теория игр. Решение. Составим математическую модель задачи. В связи с возможными состояниями спроса фирма располагает двумя стратегиями
 Скачать 22.31 Kb.
|
|
Задачи для самостоятельного решения Швейное предприятие реализуется свою продукцию через магазин. Сбыт зависит от состояния погоды. В условиях теплой погоды предприятие реализует 1000 костюмов и 2300 платьев, а при прохладной погоде – 1400 костюмов и 700 платьев. Затраты на изготовление одного костюма равны 20 ден. ед. , а платья – 5 ден. ед., цена реализации соответственно равна 40 ден. ед. и 12 ден. ед.. Составить платежную матрицу игры и решите её (2 балл). Решение. Составим математическую модель задачи. В связи с возможными состояниями спроса фирма располагает двумя стратегиями. 1. F1 = (1000, 2300) – произвести 1000 костюмов и 2300 платьев, 2. F2 = (1400, 700) - произвести 1400 костюмов и 700 платьев. Природа (рынок) располагает также двумя стратегиями: 1. D1 = погода теплая, 2. D2 = погода прохладная. Если фирма примет стратегию F1 и спрос действительно будет находиться в первом состоянии, то есть погода будет теплой (D1), то выпущенная продукция будет полностью реализована и доход составит w11 =1000*(40-20) + 2300*(12-5) = 36100. Если фирма примет стратегию F1, а спрос будет находиться в состоянии D2 (погода прохладная), то платья будут реализованы лишь частично, и доход составит: w12 = 1000*(40-20) + 700*(12-5) – (2300-700)*5= 16900. Аналогично, если фирма выберет стратегию F2, а природа – стратегию D1 (погода теплая), то доход составит (будут недораспроданы костюмы): w21 =1000*(40-20) + 700*(12-5) – (1400-1000)*20= 16900, а если природа выберет стратегию D2, то w22 = 1400*(40-20) + 700*(12-5) = 32900. Рассматривая фирму и природу в качестве двух игроков, получим платежную матрицу игры  которая будет служить игровой моделью задачи. Поскольку максиминная стратегия игры составляет a = max (16900, 16900) = 16900, а минимаксная b = min (36100, 3290) = 32900, то цена игры лежит в диапазоне 16900 ден. ед. < v < 32900 ден. ед. Решения игры в чистых стратегиях не существует, поэтому будем искать решение в смешанных стратегиях. Решим данную игру аналитическим методом. Средний выигрыш первого игрока, если он использует оптимальную смешанную стратегию x* = (x1*, x2*), а второй игрок – чистую стратегию, соответствующую первому столбцу платежной матрицы, равен цене игры v : 36100x1* + 16900x2* = v. Тот же средний выигрыш получает первый игрок, если второй игрок применяет стратегию, соответствующую второму столбцу платежной матрицы, то есть 16900x1* + 32900x2* = v. Учитывая, что x1* + x2* =1 , получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии первого игрока и цены игры:  Решаем эту систему и находим:  Оптимальная стратегия фирмы:  Таким образом, фирме оптимально произвести 1218 костюмов и 1427 платьев. Фермер решает засеять участок земли пшеницей. Исходя из опыта других фермеров региона, при благоприятных условиях с 1 кг зерна в период сбора урожая собирается 10 кг, при удовлетворительных – 5 кг, а при плохих климатических условиях фермер получает тоже количество пшеницы, которое было посеяно. Перед фермером стоит задача определить, сколько надо купить и засеять тонн зерна – одну, две или три, в расчете на какую погоду. Составить платежную матрицу игры и решите её (2балл). Решение: Игра парная, статистическая. В игре участвуют два игрока. Первый игрок - фермер. Его возможные стратегии: - посадить 1 тонну - посадить 2 тонну - посадить 3 тонны Второй игрок - природа. Под природой мы понимаем совокупность внешних условий, определяющих урожайность. Стратегии природы будут следующими: – благоприятные климатические условия – удовлетворительные климатические условия – плохие климатические условия Составляем платежную матрицу. Элементы этой матрицы – объем выращенного урожая. Проверим наличие ситуации равновесия – седловой точки. Для этого найдем нижнюю и верхнюю цены игры.
В игре есть ситуация равновесия, (A3 , B1) - седловая точка, v = 3000 - цена игры. Это означает, что фермеру лучше посеять 3 тонны зерна, даже при плохих климатических условиях он сможет собрать столько же, сколько посеял. Швейное предприятие шьет два вида изделий: шапки из меха и фуражки из ткани. Сбыт зависит от состояния погоды осенью. По данным наблюдений прошлых лет, в условиях теплой осени предприятие может реализовать 200 шапок и 800 фуражек, а при холодной 300 шапок и 270 фуражек. Известно, что затраты на пошив шапок и фуражек соответственно составили 120 и 20 рублей. Цена реализации одной шапки 210, фуражки – 30 рублей. Составьте платежную матрицу игры и решите её (2 балл). Решение: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
