297580 теор.вер. Решение Вероятность, что все шары одного цвета (либо все белые, либо все черные) pp 1 p 2 р0,0590,0010,06

• Название: Решение Вероятность, что все шары одного цвета (либо все белые, либо все черные) pp 1 p 2 р0,0590,0010,06
• Дата: 15.03.2022
• Размер: 107.15 Kb.
• Имя файла: 297580 теор.вер.docx
• Тип: Решение; #397508

Содержание

Задание № 1 2

Задание № 2 4

Задание № 3 5

Задание № 4 6

Задание № 5 8

Задание № 6 9

Список использованных источников 14

Задание № 1

Условие:

В первой урне 5 белых и 4 черных шаров, а во второй урне 7 белых и 4 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом 1 шар, а из второй –4 шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только три белых шара;

в) хотя бы один белый шар.
Решение:

Вероятность, что все шары одного цвета (либо все белые, либо все черные)

p=p₁+p₂





р=0,059+0,001=0,06

Вероятность, что только три белых шара.

Представим возможные варианты вытаскивания 3-х белых шаров из двух урн.

1 урна: 0 белых, 1 белый,

2 урна: 3 белых, 2 белых

Тогда итоговая вероятность:



Хотя бы один белый шар.

P=1-p(все черные)=1-0,01=0,99
Ответ: р=0,06; Р=0,082; р=0,99

Задание № 2

Условие:

В первой урне 5 белых и 2 черных шаров, а во второй урне 4 белых и 4 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шаров и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 4 шаров. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.
Решение:

Введём следующие обозначения для событий:

H1– из первой урны переложили 3 белых шара

H2 – из первой урны переложили два белых и один черный шар,

H3 – из первой урны переложили один белый и два черных шара.

Т.к. других вариантов вытащить из первой урны три шара нет, эти события составляют полную группу событий, и они несовместны. Найдём вероятности этих событий по формуле гипергеометрической вероятности:









Введём событие A – после перекладывания из второй урны вытащили 4 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, что во вторую урну переложили из первой. Найдём условные вероятности:









По формуле полной вероятности найдём вероятность события A:




Ответ: вероятность вынуть все белые шары равна 0,0828

Задание № 3

Условие:

В каждом из 140 независимых испытаний событие происходит с постоянной вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что в данной серии испытаний событие произойдет:

а) точно 95 раз;

б) больше чем 65 и меньше чем 95 раз;

в) больше чем 95 раз.
Решение:

 В данном случае n=140, m=95, p=0,7, q=1-0,7=0,3. Находим

и определяем φ(х)=0,3429

Тогда искомая вероятность равна



В данном случае n=140, p=0,7, q=1-0,7=0,3, k1=65, k2=95. Находим х1 и х2:





Тогда функция Лапласа равна Φ(х1)= -0,5; Φ(х2)=-0,2088

Вероятность в данном случае равна

P{65≤μ≤95}=Φ(x2)-Φ(x1)=-0,2088-(-0,5)=0,2912

В данном случае n=140, p=0,7, q=1-0,7=0,3, k1=95, k2=140. Находим х1 и х2:





Тогда функция Лапласа равна Φ(х1)= -0,2088; Φ(х2)=0,5

Вероятность в данном случае равна

P{95≤μ≤140}=Φ(x2)-Φ(x1)=0,5-(-0,2088)=0,7088
Ответ: 0,06; 0,2912;0,7088.

Задание № 4

Условие:

В урне 5 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимают случайным образом 3 шаров. Для случайной величины , равной разности между количеством вынутых белых и черных шаров, требуется:

а) найти закон распределения;

б) построить график функции распределения ;

в) найти математическое ожидание и дисперсию .
Решение:

Поскольку вынимается три шара, то возможны следующие элементарные исходы:

-3, -1, 1, 3, тогда получаем х=-3, х=-1, х=1, х=3.





Можно построить ряд распределения

Х	-3	-1	1	3
Р	0,12	0,45	0,36	0,07

Функция распределения СВДТ X:



Вычислим математическое ожидание:

М(х)=-3*0,12-1*0,45+1*0,36+3*0,07=-0,36-0,45+0,36+0,21=-0,24



M(x²)=(-3)²*0,12+(-1)²*0,45+1*0,36+3²*0,07=1,08+0,45+0,36+0,63=2,52

D(x)=2,52-(-0,24)²=2,46
Ответ: М(х)=-0,24; D(x)=2,46

Задание № 5

Условие:

Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения . Требуется найти:

а) параметр ;

б) функцию распределения ;

в) математическое ожидание и дисперсию .



Решение:

Найдем параметр c из условия:



Для нашей функции:





Функция распределения.



Математическое ожидание.



Дисперсия.


Ответ: М(х)=5/4, D(x)=51/80

Задание № 6

Условие:

Для случайной величины, заданной выборкой, с надежностью 0,99 и уровнем значимости 0,01, на отрезке [0;30] (с числом разбиений отрезка, равным ), таблица 1, и при неизвестном среднем квадратическом отклонении:

а) составить интервальный статистический ряд;

б) построить гистограмму относительных частот;

в) найти точечные и интервальные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения;

г) проверить гипотезу о нормальном распределении по критерию согласия Пирсона.

Таблица 1 – Исходные данные

14,62	7,25	18,74	10,11	8,71	3,53	11,27	19,78	22,59	15,53
11,67	17,43	12,51	26,17	16,67	15,82	21,94	13,63	16,17	20,33
9,41	21,62	11,05	16,04	19,52	23,24	12,26	5,34	28,47	12,35
12,56	11,59	27,34	20,38	24,32	10,02	1,58	14,99	17,01	9,24
23,83	16,28	9,76	6,18	17,94	17,85	10,23	8,12	7,38	17,54
15,87	26,91	14,17	15,61	18,15	4,68	13,19	2,97	17,73	4,12
12,18	13,79	8,91	1,19	13,48	15,34	5,98	14,09	10,86	7,55
2,61	10,51	14,56	10,99	25,27	6,46	13,34	15,29	6,79	13,98
17,89	12,14	4,29	13,76	19,49	15,58	18,63	29,78	11,73	19,27
14,28	22,34	12,44	7,96	9,93	27,58	14,74	9,63	13,57	11,95
8,84	16,98	9,06	21,26	16,85	11,92	3,28	16,57	10,72	5,48
15,06	24,15	13,93	15,18	24,86	9,72	11,19	10,47	1,76	14,05
13,52	9,35	0,26	10,48	12,03	17,58	18,26	4,86	12,67	10,39
5,09	12,97	11,44	17,25	9,56	22,57	2,35	14,45	23,15	12,86
14,68	8,64	16,71	29,56	12,75	10,65	15,94	20,57	13,64	17,13
25,89	13,08	9,15	16,35	22,81	14,36	21,35	15,74	20,86	24,72
10,53	10,27	3,74	11,29	15,22	25,54	17,62	14,83	23,64	14,57
19,18	27,97	14,15	20,71	0,48	12,49	6,39	28,62	13,27	9,81
15,37	11,43	8,08	14,49	18,34	9,13	16,46	15,42	18,82	16,24
17,39	16,41	11,82	5,75	16,19	7,41	26,59	12,88	11,36	13,85

Решение:

Ширина интервала: h=10



x_max - максимальное значение группировочного признака в совокупности.

x_min - минимальное значение группировочного признака

Составим интервальный статистический ряд, таблица 2.
Таблица 2 – Интервальный ряд

Интервал	0-10	10-20	20-30
Частота	50	116	34

На рисунке 1 изображена гистограмма.


Рис. 1. Гистограмма
В таблице 3 представлен расчет показателей.
Таблица 3 - Расчет показателей

Группы	Середина интервала, xцентр	Кол-во, fi	xi·fi	Накопленная частота, S	|x-xср|·fi	(x-xср)2·fi	Относительная частота, fi/f
0-10	5	50	250	50	460	4232	0.25
10-20	15	116	1740	166	92.8	74.24	0.58
20-30	25	34	850	200	367.2	3965.76	0.17
Итого		200	2840		920	8272	1

Средняя взвешенная (выборочная средняя) – точечное математическое ожидание.



Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).



Среднее квадратическое отклонение.



Доверительный интервал для генерального среднего.



Определяем значение t_kp по таблице распределения Стьюдента.

По таблице Стьюдента находим:

T_табл(n-1;α/2) = T_табл(199;0.005) = 2.839

Стандартная ошибка выборки для среднего:



Стандартная ошибка среднего указывает, на сколько среднее выборки 14,2 отличается от среднего генеральной совокупности.

Предельная ошибка выборки:

ε = t_kp s_c = 2,839*0,46 = 1,294

Доверительный интервал:

(14,2 – 1,294;14,2 + 1.294) = (12,906;15,494)

С вероятностью 0,99 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала

Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения.

S*(1-q) < σ < S*(1+q)

Найдем доверительный интервал для среднеквадратического отклонения с надежностью γ = 0.99 и объему выборки n = 200

По таблице q=q(γ ; n) определяем параметр q(0.99;200) = 0

6.447(1-0) < σ < 6.447(1+0)

6.447 < σ < 6.447

Таким образом, интервал (6.447;6.447) покрывает параметр σ с надежностью γ = 0.99

Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.



где p_i — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону

Для вычисления вероятностей p_i применим формулу и таблицу функции Лапласа



Где

s = 6,431, x_ср = 14,2

Теоретическая (ожидаемая) частота равна f_i = fp_i, где f = 200

Вероятность попадания в i-й интервал: p_i = Ф(x₂) - Ф(x₁)

Составим вспомогательную таблицу 4.
Таблица 4 – Вспомогательная таблица

xi÷xi+1	fi	x1 = (xi - xср)/s	x2 = (xi+1 - xср)/s	Ф(x1)	Ф(x2)	pi=Ф(x2)-Ф(x1)	Ожидаемая частота, 200pi	Слагаемые статистики Пирсона, Ki
0-10	50	-2.2025	-0.6514	-0.4868	-0.2454	0.2414	48.28	0.06128
10-20	116	-0.6514	0.8996	-0.2454	0.3159	0.5613	112.26	0.1246
20-30	34	0.8996	2.4506	0.3159	0.4931	0.1772	35.44	0.05851
	200							0.2444

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+∞).

Её границу K_kp = χ²(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ² и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры x_cp и s оценены по выборке).

K_kp = χ²(3-2-1;0.01) = 249.4451; Kнабл = 0.24

Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу.

Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение.

Выводы:

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 14,2 в среднем на 6.431.

Среднее значение примерно равно моде и медиане, что свидетельствует о нормальном распределении выборки.

Проверка гипотезы по критерию согласия Пирсона показала, что нет оснований отвергать гипотезу о нормальном законе распределения.

Список использованных источников

1. 
   Балдин, К.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В Рукосуев. - М.: Дашков и К, 2016. - 472 c.
   
2. 
   Блягоз, З.У. Теория вероятностей и математическая статистика. Курс лекций: Учебное пособие / З.У. Блягоз. - СПб.: Лань, 2018. - 224 c.