Задание (2). Решение уравнения будем искать в виде y e rx. Для этого составляем характеристическое уравнение

• Название: Решение уравнения будем искать в виде y e rx. Для этого составляем характеристическое уравнение
• Дата: 13.10.2021
• Размер: 77.51 Kb.
• Имя файла: Задание (2).docx
• Тип: Решение; #247082

1)


Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² +0 r + 9 = 0
D=0² - 4·1·9=-36


Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r₁ = 3i
r₂ = - 3i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:


Общее решение однородного уравнения имеет вид:

C_i ∈ R
Рассмотрим правую часть:
f(x) = 6*e^3*x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x^ke^αx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 6, Q(x) = 0, α = 3, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 3 + 0i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида:
y^· = Ae^3x
Вычисляем производные:
y' = 3·A·e^3x
y'' = 9·A·e^3x
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + 9y = (9·A·e^3x) + 9(Ae^3x) = 6·e^3·x
или
18·A·e^3x = 6·e^3·x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
1: 18A = 6
Решая ее, находим:
A = ¹/₃;
Частное решение имеет вид:
y^·=¹/₃e^3x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:


2)



Делаем замену y'=p(x). Тогда y''=p'(x)p. Подставляя в исходное уравнение, получаем:
y*p*p'+p²=0

Представим исходное дифференциальное уравнение в следующем виде:
y*p*p'+p^2=0
Найти общее решение уравнения
y·p·p'+p²=0
Это уравнение Бернулли при n=2.
y·p·p'+p²=0
Делаем замену: z=p²
Тогда:
z' = 2·p·p'
и поэтому уравнение переписывается в виде
y·z'/2+z=0

Это неоднородное уравнение. Делаем замену переменных: z=u*v, z'=u'*v+u*v'
Получаем:

или:


Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:


1. Приравниваем u=0, находим решение для:

Представим в виде:

Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

ln(v) = -2·ln(y)

2. Зная v, Находим u из условия:


u' = 0
Интегрируя, получаем:



Из условия z=u*v, получаем:
z = u·v = nan
Поскольку z=p², то получим:
p² = nan
Поскольку y'=p(y), то интегрируя, окончательно получаем:


x=∞·y+C₂