственная подстановка предельного значения аргумента х=10 приводит к неопределенности вида , чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители и сократим члены дроби на общий множитель (х-10)   96. Определите производные и дифференциалы указанных функций:  Решение: Используем правила дифференцирования и таблицу:     Решение: последовательно применяя правила производной произведения и таблицу:    Решение: Используем правила дифференцирования частного и сложной функции, получаем:    Решение: Воспользуемся правила дифференцирования сложной функции:  116. Исследуйте данную функцию на экстремум и постройте ее график. Исследование предусматривает определение точек экстремума, интервалов возрастания и убывания функции, точек пересечения интервалов выпуклости и вогнутости графика функции.  1.Функция целая (нет деления на переменную) ⇒ область определения множество действительных чисел.   функция не является ни четной, ни нечетной, т.к. y(-x)≠y(x), y(-x)≠-y(x)  (вычислим производную и найдем критические точки-точки в которых производная обращается в ноль)      возрастает y’>0 (-∞;-4) ∪(-2;+∞) убывает y’<0 (-4;-2) 4.Найдем точки экстремума(в условие подставим критические точки) y(-4)=(-4)3+9(-4)2+24(-4)+17=-64+144-96+17=-160+161=1 (-4;1) – max y(-2)=(-2)3+9(-2)2+24(-2)+17=-8+36-48+17=-56+53=-3 (-2;-3) – min 5.Вычислим вторую производную и определим точки перегиба y’’=(3x2)’+(18x)’+(24)’=6x+18 6  x+18=06x=- 18 x=-18:6=-3 y(-3)=(-3)3+9(-3)2+24(-3)+17=-27+81-72+17=-99+98=-1 (-3;-1) – точка перегиба y’’<0 (-∞;-3) y’’>0 (-3;+∞) 6. функция целая – асимптот нет
ax3+bx2+cx+d=0 теорема Виета-Кардана      136. Найти неопределенные интегралы:  Решение: используем свойства и таблицу интегралов:      Решение: применяем метод замены переменной и таблицу интегралов:    Решение: применяем метод замены переменной и таблицу интегралов:    Решение: применяем метод интегрирования по частям:    156. Даны уравнения параболы и прямой. Вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной данными линиями; сделать чертеж и заштриховать искомую область. Решение: построим фигуру, ограниченную указанными линиями. 
 Найдем пределы интегрирования     D=1+80=81   Вычислим площадь     176. Для заданной функции z=f(x;y) доказать справедливость указанного равенства.  Решение: вычислим частные производные 1-ого порядка и 2-го порядка, смешанные производные для функции z.     Подставим найденные производные в условие и преобразуем левую часть.       Что и требовалось доказать. |
