Главная страница

Механика сплошных сред. Семестровая работа. Решение Составим матрицу тензора напряжений


Скачать 3.87 Mb.
НазваниеРешение Составим матрицу тензора напряжений
АнкорМеханика сплошных сред
Дата31.07.2022
Размер3.87 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаСеместровая работа.doc
ТипДокументы
#638540




Дано:

Компоненты тензора напряжений

σx = 80 МПа; σy = 70 МПа; σz = -60 МПа;

τxy = -30 МПА; τxz = 0; τyz = 0 МПа.

Определить:

  1. Аналитическая часть:

  1. написать кубическое уравнение, определить главные нормальные напряжения;

  2. определить направляющие косинусы;

  3. определить взаимное расположение главных и заданных случайных осей (x,y,z).

  1. Графическая часть:

  1. по найденным главным напряжениям построить круги мора;

  2. с помощью кругов мора определить значение нормального σn и касательного τn напряжений на площадке с направляющими косинуса a1 = 0,5; a2=0,707; a3=0,5.

Решение:

Составим матрицу тензора напряжений

 , Мпа (1)

Нарисуем элементарный объем – картина напряжений

Очевидно, что на площадке z τ = 0 МПа. Значит, эта площадка является главной, а действующее на ней напряжение является одним из тройки главных нормальных напряжений. Примем что одно из главных σ’= . Это один из трех главных корней кубического уравнения:


  МПа (2)



  (3)



  (4)

Получаем кубическое уравнение в числовом виде:

 = 0

Поскольку одно из главных напряжений направлено по оси z, очевидно что 2 других расположены в плоскостях x, y, т.е. можно найти их решая плоскую задачу теории плоского напряженного состояния в плоскости xy.



  МПа

 ;

 ;

Таким образом, учитывая неравенство  :
 , Мпа

Поверки:

1)   90 МПа

 

2)  МПа2

Совпадает 4275 ≈4300МПа2;

Погрешность составляет  = 0,58%

3)   МПа3

Совпадает – 282000 = - 282000МПа3.

Таким образом, 3 проведенные проверки показали, что корни кубического уравнения вычислены правильно. При этом ось «3» совпадает с осью z случайной системой координат, а оси «1» и «2» расположены в плоскости xy (но как пока не известно).

Что бы установить их расположение проделываем следующий анализ, т.е. определим направляющие косинусы «2» и «1» главных осей:

Для площадки 1

  (6)

Для площадки 2

  (7)

Из уравнений [(6) и (7)] очевидно, что   = 0, потому что [ ]

Вывод: Если  =0, следовательно, cosα3=0 и значит α1= 90ᵒ. Ось «3» совпадает с осью z, а значит является нормалью к плоскости xy.

Этот вывод совпадает с ранее принятым утверждением, что  , т.е. фактически является дополнительной проверкой правильности определения  . Таким образом, эта проверка дает окончательный ответ, какое это главное напряжение из 3ки чисел. Т.е. является окончательной проверкой.

Решаем первые 2 уравнения из группы (6), (7) используя условие  , в нашем случае:

  (*)





Выражаем   и подставляем в (*)

   (**)



Таким образом, угол между осями «x» и «1» α1 = arccos = 85ᵒ

Определим направляющий косинус между «y» и осью «3»



Проверка 1



Таким образом, 1 проверка удовлетворяется.

Тогда угол между осями «x» и «2» α2 = arccos = 0ᵒ

Проверка 2

α2+ α1= 85 + 0 = 84ᵒ,

погрешность составляет  , что допустимо при технических расчетах.

Из группы формул (7) получаем:







подставим   в уравнение (*) →    

Таким образом, угол между осями «y» и «1» α1 = arccos = 85ᵒ

Определим направляющий косинус между «y» и осью «3»



Проверка 1



Таким образом, 1 проверка удовлетворяется.

Тогда угол между осями «y» и «2» α2 = arccos = 0ᵒ

Проверка 2

α2’’+ α1’’= 85 + 0 = 84ᵒ,

погрешность составляет  , что допустимо при технических расчетах.
























Лист






















Изм.

Кол.уч.

Листтт

№ док.

Подп.

Дата




написать администратору сайта