практика 7 системный анализ. Практика 7. Системный анализ. 7. Составление платежных матриц Цель работы
 Скачать 1.46 Mb.
|
|
7 . «Составление платежных матриц» 7.1. Цель работы: изучение метода составления платежных матриц 7.2. Теоретические сведения. Пример 1. Каждый из двух игроков А и В может записать независимо от другого цифры 1, 2, и 3. Если разность между цифрами, записанными игроками, положительна, то первый игрок выигрывает количество очков, равное разности между цифрами, и, наоборот, если разность отрицательна, то выигрывает второй игрок. Если разность равна нулю, то игра заканчивается вничью. Решение. У первого игрока три стратегии (варианта действия): А1 – записать цифру 1; А2 – записать цифру 2; А3 - записать цифру 3. У второго игрока, по аналогии, также три стратегии – В1, В2, В3 . Задача первого игрока – максимизировать свой выигрыш. Задача второго игрока – минимизировать свой проигрыш или минимизировать выигрыш первого игрока. Игру можно представить в виде платежной матрицы, в которой строки – стратегии первого игрока, столбцы – стратегии второго игрока, а элементы матрицы – выигрыши первого игрока. Для наглядности при составлении платежной матрицы для записи чистых стратегий игроков будем указывать в скобках цифры, которые они записывают. Заполнение платежной матрицы можно начинать с любого элемента аij . Так, элементы, стоящие на главной диагонали будут равны нулю, так как при выборе стратегий с одной и той же нумерацией игроки будут записывать одинаковые цифры, их разность будет равна нулю и, по условию примера, игра заканчивается вничью. Для ситуации (A1, В2) игрок А записывает цифру 1, а игрок В – цифру 2, их разность равна –1, значит выигрывает игрок В и элемент а12 = –1. В ситуации (A2, В1) игрок А записывает цифру 2, а игрок В – цифру 1, их разность равна 1, значит выигрывает игрок А и элемент а21 = 1. Аналогично вычисляются все остальные элементы платежной матрицы. В результате будет получена платежная матрица, представленная в Excel таблицей 1 следующим образом: Таблица 1.  «Метод доминирования. Решение игр в чистых стратегиях» Пример 2. Выполнить возможные упрощения платежной матрицы  Решение. Элементы первой и третьей строк соответственно равны, поэтому одну из них (например, третью) можно опустить. Элементы второй строки не превышают соответствующих элементов первой, поэтому ее опускаем и приходим к матрице. Элементы первого столбца данной матрицы превышают соответствующие элементы второго столбца, элементы третьего – элементы четвертого, а элементы пятого – элементы второго. Поэтому доминируемые первый, третий и пятый столбцы опускаем. В результате получаем матрицу  Если полученную матрицу вновь проанализировать с позиций игрока А, то никаких дальнейших упрощений сделать уже невозможно. Итак, вместо того, чтобы искать решение игры с матрицей размерности 4x5, достаточно решить игру размерности 2x2. Теория: Седловая точка в матричных играх Если верхняя и нижняя цена игры одинаковая, то считается, что матричная игра имеет седловую точку. Верно и обратное утверждение: если матричная игра имеет седловую точку, то верхняя и нижняя цены матричной игры одинаковы. Соответствующий элемент одновременно является наименьшим в строке и наибольшим в столбце и равен цене игры. Пример 3. Для следующих платежных матриц найти нижнюю и верхнюю чистые цены игры, максиминную и минимаксную стратегии игроков. Указать седловую точку и оптимальные чистые стратегии, если они существуют.  Решение. 1. Упрощению данная матрица не подлежит. На Лист 1 Excel в диапазон A2:C4 внести исходные данные матрицы А. В ячейку D2 ввести формулу =МИН(A2:C4) (использовать функцию МИН категории Статистические). Скопировать эту формулу из ячейки D2 в ячейки D3:D4. В ячейку А6 ввести текст «Нижняя цена игры». К ячейкам А6:С6 применить пиктограмму «Объединить и поместить в центре». Для нахождения нижней цены игру в ячейку D6 ввести формулу =МАКС (D2:D4). В результате, в ячейке D6 будет = 7. Для нахождения верхней цены находится нижняя цена игры в ячейку А5 поместить формулу =МАКС (А2:А4). Скопировать эту формулу в ячейки B5:C5. В ячейку А7 ввести текст «Верхняя цена = 7. В ячейку игры». К ячейкам A5:С5 применить пиктограмму «Объединить и поместить в центре». В ячейку D7 ввести формулу =МИН (А5:С5). Тогда ячейка D5 будет содержать верхнюю цену игры β = 7. В ячейку А8 ввести текст «Чистая цена игры». К ячейкам A8:С8 применить пиктограмму «Объединить и поместить в центре». В ячейку D8 ввести формулу =ЕСЛИ(D6=D7; D6; "отсутствует") из категории Логические. Описанное решение представлено в таблице 3: Таблица 3.  В итоге будет получено, что = β = 7, то есть можно говорить о чистой цене игры ν = 7. Седловым элементом платежной матрицы будет элемент а13 = 7, а оптимальными чистыми стратегиями – пара чистых стратегий (А1, В3). 7.3.Отчет о работе. Отчет должен содержать таблицу с исходными данными и промежуточными расчетами и полученные результаты. 7.4.Варианты заданий. Нечетные по списку группы студенты решают задачу 1 и задачу 3 (б), четные по списку группы - решают задачу 2 и задачу 3 (а). Задача 1. Игрок А записывает одно из двух чисел: 1 или 2, игрок В – одно из трех чисел: 1, 2 или 3. Если оба числа одинаковой четности, то А выигрывает и выигрыш равен сумме этих чисел, если четности выбранных игроками чисел не совпадают, то В выигрывает, причем выигрыш равен сумме этих чисел. Построить платежную матрицу игры. Задача 2. Игроки А и В записывают цифры 1 и 2, игра состоит в том что кроме цифры 1 или 2 каждый игрок записывает еще и ту цифру, которую, по его мнению, записал партнер. Если оба игрока угадали или оба ошиблись, то партия заканчивается в ничью! Если же угадал только один, то он получает столько очков, какова сумма записанных им цифр. Составить платежную матрицу игры. Задача 3. Определить нижнюю и верхнюю цены для игр, заданных платежными матрицами А1 и А2 :  |