Ноу Задачи на оптимизацию. Решение задач оптимизации на максимизацию количества производимых товаров и услуг. Научный

• Название: Решение задач оптимизации на максимизацию количества производимых товаров и услуг. Научный
• Анкор: Ноу Задачи на оптимизацию
• Дата: 03.05.2023
• Размер: 69.95 Kb.
• Имя файла: 7b0160b582addf3e1670a2c4f9bb1d89.docx
• Тип: Решение; #1104624
• страница: 1 из 2

Научное общество учащихся.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Школа № 185» Ленинского района г. Н. Новгорода.

Решение задач оптимизации на максимизацию количества производимых товаров и услуг.
Научный руководитель:

Морозов Андрей Игоревич, Аспирант, старший преподаватель: НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде.

Выполнил: Киселёв Кирилл

ученик 11 «В» класса.

Консультант:


Бодякшина Наталья Александровна, учитель математики МБОУ «Школа №185»

Нижний Новгород

2022

Содержание

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3

1. Методологические основы решения оптимизационных задач…………4

1.1. Что такое «задачи на оптимизацию»? Что такое оптимизация? Каков математический смысл задач на оптимизацию? . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Классификация типов задач и их методов решения………………6
2. Решение задачи с помощью логики……………………………………6
2.1 Производственная задача………………………………………………6
2.2. Внешнеторговая задача………………………………………………8
3. Решение задачи с помощью линейной функции………………………19
3.1. Задача про отель………………………………………………………20
3.2. Задача из ЕГЭ 11 класс……………………………………………….21

Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23

Введение
На уроке математики мы писали сочинение «Математика в жизни человека». Я задумался, где можно использовать математические знания в практической деятельности человека. Да, конечно, в магазине, надо считать деньги, взвешивать товар, рассчитывать стоимость покупки. А еще можно рассчитать время в пути, если знаешь расстояние и скорость.  А интересно, можно рассчитать кротчайший путь между объектами, самую дешевую поездку.

        

Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда достижение некоторого результата может быть осуществлено не единственным способом. В таких случаях приходится отыскивать наилучший способ. Однако в различных ситуациях наилучшими могут быть совершенно разные решения. Все зависит от выбранного или заданного критерия. На практике оказывается, что в большинстве случаев понятие «наилучший» может быть выражено количественными критериями – минимум затрат, минимум времени, максимум прибыли и т.д. Поэтому возможна постановка математических задач отыскания оптимального (optimum – наилучший) результата, так как принципиальных различий в отыскании наименьшего или наибольшего значения нет. Задачи на отыскание оптимального решения называются задачами оптимизации. 
Научно-техническая революция, результаты которой особенно заметны в последние десятилетия, привела к созданию сложных высокопроизводительных систем и комплексов в различных сферах деятельности человека.
Ключевой проблемой решения этих сложных задач напрямую связано с решением задач оптимизации.

1. Методологические основы решения оптимизационных задач.
1.1. Что такое «задачи на оптимизацию»? Что такое оптимизация? Каков математический смысл задач на оптимизацию?
Задачи на оптимизацию – это блок экономических задач, для решения которых нужно найти наиболее выгодные условия для развития какого-либо предприятия.
Что такое оптимизация?
Из самого названия блока задач понятно, что нужно найти оптимальное решение. Когда у предпринимателя есть несколько путей развития своего бизнеса, ему нужно заранее просчитать, какой из них будет приносить больше прибыли. Он может выбрать один из них, а может их комбинировать. В таком случае встает вопрос о том, как это делать, с какого варианта начать и когда перейти ко второму.
Конкретных вопросов может быть огромное количество: с какого предприятия нанимать сотрудников, с какого завода закупать детали, как распределить зарплату и так далее. Этими вопросами занимается оптимизация.
Задачи оптимизации имеют огромное прикладное значение и возникают в самых разных разделах экономики, техники, военного дела. В таких задачах нас интересуют поиск некоторого оптимального решения (минимизующего или максимизирующего целевую функцию: прибыль, затраты, калорийность и т.п.) в условиях ограничений (наличия ресурсов, дорог, времени, продуктов и т.п.).
Каков математический смысл оптимизаций?
Конкретных формул для решения задач на оптимизацию нет. Нужно понимать, как связаны исходные данные с целью предпринимателя. Для этого составляются функции, описывающие зависимости прибыли от поставленных условий. При этом зачастую эти условия уже заданы функцией. В таком случае нужно понимать, что от чего зависит. Как прийти к такой функции, в которой присутствуют все условия, и при этом анализ данной функции показывает оптимальный вариант.

Если условие задано не функцией, а конкретными значениями, в любом случае, нужно будет найти зависимость между ними и искомой прибылью.

В задачах на оптимизацию нередко встречаются производные. Точки максимума и минимума могут показать наибольшую и наименьшую прибыль, если функция составлена в зависимости от неё.
Задача №1.1:

Александр владеет двумя кондитерскими фабриками. На фабрике А делают 100 шоколадных тортов в день или 70 фруктовых. На заводе В делают 80 шоколадных или 90 фруктовых тортов в день. При этом известно, что на потребительском рынке шоколадный торт стоит 300 рублей, а фруктовый 400. Александру нужно выбрать, какой завод будет производить шоколадные торты, а какой фруктовые, с тем условием, что завод может производить только один тип тортов в день (то есть или шоколадные, или фруктовые), но затраты на их производство одинаковые. Какую максимальную прибыль в день может иметь Александр при имеющихся данных?
1.Фруктовые торты продаются по более высокой цене, при этом за день на фабрике В их делают больше. Очевидно, что этой фабрике стоит производить фруктовые торты. Тогда за день работы фабрики Александр будет получать максимальную прибыль с этого завода в размере:
S_{B} = 90∙400=36000
2.Независимо от завода фруктовые торты на рынке продаются дороже, но на фабрике А их делают медленнее. Нужно проверить, будет ли производство фруктовых тортов на этой фабрике более выгодным, чем производство шоколадных тортов несмотря на то, что их делают меньше. Сравним доход фабрики А от производства шоколадных и фруктовых тортов:
S_{AФ} = 70∙400=28000
S_{AШ} = 100∙300=30000
28000 <30000

3.Значит, фабрике А нужно производить шоколадные торты несмотря на то, что продаются по более низкой цене.

Найдем общий доход Александра за день, при условии, что фабрика А производит шоколадные торты, а фабрика В – фруктовые:
S_{B} + S_{A} = 36000+30000=66000
Ответ: 66000 (Конечно, в реальных ситуациях предприниматели учитывают гораздо больше факторов, таких, как себестоимость, объём спроса на конкретный вид товара, а также могут производить разные виды товара на одном заводе в определенных пропорциях.).
1.2. Классификация типов задач на оптимизацию.
Многие задачи оптимизации сводятся к отысканию наименьшего, (или наибольшего), значения целевой функции или показателя качества. В зависимости от вида целевой функции и вида ограничений на область и параметры функции различают несколько типов задач оптимизации.

Наиболее часто встречающиеся типы задач оптимизации – это

1. 
   Производственная задача
   
2. 
   Внешнеторговая задача
   

Рассмотрим примеры некоторых типов задач оптимизации.
2. Решение задачи с помощью логики.

2.1. Производственная задача.

Общий вид задач:

Предприятие производит продукты , , ..., .

На производство одного продукта потребуется затратить материала и человека - часов. Прибыль с первой проданной штуки - и кол – во товара для производства.

На производство одного продукта потребуется затратить материала и человеко-часов. Прибыль с первой проданной штуки - и кол – во товара для производства и т.д.

На производство одного продукта потребуется затратить материала и человека - часов. Прибыль с первой проданной штуки - и кол – во товара для производства.

Причём – всего ресурса, а – всего человеко-часов. Задача – произвести продукцию в таком объёме, чтобы прибыль оказалась максимальной.

Целевая функция:

+ – общая прибыль

– общая затрата материала

- общая затрата человеко-часов

Задача №2.1.

Условие задачи:

Мебельная фабрика специализируется на производстве столов, стульев и табуреток. Затрата на производство одного стола потребуется древесины, а также 4 человека – часов, причем прибыль с этого составит 750 рублей. Затрата на производство одного стула потребуется древесины, а также 3,5 человека – часов, причем прибыль с этого составит 600 рублей. Затрата на производство одной табуретки потребуется и 1,5 человека – часов, причем прибыль с этого составит 250 рублей. Ресурсы ограничены и составляют 10 м³ древесины и 880 человеко-часов. Задача – произвести продукцию в таком объёме, чтобы прибыль оказалась максимальной.

Пусть x – количество столов,

y – количество стульев,

z – количество табуреток.

Допущения в модели оптимизации:

- цены не зависят от объёма производства;

- норма затрат не зависит от объёмов производства.

	Доход (руб.)	Расход древесины (м3)	Трудозатраты (чел/час)
Столы	750	0,04	4
Стулья	600	0,01	3,5
Табуретки	250	0,005	1,5

Целевая функция:

750x+600y+250z → max

Решим систему:

750x+600y+250z → max

0,04x+0,01y+0,005z ≤ 10

4x+3,5y+1,5z ≤ 880

x, y, z ≥ 0

x, y, z – целые числа

Ответ: x=6, y=0, z=0

Итак, чтобы прибыль мебельной фабрики оказалась максимальной необходимо производить продукцию в следующих объёмах. Надо производить 6 столов, а также необходимо отказаться от производства стульев и табуреток.
2.2. Внешнеторговая задача.
В моделях оптимизации внешней торговли ограничительные условия отражают специфику отрасли и делятся, как правило, на две группы: условия внешнеторговой деятельности, связанные с внутренними возможностями страны или фирмы, и условия, определяемые внешними рынками. К первой группе можно отнести имеющиеся материальные финансовые средства, выделенные экспортные фонды, мощности по производству экспортных товаров, потребности в импорте. Вторая группа ограничительных факторов учитывает экономико-политические цели и включает ограничения, связанные с международными соглашениями, валютные ограничения, возможности сбыта и закупок товаров на внешних рынках и т.п. В качестве критерия оптимальности решения в задачах оптимизации внешней торговли может быть выбрана, например, цель – максимизация валютной выручки от экспорта или минимизация затрат на производство экспортных товаров и т.п.


Общий вид задач:
Страна поставляет товары , , на рынки I, II, III.
Причём ёмкость рынка I по товару составляет тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $.
Ёмкость рынка II по товару составляет тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $ за единицу продукции.
На рынке III – неограниченный спрос на товар , причём его покупают по цене $ за единицу продукции.

Ёмкость рынка I по товару составляет тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $ за единицу продукции.
Ёмкость рынка II по товару составляет тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $ за единицу продукции.
На рынке III продукция спросом не пользуется.

Ёмкость рынка I по товару составляет тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $ за единицу продукции.
Ёмкость рынка II по товару составляет тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $ за единицу продукции.
На рынке III – неограниченный спрос на товар , который покупается по цене $ за единицу продукции.
Кроме того, страна импортирует товары , с рынков I, II и III.
Максимальное предложение на рынке I по товару составляет тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $ за единицу продукции.
Максимальное предложение на рынке II по товару составляет тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $ за единицу продукции.
Максимальное предложение на рынке III по товару составляет тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $.

Товар на рынке I не продаётся.
Максимальное предложение на рынке II по товару составляет тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $ за единицу продукции.
Максимальное предложение на рынке III по товару составляет тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $ за единицу продукции.

Товар на рынке имеет неограниченное предложение, и продаётся по цене $ за единицу продукции.
Товар на рынке II имеет неограниченное предложение, и продаётся по цене $ за единицу продукции.
Товар на рынке III не продаётся.
При этом существует договор, по которому страна не имеет права экспортировать товар более тыс. единиц, товар тыс. единиц, товар – тыс. единиц.
Кроме этого, существует ограничение на импорт: количество товара по всем рынкам не должно превышать тыс. единиц товара, товар должен быть закуплен в количестве не более единиц, а по товару ограничений нет.
Помимо этого, объём продаж на рынке I должен быть не меньше тыс. единиц, объём закупок на рынке II должен быть не больше тыс. единиц, а на рынке III объём продаж товарами должен равняться объёму закупок.
Задача – максимизировать валютную выручку от экспорта

	Товар	Товар	Товар	Товар	Товар	Товар
	Экспорт						Импорт
	Цена ($) Ёмкость рынка (тыс. ед.)
Рынок I					0 0	∞
Рынок II						∞
Рынок III	∞	0 0	∞			0 0

Обозначим через объем продажи  - ого товара на  - ом рынке.

Пусть x₁₁ – объём продажи товара на рынке I,

x₂₁ – объём продажи товара на рынке II

x₃₁ – объём продажи товара на рынке III

x₁₂ – объём продажи товара на рынке I

x₂₂ – объём продажи товара на рынке II

x₃₂ – объём продажи товара на рынке III

x₁₃ – объём продажи товара на рынке I

x₂₃ – объём продажи товара на рынке II

x₃₃ – объём продажи товара на рынке III

x₁₄ – объём продажи товара на рынке I

x₂₄ – объём продажи товара на рынке II

x₃₄ – объём продажи товара на рынке III

x₁₅ – объём продажи товара на рынке I

x₂₅ – объём продажи товара на рынке II

x₃₅ – объём продажи товара на рынке III

x₁₆ – объём продажи товара на рынке I

x₂₆ – объём продажи товара на рынке II

x₃₆ – объём продажи товара на рынке III

Целевая функция:

x₁₁+ x₂₁+ x₃₁+ x₁₂+ x₂₂+ x₁₃+ x₂₃+ x₃₃ – x₁₄ – x₂₄ – x₃₄ – x₁₅ – x₃₅ – x₁₆ – x₂₆ → max

Ограничения по объему экспортного рынка:

x₁₁ ≤

x₂₁ ≤

x₁₂ ≤

x₂₂ ≤

x₁₃ ≤

x₂₃ ≤

Ограничения по объему импортного рынка:

x₁₄ ≤

x₂₄ ≤

x₃₄ ≤

x₂₅ ≤

x₃₅ ≤

Ограничения по объему экспорта:

x₁₁+x₂₁+x₃₁ ≤

x₁₂+x₂₂+x₃₂ ≤

x₁₃+x₂₃+x₃₃ ≤

Ограничения по объему импорта:

x₁₄+x₂₄+x₃₄ ≤

x₁₅+x₂₅+x₃₅ ≤

Ограничения по рынкам:

x₁₁+x₁₂+x₁₃ ≥

x₂₄+x₂₅+x₂₆ ≤

x₃₁+ x₃₃– x₃₄ – x₃₅ =0

Решим систему уравнений:

x₁₁+ x₂₁+ x₃₁+ x₁₂+ x₂₂+ x₁₃+ x₂₃+ x₃₃ – x₁₄ – x₂₄ – x₃₄ – x₁₅ – x₃₅ – x₁₆ – x₂₆ → max

x₁₁ ≤

x₂₁ ≤

x₁₂ ≤

x₂₂ ≤

x₁₃ ≤

x₂₃ ≤

x₁₄ ≤

x₂₄ ≤

x₃₄ ≤

x₂₅ ≤

x₃₅ ≤

x₁₁+x₂₁+x₃₁ ≤

x₁₂+x₂₂+x₃₂ ≤

x₁₃+x₂₃+x₃₃ ≤

x₁₄+x₂₄+x₃₄ ≤

x₁₅+x₂₅+x₃₅ ≤

x₁₁+x₁₂+x₁₃ ≥ ;

x₂₄+x₂₅+x₂₆ ≤ x₃₁+ x₃₃– x₃₄ – x₃₅ =0.