решение задач линейной алгебры СИБИТ. ВШМ - 8. Решение задач линейной алгебры с помощью пакета Ms Exce. Решение систем линейных уравнений 7 Система линейных уравнений 7 Матричное представление системы линейных уравнений 8

Название	Решение систем линейных уравнений 7 Система линейных уравнений 7 Матричное представление системы линейных уравнений 8
Анкор	решение задач линейной алгебры СИБИТ
Дата	02.04.2023
Размер	41.39 Kb.
Формат файла
Имя файла	ВШМ - 8. Решение задач линейной алгебры с помощью пакета Ms Exce.docx
Тип	Решение #1032031

Введение 3

Раздел 1. Обзор литературы 4

Раздел 2. Численные методы решение систем линейных уравнений 7

2.1. Система линейных уравнений 7

2.2. Матричное представление системы линейных уравнений 8

2.3. Решение систем уравнений методом Крамера 8

2.4. Решение систем уравнений методом Гаусса 9

Раздел 3. Анализ примеров российского и зарубежного опыта 11

Заключение 13

Введение

Прикладные программы предназначены для того, чтобы обеспечить применение вычислительной техники в различных сферах деятельности человека. Поэтому этот класс программ представляет наибольший интерес для массового пользователя компьютеров.

Из-за огромного разнообразия прикладного ПО существует множество вариантов его классификации. Рассмотрим наиболее общую классификацию прикладных программ. Разделим данное ПО на 2 больших класса:

1. ПС общего назначения. К таким относятся программы, обеспечивающие выполнение наиболее часто используемых, универсальных задач (текстовые редакторы, табличные процессоры, графические редакторы, СУБД и т.д.).

2. ПС профессионального уровня. Программы этого класса ориентируются на достаточно узкую предметную облать, но проникают в нее достаточно глубоко (издательские системы, САПР - системы автоматизированного проектирования, программы 3D-графики, программы видеомонтажа, нотные редакторы, АСУ - автоматизированные системы управления и т.д.).

Целью данной работы является использование функций Excel для решения задач линейной алгебры. Данные задачи будут решаться с помощью программ табличного процессора Excel. Microsoft Excel средство для работы с электронными таблицами, намного превышающее по своим возможностям существующие редакторы таблиц, первая версия данного продукта была разработана фирмой Microsoft в 1985 году.

Табличные процессоры – удобный инструмент для экономистов, бухгалтеров, инженеров, научных работников - всех тех, кому приходится работать с большими массивами числовой информации. Эти программы позволяют создавать таблицы, которые являются динамическими, т. е. содержат так называемые вычисляемые поля, значения которых автоматически пересчитываются по заданным формулам при изменении значений исходных данных, содержащихся в других полях. В дальнейшем ее можно просматривать, изменять, записывать на магнитный диск для хранения, печатать на принтере. Microsoft Excel это программа управления электронных таблицами общего назначения, которая используется для вычислений, организации и анализа деловых данных.

Многие фирмы разработчики программного обеспечения для ПК создали свои версии табличных процессоров. Из них наибольшую известность приобрели Lotus 1-2-3 фирмы Lotus Development, Supercalc фирмы Computer Associates. Excel, как видно из всего сказанного выше очень мощный инструмент для решения задач имеющих дело с массивами разнообразных данных, поэтому область его применения обширна, начиная от бухгалтерских и складских задач и заканчивая расчетами энергетики спутниковых линий.

В Excel удобно решать задачи линейной алгебры, такие как работа с матрицами и др. Так же есть все возможности по полноценной работе сортировка, выборка, сводные таблицы, анализ с базами.

Раздел 1. Обзор литературы

Microsoft Excel это средство для работы с электронными таблицами. Табличные процессоры позволяют создавать динамические таблицы, которые содержат вычисляемые поля (т.е. значения которых автоматически пересчитываются по заданным формулам при изменении значений исходных данных, содержащихся в других полях).

Excel является очень мощным инструментом для решения задач, имеющих дело с массивами разнообразных данных, поэтому область его применения обширна, начиная от бухгалтерских и складских задач и заканчивая расчетами энергетики спутниковых линий. В Excel удобно решать задачи линейной алгебры, такие как работа с матрицами и др. Так же есть все возможности по полноценной работе (сортировка, выборка, сводные таблицы, анализ) с базами данных. Благодаря наличию языка программирования в Excel возможно создание различных пользовательских программ, которые автоматизируют нестандартные задачи.

В учебном пособии «Технология экономических расчетов средствами MS EXCEL» авторов Я.Л. Гобарева, О.Ю. Городецкая и А.В. Золотарюк, отмечаются следующие достоинства и недостатки Microsoft Excel:

Эффективный анализ и обработка данных;
Богатые средства форматирования и отображения данных;
Наглядная печать;
Совместное использование данных и работа над документами;
Обмен данными и информацией через Internet и внутренние Intranet-сети.

Недостатки Microsoft Excel:

Большие требования к аппаратным и программным средствам.

Программа Excel имеет две отличительные особенности — эффективные вычислительные возможности и мощные визуальные средства для передачи цифровой информации. Именно такая комбинация открывает Excel особенно широкие перспективы для использования в деловой сфере.

С применением математических методов связаны работы В.В. Леонтьева, Р. Солоу, П. Самуэльсона, Д. Хикса, В.С Немчинова, В.В Новожилова, Л.В. Канторовича и многих других выдающихся ученых. Примерами экономических моделей являются модели фирмы, модели экономического роста, модели потребительского выбора, модели равновесия на финансовых и товарных рынках. Построение экономической модели требует выполнения ряда шагов. Сначала формулируется предмет и цель исследования. Затем экономисты выявляют структурные и функциональные элементы модели, взаимосвязи между ними, существенные факторы, отвечающие цели исследования и отбрасывают то, что несущественно для решения задачи. На заключительном этапе проводятся расчеты по математической модели и анализ полученного решения. При этом могут применяться средства пакетов прикладных программ.

Существует довольно много литературы, как иностранной, так и отечественной, описывающей использование MS Excel в экономических задачах с использованием математических методов программирования.

Книгой — карманным руководством, призванным помочь изучить и освоить средства анализа данных Excel (подбор параметра, таблицы подстановки, сценарии и поиск решения) является труд Пола Корнелла⁴. Существует множество задач, которые быстро и просто решаются средствами анализа данных «что—если» Microsoft Excel, например, проверка различных значений банковского процента по кредиту для того, чтобы найти наиболее приемлемые ежемесячные платежи как для 15-, так и 30-летнего кредитов. К средствам «Что-если»? Что это такое?» относятся средства Excel «Подбор параметра», таблицы подстановок, сценарии и «Поиск решения».

В Excel средство «Подбор параметра» используется для «обратного» решения задачи — вы знаете, какой результат должна возвращать формула, но не знаете, при каком значении «входного» параметра этот результат можно получить.

Таблицы подстановки являются незаменимым средством для просмотра и сравнения результатов вычислений по определенным формулам, выполненных при различных начальных значениях. Простые примеры таблиц подстановки — таблица умножения и таблицы соответствия различных единиц измерения.

Сценарии — отличное средство для сохранения (на рабочем листе) множества исходных данных и вычисленных значений. Excel создает сценарии автоматически, и вы можете просмотреть и сравнить различные сценарии вычислений, например, «самый хороший» и «самый плохой» (по результатам) сценарии.

Мощное средство «Поиск решения», как и средство «Подбор параметра», также предназначено для решения «обратных» задач. Однако в отличие от средства «Подбор параметра» здесь нет ограничения на количество изменяемых исходных данных и можно налагать ограничения на переменные решаемой задачи.

Теперь проиллюстрируем возможности анализа экономической информации средствами программы Microsoft Excel на решении конкретной типовой задачи экономического анализа, в частности - анализ безубыточности предприятия.

Фундаментальный труд Джеффри Мура в соавторстве с Лари Уэдерфордом и др. «Экономическое моделирование в Microsoft Excel» выдержал множество изданий. Эта книга посвящена основным принципам моделирования, которые можно применить к широкому спектру различных управленческих задач, решаемых с помощью Microsoft Excel. В ней подробно рассматриваются определенные классы моделей, используемые в самых разнообразных ситуациях

Раздел 2. Численные методы решение систем линейных уравнений

2.1. Система линейных уравнений

Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно.

Линейные системы двух уравнений с двумя неизвестными. Линейной системой двух уравнений с двумя неизвестными называется система вида
Решением системы уравнения с двумя неизвестными x и y называется такая пара (х₀;у₀), которая является решением каждого уравнения системы.

Решить систему уравнений – это значит найти все её решения или установить, что их нет.

Из школьного курса алгебры нам известно три способа решения уравнений:

– графический;

– метод сложения;

– метод подстановки.

На уроках алгебры отрабатываются навыки решения систем линейных уравнений этими методами. Но часто в повседневной практике можно встретиться с задачами, в которых нужно найти три или более неизвестных. В этом случае нам на помощь приходят численные методы решения систем уравнений. А для быстроты решения системы уравнений с несколькими неизвестными удобнее воспользоваться компьютерной программой.

2.2. Матричное представление системы линейных уравнений

Определитель матрицы

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из чисел.
Пусть дана квадратная матрица 2 порядка:

Определителем (или детерминантом) 2 порядка, соответствующим данной матрице, называется число.

Определитель (или детерминант) 3 порядка, соответствующим матрице называется число.

2.3. Решение систем уравнений методом Крамера

Пусть дана система линейных уравнений с двумя неизвестными:

Рассмотрим решение систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными по формулам Крамера.

Теорема 1. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное.

Теорема 2. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное.

2.4. Решение систем уравнений методом Гаусса

Наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных.

Метод последовательного исключения неизвестных Гаусса является одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения линейных систем. Этот метод известен в различных вариантах уже более 2000 лет. Он относится к числу прямых методов.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. На первом этапе система приводится к треугольному виду; на втором (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из указанной треугольной системы.

Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую систему, равносильную данной.

При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

В школьной практике, как правило, встречаются системы с двумя и тремя неизвестными, хотя, разумеется, бывают и исключения.

Средства MS Excel оказываются полезны и для решения задач линейной алгебры, прежде всего для операций с матрицами и для решения систем линейных уравнений.

Значительная часть математических моделей различных объектов и процессов записывается в достаточно простой и компактной матричной форме. В частности, при решении линейных уравнений мы имеем дело с матрицами и арифметическими действиями с ними.

Операции над матрицами. Сложение и вычитание матриц

Складывать (вычитать) можно матрицы одного размера. Суммой матриц А = (a_i,j) и B = (b _i,j) размера n х n называется матрица С = А+В, элементы которой c_i,j= ai,j + bi,j

В MS Excel для выполнения операций суммирования и вычитания матриц

Многие прикладные задачи в технике, экономике и других областям сводятся к решению систем линейных уравнений, поэтому особенно важно уметь их решать.
Пусть дана линейная система n уравнений с n неизвестными, где a_ij(„(i =

1,2....,n ;j = 1.2.....

п) – коэффициенты при переменных и b_i - свободные члены

уравнений.

a x + a x

+ ... + a

= b

11 1

a21 x1 + a22 x2

+ ... + a₂_n x_n =b₂

(2.1)

.............................................

x + a

+ ... + a

= bn

n1 1

Решением системы (1) называется такая совокупность п чисел (x₁, x₂,. . . ,x_n ), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Две системы уравнений являются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Система, равносильная данной может быть получена с помощью элементарных преобразований системы (1). Систему (1) можно также записать в виде матричного уравнения:

А·х=b

(2.2)

где А - матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы; x — вектор – столбец неизвестных:
b — вектор – столбец свободных членов:
Предполагая использование MS Excel для проведения вычислений, рассмотрим решение системы (1) в общем виде (метод обратной матрицы), Будем считать, что квадратная матрица системы (А) является невырожденной, то есть ее определитель отличен от 0. В этом случае существует обратная матрица А^-1. Умножая слева обе части матричного равенства (3.2) на обратную матрицу А^-1, получим:
А^-1·А·х = А^-1· b, Е·х = А^-1· b т.к. Е·х = х,
решением системы (3.2) методом обратной матрицы будет столбец:

х = А^-1 b

(2.3)

Раздел 3. Анализ примеров российского и зарубежного опыта

Тема “Решение математических задач средствами EXCEL”, является значимой в курсе “Информатика и информационные технологии”, которая возникает на различных этапах изучения предмета. Например, вычисления алгебраических выражений, решения квадратных уравнений в различных средах, построение графиков функций и т.д.

На протяжении почти всего курса математики учащиеся изучают различные методы решения уравнений и систем уравнений. Когда школьники изучат методы решения систем уравнений на уроках алгебры, на уроках информатики целесообразно рассмотреть дополнительные, более эффективные, по времени, инструменты для выполнения таких заданий. Данная тема не является сложной для учащихся, но очень трудоемкая для учителя, необходимо делать много записей на доске, фактически учитель весь урок стоит спиной к учащимся. Для оптимизации и эффективности учебной деятельности учителя на уроке была создана презентация, которая может применяться на любом этапе прохождения темы фрагментарно или полностью учителями математики, а особенно полезна учителям информатики из-за ограниченного количества часов по предмету.

Данный урок можно отнести к интегрированным урокам, построенным на деятельной основе с применением проблемно-исследовательской технологии. Ценность урока заключается в том, что ученики решают стандартные математические задачи нестандартным способом – применяя современные компьютерные технологии. Этим достигается мотивационная цель – побуждение интереса, показ необходимости знаний по математике и информатики в реальной жизни. На уроке ученики покажут владение компьютером, умение работать с пакетом программ Microsoft Office, знания, умения и навыки, полученные на уроках математики. В результате будет достигнута образовательная цель урока: по математики обобщение знаний по темам: “Матрицы. Действия с матрицами. Решение систем линейных уравнений методом Крамера, Гаусса”, по информатике у учащихся формируется навык работы с табличными формулами, познакомятся с возможностями Excel для решения различных уравнений и систем уравнений.

Многие задачи практики приводят к необходимости решать системы линейных уравнений. К таким задачам можно отнести, например, конструирование инженерных сооружений, обработку результатов измерений, решение задач планирования производственного процесса и ряд других задач техники, экономики и научного эксперимента.

Решение уравнений - одна из древнейших математических проблем. Не счесть приложений математики, в которых решение систем уравнений является необходимым элементом решения задачи.

Проблема численного решения линейных уравнений интересует математиков уже несколько столетий. Первые математические результаты появились в XVIII веке. В 1750 году Г. Крамер опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы, известный, как правило, Крамера. Гаусс в 1809 году опубликовал работу, посвященную движению небесных тел, в которой был изложен метод для решения линейных систем, известный как метод исключения.

В 40-х годах XX века с появлением компьютеров сильно возрос интерес к численным методам. Тогда же началось активное исследование существующих методов для их реализации на ЭВМ и стали предприниматься активные попытки для увеличения их точности.

Вплоть до 80-х годов решение вычислительных задач было ограничено ресурсами ЭВМ, поэтому особое значение придавалось экономичности алгоритмов. В настоящее время ограничения по оперативной памяти и быстродействию ЭВМ потеряли актуальность в связи с появлением относительно дешевых мини- и суперкомпьютеров.

Существует множество классов уравнений и систем уравнений, которые решаются аналитически – выводом соответствующих формул. Тем не менее, подавляющее большинство уравнений, встречающихся в приложениях, не могут быть решены таким способом.

Численные методы решения уравнений являются гораздо более мощными, нежели аналитические. Они тоже не всемогущи, но в умелых руках численные методы позволяют получать решения множества уравнений, совершенно недоступных для аналитических методов. При этом надо заметить, что указанная недоступность может быть обусловлена двумя обстоятельствами: недостаточным уровнем математического образования того, кто решает уравнение, и принципиальной невозможностью; в данном случае речь идет и о первом, и, что гораздо важнее, о втором обстоятельствах.

Заключение

Среда MS Excel представляет собой набор инструментов для обработки данных, как правило, числовых. Ядром данной прикладной программы являются функции MS Excel (финансовые, математические, статистические, баз данных и т.д.), предназначение которых ясно из названий. В этом параграфе мы применим средства Excel для выполнения действий над матрицами, что, надеемся, облегчит студентам выполнение домашних заданий.

Итак, в Excel существуют следующие функции действий над матрицами:

МУМНОЖ – возвращает произведение матриц (матрицы хранятся в массивах). Результатом является массив с таким же числом строк, как массив 1 и с таким же числом столбцов, как массив 2.

МОПРЕД – возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве).

ТРАНСП – транспонирование матрицы.

МОБР – возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве.

Для простейших действий над матрицам, такими как:

· сложение/вычитание двух матриц;

· умножение матрицы на число;

использование встроенных функций MS Excel не требуется. Для выполнения арифметических действий, но не над числами, а над массивами чисел (матрицами) достаточно составить необходимую формулу для одного из элементов, а затем скопировать ее для всех остальных. За счет индексации (адреса) каждой ячейки листа MS Excel будет получен корректный результат.

Решить задачи линейного программирования в Excel достаточно просто: 1) внести исходные данные задачи и ограничения, 2) запустить надстройку Поиск решения, 3) установить нужные параметры решения и запустить выполнение. Программа подберет оптимальное решение, выдаст отчеты для анализа решения задачи.

Список использованных источников

Гайдамак И.В. Линейная алгебра: учеб.-метод. пособие для студентов очной и заочной форм обучения напр. 080100.62 "Экономика"/ И. В. Гайдамак. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2012. – 64 с.
Шипачев В.С. Высшая математика: учебное пособие для бакалавров/ В.С. Шипачев; ред. А.Н. Тихонов. - 8-е изд. – Москва: Юрайт, 2013. – 447 с.
Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч./ П. Е. Данко [и др.]. - 7-е изд., испр. - Москва: Оникс: Мир и образование Ч. 1 и 2. – 2008.
Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов/ В. П. Минорский. - 15-е изд.. - Москва: Физматлит, 2005. - 336 с.
Сборник задач по высшей математике для экономистов : аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, математическая статистика, линейное программирование: учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по напр. "Экономика" и эконом. спец./ Рос. эконом. академия им. Г. В. Плеханова; ред. В. И. Ермаков. - 2-е изд., испр.. - Москва: ИНФРА-М, 2008. – 575 с.
Шипачев В.С.. Задачник по высшей математике: учебное пособие для студентов вузов/ В. С. Шипачев. - 9-е изд. – Москва: Высшая школа, 2009. – 304 с.

Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:

http://www.excelworld.ru/publ/hacks/tools/solver/27-1-0-122
http://www.uchportal.ru/publ/23-1-0-1832
http://math.immf.ru/lections/003.html

Оглавление