Элементы математической статистики. Решение типового варианта Задание I

• Название: Решение типового варианта Задание I
• Анкор: Элементы математической статистики
• Дата: 06.05.2023
• Размер: 0.75 Mb.
• Имя файла: Элементы математической статистики.doc
• Тип: Решение; #1112406
• страница: 2 из 4

4). Находим выборочное среднее:

и выборочную дисперсию: .

Для этого составляем расчетную таблицу (табл. 2).

Таблица 2.

	Границы интервала	Середина интервала	Частота интер­вала
1	43,40 – 43,96	43,68	7	305,76	1907,94	13355,60
2	43,96 – 44,52	44,24	13	575,12	1957,18	25443,31
3	44,52 – 45,08	44,80	12	537,60	2007,04	24084,48
4	45,08 – 45,64	45,36	22	997,92	2057,53	45265,65
5	45,64 – 46,20	45,92	25	1148,00	2108,65	52716,16
6	46,20 – 46,76	46,48	14	650,72	2160,39	30245,47
7	46,76 – 47,32	47,04	6	282,24	2212,76	13276,57
8	47,32 – 47,88	47,60	1	47,60	2265,76	2265,76
		–	100	4544,96	–	206653

Из нее получаем: , , .

Несмещённой называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки.

Смещённой называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкойгене­ральной дисперсии, а исправленная дисперсия - несмещенной оценкой:

, .

5). Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Имеется несколько критериев согласия: («хи квадрат») К. Пирсона, Колмагорова, Фишера, Смирнова и др.

По условию задачи нам необходимо использовать критерий Пирсона, правило применения которого сводится к следующему:

1. 
   вычислить теоретические частоты, затем наблюдаемое значение критерия по формуле ;
   
2. 
   по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы , где – число интервалов, найти критическую точку ;
   
3. 
   если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу;
   

если – нулевую гипотезу отвергают.

Согласно критерию Пирсона необходимо сравнить эм­пирические и теоретические частоты. Эмпирические частоты даны. Найдем теоретические частоты. Для этого пронумеруем ,т.е. перейдем к случайной величине и вычислим концы ин­тервалов: и . Наи­меньшее значение положим стремящимся к , а наибольшее – , стремящимся к . Результаты занесем в таблицу (табл. 3). Число наблюдений в отдельных интервалах должно быть достаточно большим (рекомендуется иметь в каждом интервале не менее 5-10 наблюдений). Если в отдельных интервалах очень малы, следует объединить интервалы. Длины интервалов могут быть различными. В соответствии с этим число исходных интервалов может быть уменьшено. Так как , то последний девятый интервал объединим с восьмым и получим интервал с частотой .

Таблица 3.

	Границы интервала				Границы интервала
1	43,40 44,96		–	-0,49		-1,31
2	43,96 44,52		-0,49	-0,93	-1,31	-1,02
3	44,52 45,08		-0,93	-0,37	-1,02	-0,41
4	45,08 45,64		-0,37	0,19	-0,41	0,21
5	45,64 46,20		0,19	0,75	0,21	0,82
6	46,20 46,76		0,75	1,31	0,82	1,44
7	46,76 47,88		1,31	–	1,44

Находим теоретические вероятности и теоретические частоты: . Составляем расчетную таблицу (табл. 4). Значения функции берём из прил.1.

Таблица 4.

	Границы интервала
1		-1,31	-0,5000	-0,4049	0,0951	9,51
2	-1,31	-1,02	-0,4049	-0,3461	0,0588	5,88
3	-1,02	-0,41	-0,3461	-0,1591	0,1870	18,70
4	-0,41	0,21	-0,1591	0,0832	0,2423	24,23
5	0,21	0,82	0,0832	0,2939	0,2107	21,07
6	0,82	1,44	0,2939	0,4251	0,1312	13,12
7	1,44		0,4251	0,5000	0,0749	7,49
	–	–	–	–	1	100

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу (табл. 5). Последние два столбца служат для контроля вычислений по формуле:



Таблица 5

1	7	9,51	-2,51	6,3001	0,6625	49	5,1525
2	13	5,88	7,12	50,6944	8,6215	169	28,7415
3	12	18,70	-6,70	44,89	2,4005	144	7,7005
4	22	24,23	-2,23	4,9729	0,2052	484	19,9752
5	25	21,07	3,93	15,4449	0,7330	625	29,6630
6	14	13,12	0,88	0,7744	0,0590	196	14,9390
7	7	7,49	-0,49	0,2401	0,0321	49	6,5421
	100	100	–	–	12,7138	–	112,7138