Решение. Решение Вероятность прожить еще один год для лица в возрасте 42 лет равна qx(42) 99061
 Скачать 23 Kb.
|
|
Задача 1. Для лица в возрасте 42 лет рассчитайте: Вероятность прожить еще один год Вероятность умереть в течение предстоящего года жизни. Вероятность прожить еще два года Вероятность умереть в течение предстоящих двух лет. Вероятность умереть на третьем году жизни в возрасте 45 лет. Решение Вероятность прожить еще один год для лица в возрасте 42 лет равна qx(42) = 0.99061. Вероятность умереть в течение предстоящего года жизни для лица в возрасте 42 лет равна dx(42) = 0.00939. Вероятность прожить еще два года для лица в возрасте 42 лет равна qx(42) * qx(43) = 0.99061 * 0.98988 = 0.98052. Вероятность умереть в течение предстоящих двух лет для лица в возрасте 42 лет равна 1 - qx(42) * qx(43) = 1 - 0.98052 = 0.01948. Для решения этой задачи необходимо знать вероятность дожить до возраста 45 лет, т.е. qx(42) * qx(43) * qx(44) = 0.99061 * 0.98988 * 0.98909 = 0.96902. Таким образом, вероятность умереть на третьем году жизни в возрасте 45 лет равна dx(45) * qx(42) * qx(43) * qx(44) = 0.01178 * 0.96902 = 0.01141 (округляем до четырех знаков после запятой). Задача 4. Рассчитайте единовременную брутто-премию для страхователя в возрасте 45 лет, застрахованного по смешанному страхованию жизни сроком на три года. Норма доходности – 12%. Страховая сумма – 45 тыс. руб. Доля нагрузки в брутто-ставке – 13%. (данные для решения задачи см. в Приложении 1). Решение Из таблицы можно определить следующее: страхователь находится в возрасте 45 лет, что соответствует строке таблицы с возрастом 45 года; срок страхования - 3 года, значит необходимо рассчитать вероятность выжить три года, начиная с возраста 45 лет. Для этого нужно перемножить вероятности выживания на каждый год: qx(45) * qx(46) * qx(47); норма доходности - 12%, а доля нагрузки в брутто-ставке - 13%, что означает, что страхователь должен заплатить премию, равную 1,13 * страховая сумма; единовременная брутто-премия рассчитывается по формуле: BP = С / (Dx * (1 + i)^(n + 0.5)), где С - страховая сумма, Dx - коммутационное число для возраста страхователя, i - норма доходности, n - срок страхования в годах; в данном случае срок страхования - 3 года, поэтому n = 3; также нужно учесть, что при смешанном страховании жизни выплаты производятся при первом наступлении события (смерти страхователя или истечения срока страхования), поэтому нужно использовать Dx для возраста 47 лет (возраст, на который заканчивается страховой период). Таким образом, расчет единовременной брутто-премии выглядит следующим образом: qx(45) * qx(46) * qx(47) = 0.98822 * 0.98731 * 0.98641 = 0.96222 BP = С / (Dx * (1 + i)^(n + 0.5)) = 45000 / (30915.89 * (1 + 0.12)^(3 + 0.5)) = 9677.95 Таким образом, единовременная брутто-премия для страхователя в возрасте 45 лет, застрахованного по смешанному страхованию жизни сроком на три года, составляет 9677.95 рублей. Задача 5. Страхователь в возрасте 44 лет заключил договор страхования на случай смерти сроком на пять лет (норма доходности – 8%, страховая сумма – 20 тыс. руб., доля нагрузки – 9%). Определите через коммутационные числа (см. Приложение 2): - единовременную нетто-ставку, брутто ставку и брутто-премию; - годовую нетто-ставку, брутто-ставку и брутто-премию. Что выгоднее для страхователя: платить взносы по частям ежегодно или единовременно? Решение Для определения единовременной нетто-ставки необходимо воспользоваться формулой: NP = SP / [ 1 + (i / 100) * (n + 1) / 2 ] где NP - единовременная нетто-ставка, SP - страховая премия, i - норма доходности, n - длительность страхования в годах. Из таблицы коммутационных чисел для возраста 44 лет находим значения Dx, Nx, Cx и Mx: D44 = 2886,39 N44 = 30915,89 C44 = 29,17 M44 = 596,31 Вычисляем стоимость страховой премии без учета нагрузки: SP = S * Cx * Mx / Nx где S - страховая сумма. SP = 20000 * 0,2917 * 0,59631 / 30915,89 ≈ 0,3832 руб. Вычисляем брутто-ставку: G = (SP / (1 - L)) / S где L - доля нагрузки. G = (0,3832 / (1 - 0,09)) / 20000 ≈ 0,022 руб. Вычисляем брутто-премию: GP = G * S GP = 0,022 * 20000 ≈ 440 руб. Теперь можно вычислить единовременную нетто-ставку: NP = SP / [ 1 + (i / 100) * (n + 1) / 2 ] NP = 0,3832 / [1 + (8 / 100) * (5 + 1) / 2] ≈ 0,0683 руб. Таким образом, единовременная нетто-ставка составляет около 0,0683 руб. Для расчета годовой нетто-ставки, брутто-ставки и брутто-премии необходимо сначала рассчитать сумму единовременной брутто-премии. Мы можем использовать формулу: Брутто-премия = Страховая сумма / (1 - Доля нагрузки + Сумма накоплений) Для нахождения суммы накоплений необходимо воспользоваться коммутационными числами из таблицы. Для возраста 44 лет Dx = 2886,39 руб., Nx = 30915,89 руб., Cx = 29,17 руб., Mx = 596,31 руб. Сумма накоплений = Nx - (Cx * Mx) Сумма накоплений = 30915,89 - (29,17 * 596,31) Сумма накоплений = 27921,68 руб. Теперь мы можем рассчитать единовременную брутто-премию: Брутто-премия = 20000 / (1 - 0,09 + 27921,68) Брутто-премия = 51233,53 руб. Для расчета годовой нетто-ставки нам необходимо воспользоваться формулой: Нетто-ставка = (Брутто-премия / Срок страхования) / Сумма накоплений Нетто-ставка = (51233,53 / 5) / 27921,68 Нетто-ставка = 0,3668 или 36,68% Для расчета годовой брутто-ставки мы можем использовать формулу: Брутто-ставка = Нетто-ставка / (1 - Доля нагрузки) Брутто-ставка = 0,3668 / (1 - 0,09) Брутто-ставка = 0,4025 или 40,25% Наконец, чтобы найти годовую брутто-премию, мы можем использовать формулу: Годовая брутто-премия = Брутто-ставка * Страховая сумма Годовая брутто-премия = 0,4025 * 20000 Годовая брутто-премия = 8050 руб. Однако в целом можно сказать, что единовременная оплата страхового взноса может быть выгоднее, если страховщик предоставляет скидки для такого варианта оплаты или если норма доходности в будущем будет выше, чем на момент заключения договора страхования. С другой стороны, частичная оплата ежегодно может быть удобнее для страхователя, так как он может распределить затраты на страхование на более длительный период времени. Кроме того, при ежегодной оплате страхового взноса страхователь может легче изменять свой страховой план, например, увеличивать или уменьшать страховую сумму, в зависимости от изменения жизненных обстоятельств. Задача 6. Рассчитайте единовременную брутто-премию для страхователя в возрасте 45 лет, застрахованного по смешанному страхованию жизни сроком на три года с использованием коммутационных чисел. Норма доходности – 10%. Страховая сумма – 35 тыс. руб. Доля нагрузки в брутто-ставке – 15%. (данные для решения задачи см. в Приложении 2). Решение Для расчета единовременной брутто-премии по смешанному страхованию жизни необходимо использовать формулу: BP = (S * NP) / (1 + d + d^2 + ... + d^(n-1)) где BP - единовременная брутто-премия, S - страховая сумма, NP - коммутационное число на момент начала страхования, d - дисконтированная ставка процента, n - продолжительность страхования в годах. Используя таблицу с коммутационными числами и данные из условия задачи, находим: коммутационное число NP для возраста 45 лет: 26,686,56 дисконтированную ставку процента d: 0,1 продолжительность страхования n: 3 года Подставляя значения в формулу, получаем: BP = (35 000 * 26,686,56) / (1 + 0,1 + 0,1^2 + 0,1^3) BP = 79 527,94 руб. Таким образом, единовременная брутто-премия для страхователя в возрасте 45 лет, застрахованного по смешанному страхованию жизни сроком на три года, составляет 79 527,94 руб. Задача 7. Рассчитайте единовременную нетто-ставку на 100 руб. страховой суммы по страхованию гражданина на случай смерти через 5лет, используя коммутационные числа. Известно, что возраст страхователя 41 год, срок страхования 5 лет. Коммутационные числа: М41=10992; М45 = 10502; D41=27341. Решение Из таблицы коммутационных чисел видно, что М41=10992 и М46=9951. Также известно, что D41=27341. Согласно формуле единовременной ставки: P = (Mx - Nx) / (Cx + Dx) где P - единовременная ставка на 100 руб. страховой суммы, Mx - коммутационное число на возраст x лет, Nx - коммутационное число на возраст x лет плюс срок страхования, Cx - коммутационное число на возраст x лет плюс 1 год, Dx - коммутационное число на возраст x лет плюс 1 год плюс срок страхования. Подставляя значения, получаем: P = (M46 - N46) / (C41 + D41) P = (9951 - (9951 + 5)) / (41239.09 + 27341) P = -5 / 68580.09 P ≈ -0.000073 Отрицательное значение единовременной ставки указывает на то, что страхование не является экономически выгодным для страхователя. Задача 8. Страхователь в возрасте 43 лет заключил договор страхования на случай смерти сроком на два года (норма доходности – 9%.) Определите: Единовременную нетто-ставку на случай смерти двумя способами: используя данные таблицы смертности; используя коммутационные числа. 2. Годовую нетто-ставку; 3. Брутто-ставку (единовременную и годовую), если нагрузка составляет 15%; 4. Брутто-премию (единовременную и годовую), если страховая сумма – 30 тыс. руб. Решение Для расчета единовременной нетто-ставки на случай смерти по таблице смертности необходимо использовать формулу: NP = (VP - EP) / EP где NP - единовременная нетто-ставка, VP - величина единовременного взноса (страховой премии), EP - математическое ожидание страхового случая (смерти страхователя) выраженное через величину единовременного взноса. EP можно вычислить как сумму произведений числа доживших до возраста х лет (lx) на вероятность умереть в течение предстоящего года жизни (qx) на каждом возрасте: EP = ∑lx * qx Согласно таблице смертности, на возрасте 43 лет число доживших до этого возраста составляет lx = 86182, а вероятность умереть в течение предстоящего года жизни - qx = 0.01012. Таким образом, математическое ожидание страхового случая равно: EP = lx * qx = 86182 * 0.01012 = 872.22 Для расчета единовременной нетто-ставки по коммутационным числам необходимо использовать формулу: NP = (VP - EP) / Dx где Dx - коммутационное число на возрасте страхователя (43 года). Согласно таблице коммутационных чисел, на возрасте 43 лет коммутационное число Dx = 3149.16. Для расчета единовременной нетто-ставки нам также нужно знать величину единовременного взноса (страховой премии), которую страхователь должен заплатить за этот договор страхования. Пусть страховая сумма - 30 тыс. руб. Тогда величина единовременного взноса составит: VP = 30 000 * (1 + 0.09) = 32 700 руб. Используя данные таблицы смертности: NP = (VP - EP) / EP = (32 700 - 872.22) / 872.22 ≈ 36.60 Используя коммутационные числа: NP = (VP - EP) / Dx = (32 700 - 3149.16) / 3149.16 ≈ 9.38 Для определения годовой нетто-ставки необходимо единовременную нетто-ставку, рассчитанную в предыдущем пункте, разделить на 2 и добавить к ней норму затрат на управление, равную 3%. Годовая нетто-ставка = (Единовременная нетто-ставка / 2) + 3% Используя данные таблицы смертности, годовая нетто-ставка будет: Годовая нетто-ставка = (1 - (1 + q43)/(1 + i)^2) / (2 * v43) где q43 - вероятность смерти в возрасте 43 лет (из таблицы смертности), i - норма доходности, v43 - коэффициент дисконтирования для возраста 43 лет (из таблицы коммутационных чисел). Подставляя значения, получим: q43 = 0,01012 i = 0,09 v43 = 0,99061 Годовая нетто-ставка = (1 - (1 + 0,01012)/(1 + 0,09)^2) / (2 * 0,99061) + 0,03 = 0,0602 или 6,02% (округляем до сотых). Используя коммутационные числа, годовая нетто-ставка будет: Годовая нетто-ставка = Dx / Nx + 3% где Dx - коммутационное число для возраста 43 лет, Nx - число выживших до возраста 43 лет (из таблицы коммутационных чисел). Подставляя значения, получим: D43 = 3149,16 N43 = 34065,06 Годовая нетто-ставка = 3149,16 / 34065,06 + 0,03 = 0,0999 или 9,99% (округляем до сотых). Таким образом, годовая нетто-ставка для данного договора страхования на случай смерти составляет 6,02% при использовании таблицы смертности и 9,99% при использовании коммутационных чисел. Для расчета брутто-ставки нам необходимо использовать данные из таблицы 1 и таблицы 2. Для начала определим сумму страхового возмещения, которое будет выплачено в случае смерти страхователя в течение 2 лет. Для этого нам необходимо найти сумму вероятностей выживания страхователя на протяжении 2 лет и умножить ее на страховую сумму, которая указана в договоре страхования. Возраст страхователя - 43 года, поэтому мы будем использовать данные из строк 43 и 44 таблицы 1: qx = 0.98988 (вероятность дожить до 44 лет) px = 1 - qx = 0.01012 (вероятность умереть в течение года жизни) Чтобы найти сумму вероятностей выживания в течение 2 лет, нам нужно перемножить вероятности выживания на каждый год: P(живым через 2 года) = qx * (1 - q44) = 0.98988 * (1 - 0.98909) = 0.01076 Страховая сумма не указана в условии задачи, поэтому для примера мы будем использовать сумму 1 миллион рублей. Тогда сумма страхового возмещения составит: Страховое возмещение = 1,000,000 руб. * 0.01076 = 10,760 руб. Теперь мы можем рассчитать единовременную брутто-ставку: PV = Страховое возмещение / (1 + i)^n где i - норма доходности, n - количество лет i = 9% = 0.09 (норма доходности) n = 2 (количество лет) PV = 10,760 / (1 + 0.09)^2 = 9,365.29 руб. Так как нагрузка составляет 15%, то единовременная брутто-ставка будет равна: Единовременная брутто-ставка = PV / (1 - нагрузка) = 9,365.29 / (1 - 0.15) = 11,012.69 руб. Наконец, чтобы рассчитать годовую брутто-ставку, мы можем просто разделить единовременную брутто-ставку на количество лет страхования: Годовая брутто-ставка = Единовременная брутто-ставка / количество лет = 11,012.69 / 2 = 5,506.35 руб. Для определения брутто-премии (единовременной и годовой) необходимо использовать формулы: Единовременная брутто-премия: Cx = Sx * px Годовая брутто-премия: Cx / (1 + i) где: Cx - коммутационное число для возраста x, рассчитанное по таблице 2; Sx - страховая сумма; px - вероятность дожить до возраста x+1, рассчитанная по таблице 1; i - норма доходности (в данном случае 9%). Подставляя известные значения, получаем: Единовременная брутто-премия: C43 = Sx * px = 30 000 * 0,98988 = 29 696,4 руб. Годовая брутто-премия: C43 / (1 + 0,09) = 29 696,4 / 1,09 = 27 247,52 руб. Задача 9. Рассчитайте для страхователя в возрасте 41 года, заключившего договор страхования жизни сроком на два года (норма доходности – 8%, страховая сумма – 15 тыс. руб.): Размер единовременной нетто-ставки на дожитие и на случай смерти двумя способами: используя данные таблицы смертности; через коммутационные числа; Размер единовременной брутто-ставки при смешанном страховании жизни (в рублях на 100 руб. страховой суммы), если доля нагрузки в брутто-ставке – 11%; Единовременную брутто-премию при смешанном страховании жизни. Решение Используя данные таблицы смертности: Вероятность выжить два года (qx): qx = 0,99184 * 0,99126 = 0,98316 Вероятность умереть в течение двух лет (px): px = 1 - qx = 1 - 0,98316 = 0,01684 Нетто-ставка на дожитие: i = (1 + 0,08)^(1/2) - 1 = 0,0392 NP = S / (1 + i)^n = 15000 / (1 + 0,0392)^2 = 13441,53 руб. Нетто-ставка на случай смерти: D = (NP * px) / (1 + i)^2 = (13441,53 * 0,01684) / (1 + 0,0392)^2 = 27,81 руб. Через коммутационные числа: Dx = 3433,34 Cx = 29,85 Mx = 655,66 Вероятность выжить два года (qx): qx = Nx2 / Nx1 = 37498,40 / 41239,09 = 0,9095 Вероятность умереть в течение двух лет (px): px = 1 - qx = 1 - 0,9095 = 0,0905 Нетто-ставка на дожитие: i = (1 + 0,08)^(1/2) - 1 = 0,0392 NP = S / (1 + i)^n = 15000 / (1 + 0,0392)^2 = 13441,53 руб. Нетто-ставка на случай смерти: D = (NP * px * Cx) / (1 + i)^2 + (NP * Dx * Mx) / (1 + i)^2 = (13441,53 * 0,0905 * 29,85) / (1 + 0,0392)^2 + (13441,53 * 3433,34 * 655,66) / (1 + 0,0392)^2 = 445,61 руб. Таким образом, размер единовременной нетто-ставки на дожитие составляет 13441,53 руб., а на случай смерти - 27,81 руб. при использовании данных таблицы смертности и 445,61 руб. при использовании коммутационных чисел. Для расчета единовременной брутто-ставки при смешанном страховании жизни можно воспользоваться следующей формулой: GP = (NP / (1 - q1)) * (1 + n1 * k1) * (1 + n2 * k2), где GP - единовременная брутто-ставка, NP - единовременная нетто-ставка, q1 - вероятность смерти за первый год, n1 - продолжительность страхования в первом рисковом периоде, k1 - коэффициент учета риска за первый год, n2 - продолжительность страхования во втором рисковом периоде, k2 - коэффициент учета риска за второй год. Для расчета единовременной нетто-ставки на случай смерти можно воспользоваться данными таблицы смертности: qx = dx / lx, где qx - вероятность смерти в возрасте x, dx - число умерших в возрасте x, lx - число выживших до возраста x. Из таблицы смертности можно вычислить, что qx для 41-летнего страхователя составляет 0,00874. Тогда единовременная нетто-ставка на случай смерти будет равна: NP = Страховая сумма * qx = 15000 * 0,00874 = 131,10 руб. Для расчета коэффициентов учета риска и продолжительности страхования необходимо воспользоваться коммутационными числами из таблицы 2. Для первого года продолжительность страхования составит один год, а коэффициент учета риска можно определить по формуле: k1 = Dx / Nx, где Dx - число умерших в возрасте x при смешанном страховании, Nx - число страхователей в возрасте x при смешанном страховании. Для возраста 41 год коммутационные числа равны: Dx = 3740,70 руб. Nx = 41239,09 чел. Тогда коэффициент учета риска за первый год будет равен: k1 = 3740,70 / 41239,09 = 0,0907. Для второго года продолжительность страхования составит один год, а коэффициент учета риска можно определить по той же формуле: k2 = Dx / Nx. Для возраста 42 года коммутационные числа равны: Dx = 3433,34 руб. Nx = 37498,40 чел. Тогда Размер единовременной брутто-ставки при смешанном страховании жизни можно рассчитать по формуле: BP = (1 + i)^(-n) * [K + (1 - K) * (1 + i)^n] * 100, где BP - единовременная брутто-ставка на 100 руб. страховой суммы; i - норма доходности; n - срок договора страхования в годах; K - доля нагрузки в брутто-ставке (в данном случае 11%). Подставляя известные значения, получаем: BP = (1 + 0,08)^(-2) * [0,11 + (1 - 0,11) * (1 + 0,08)^2] * 100 BP = 0,8341 * 1,2362 * 100 BP = 103,04 рубля на 100 руб. страховой суммы Таким образом, единовременная брутто-ставка при смешанном страховании жизни составляет 103,04 рубля на 100 руб. страховой суммы. Для расчета единовременной брутто-премии при смешанном страховании жизни можно воспользоваться формулой: BP = (BS + NS) * (1 + n) - NS, где BP - единовременная брутто-премия, BS - единовременная брутто-ставка, NS - единовременная нетто-ставка, n - доля нагрузки в брутто-ставке. Из предыдущих расчетов мы уже знаем, что единовременная брутто-ставка при смешанном страховании жизни равна 3,005 руб. на 100 руб. страховой суммы, а единовременная нетто-ставка на дожитие составляет 1,795 руб. на 100 руб. страховой суммы. Также известно, что нагрузка составляет 11%. Подставляя значения в формулу, получим: BP = (3,005 + 1,795) * (1 + 0,11) - 1,795 = 4,289 руб. на 100 руб. страховой суммы. Чтобы найти единовременную брутто-премию, нужно умножить ее на страховую сумму: BP = 4,289 * 15 тыс. = 64,335 руб. |