Механика сплошных сред. Семестровая работа. Решение Составим матрицу тензора напряжений
Скачать 3.87 Mb.
|
Дано: Компоненты тензора напряжений σx = 80 МПа; σy = 70 МПа; σz = -60 МПа; τxy = -30 МПА; τxz = 0; τyz = 0 МПа. Определить: Аналитическая часть: написать кубическое уравнение, определить главные нормальные напряжения; определить направляющие косинусы; определить взаимное расположение главных и заданных случайных осей (x,y,z). Графическая часть: по найденным главным напряжениям построить круги мора; с помощью кругов мора определить значение нормального σn и касательного τn напряжений на площадке с направляющими косинуса a1 = 0,5; a2=0,707; a3=0,5. Решение: Составим матрицу тензора напряжений , Мпа (1) Нарисуем элементарный объем – картина напряжений Очевидно, что на площадке z τ = 0 МПа. Значит, эта площадка является главной, а действующее на ней напряжение является одним из тройки главных нормальных напряжений. Примем что одно из главных σ’= . Это один из трех главных корней кубического уравнения: МПа (2) (3) (4) Получаем кубическое уравнение в числовом виде: = 0 Поскольку одно из главных напряжений направлено по оси z, очевидно что 2 других расположены в плоскостях x, y, т.е. можно найти их решая плоскую задачу теории плоского напряженного состояния в плоскости xy. МПа ; ; Таким образом, учитывая неравенство : , Мпа Поверки: 1) 90 МПа 2) МПа2 Совпадает 4275 ≈4300МПа2; Погрешность составляет = 0,58% 3) МПа3 Совпадает – 282000 = - 282000МПа3. Таким образом, 3 проведенные проверки показали, что корни кубического уравнения вычислены правильно. При этом ось «3» совпадает с осью z случайной системой координат, а оси «1» и «2» расположены в плоскости xy (но как пока не известно). Что бы установить их расположение проделываем следующий анализ, т.е. определим направляющие косинусы «2» и «1» главных осей: Для площадки 1 (6) Для площадки 2 (7) Из уравнений [(6) и (7)] очевидно, что = 0, потому что [ ] Вывод: Если =0, следовательно, cosα3=0 и значит α1= 90ᵒ. Ось «3» совпадает с осью z, а значит является нормалью к плоскости xy. Этот вывод совпадает с ранее принятым утверждением, что , т.е. фактически является дополнительной проверкой правильности определения . Таким образом, эта проверка дает окончательный ответ, какое это главное напряжение из 3ки чисел. Т.е. является окончательной проверкой. Решаем первые 2 уравнения из группы (6), (7) используя условие , в нашем случае: (*) Выражаем и подставляем в (*) → (**) Таким образом, угол между осями «x» и «1» α1 = arccos = 85ᵒ Определим направляющий косинус между «y» и осью «3» Проверка 1 Таким образом, 1 проверка удовлетворяется. Тогда угол между осями «x» и «2» α2 = arccos = 0ᵒ Проверка 2 α2’+ α1’= 85 + 0 = 84ᵒ, погрешность составляет , что допустимо при технических расчетах. Из группы формул (7) получаем: подставим в уравнение (*) → → → Таким образом, угол между осями «y» и «1» α1 = arccos = 85ᵒ Определим направляющий косинус между «y» и осью «3» Проверка 1 Таким образом, 1 проверка удовлетворяется. Тогда угол между осями «y» и «2» α2 = arccos = 0ᵒ Проверка 2 α2’’+ α1’’= 85 + 0 = 84ᵒ, погрешность составляет , что допустимо при технических расчетах.
|