Главная страница
Навигация по странице:

  • характеристическое уравнение

  • Поиск частного решения

  • Задание (2). Решение уравнения будем искать в виде y e rx. Для этого составляем характеристическое уравнение


    Скачать 77.51 Kb.
    НазваниеРешение уравнения будем искать в виде y e rx. Для этого составляем характеристическое уравнение
    Дата13.10.2021
    Размер77.51 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаЗадание (2).docx
    ТипРешение
    #247082

    1)


    Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
    Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
    r2 +0 r + 9 = 0
    D=02 - 4·1·9=-36


    Корни характеристического уравнения:
    (комплексные корни):
    r1 = 3i
    r2 = - 3i
    Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:


    Общее решение однородного уравнения имеет вид:

    Ci  R
    Рассмотрим правую часть:
    f(x) = 6*e3*x
    Поиск частного решения.
    Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
    R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
    имеет частное решение
    y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
    где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
    Здесь P(x) = 6, Q(x) = 0, α = 3, β = 0.
    Следовательно, число α + βi = 3 + 0i не является корнем характеристического уравнения.
    Уравнение имеет частное решение вида:
    y· = Ae3x
    Вычисляем производные:
    y' = 3·A·e3x
    y'' = 9·A·e3x
    которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
    y'' + 9y = (9·A·e3x) + 9(Ae3x) = 6·e3·x
    или
    18·A·e3x = 6·e3·x
    Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
    1: 18A = 6
    Решая ее, находим:
    A = 1/3;
    Частное решение имеет вид:
    y·=1/3e3x
    Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:


    2)



    Делаем замену y'=p(x). Тогда y''=p'(x)p. Подставляя в исходное уравнение, получаем:
    y*p*p'+p2=0

    Представим исходное дифференциальное уравнение в следующем виде:
    y*p*p'+p^2=0
    Найти общее решение уравнения
    y·p·p'+p2=0
    Это уравнение Бернулли при n=2.
    y·p·p'+p2=0
    Делаем замену: z=p2
    Тогда:
    z' = 2·p·p'
    и поэтому уравнение переписывается в виде
    y·z'/2+z=0

    Это неоднородное уравнение. Делаем замену переменных: z=u*v, z'=u'*v+u*v'
    Получаем:

    или:


    Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:


    1. Приравниваем u=0, находим решение для:

    Представим в виде:

    Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

    Интегрируя, получаем:

    ln(v) = -2·ln(y)

    2. Зная v, Находим u из условия:


    u' = 0
    Интегрируя, получаем:



    Из условия z=u*v, получаем:
    z = u·v = nan
    Поскольку z=p2, то получим:
    p2 = nan
    Поскольку y'=p(y), то интегрируя, окончательно получаем:


    x=∞·y+C2


    написать администратору сайта