Ноу Задачи на оптимизацию. Решение задач оптимизации на максимизацию количества производимых товаров и услуг. Научный

• Название: Решение задач оптимизации на максимизацию количества производимых товаров и услуг. Научный
• Анкор: Ноу Задачи на оптимизацию
• Дата: 03.05.2023
• Размер: 69.95 Kb.
• Имя файла: 7b0160b582addf3e1670a2c4f9bb1d89.docx
• Тип: Решение; #1104624
• страница: 2 из 2

Пример 2.2.
Условие задачи:
Страна поставляет товары А, В и С на рынки I, II, III. Причём ёмкость рынка I по товару А составляет 30 тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $130. Ёмкость рынка II по товару А составляет 27 тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $390 за единицу продукции. На рынке III – неограниченный спрос на товар А, причём его покупают по цене $80 за единицу продукции. Ёмкость рынка I по товару В составляет 22 тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $390 за единицу продукции. Ёмкость рынка II по товару В составляет 8 тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $250 за единицу продукции. На рынке III продукция В спросом не пользуется. Ёмкость рынка I по товару С составляет 35 тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $170 за единицу продукции. Ёмкость рынка II по товару С составляет 30 тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $190 за единицу продукции. На рынке III – неограниченный спрос на товар С, который покупается по цене $120 за единицу продукции. Кроме того, страна импортирует товары D, E и F с рынков I, II и III. Максимальное предложение на рынке I по товару D составляет 820 тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $7,3 за единицу продукции. Максимальное предложение на рынке II по товару D составляет 600 тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $10,5 за единицу продукции. Максимальное предложение на рынке III по товару D составляет 930 тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $5,8. Товар Е на рынке I не продаётся. Максимальное предложение на рынке II по товару E составляет 370 тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $12,2 за единицу продукции. Максимальное предложение на рынке III по товару E составляет 120 тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $8,1 за единицу продукции. Товар F на рынке имеет неограниченное предложение, и продаётся по цене $6,1 за единицу продукции. Товар F на рынке II имеет неограниченное предложение, и продаётся по цене $9,3 за единицу продукции. Товар F на рынке III не продаётся. При этом существует договор, по которому страна не имеет права экспортировать товар А более 42 тыс. единиц, товар В – 80 тыс. единиц, товар С – 70 тыс. единиц. Кроме этого, существует ограничение на импорт: количество товара D по всем рынкам не должно превышать 1800 тыс. единиц товара, товар Е должен быть закуплен в количестве не более 250 единиц, а по товару F ограничений нет. Помимо этого, объём продаж на рынке I должен быть не меньше 50 тыс. единиц, объём закупок на рынке II должен быть не больше 1000 тыс. единиц, а на рынке III объём продаж товарами должен равняться объёму закупок. Задача – максимизировать валютную выручку от экспорта.

	Товар А	Товар В	Товар С	Товар D		Товар Е	Товар F
	Экспорт				Импорт
	Цена ($) Ёмкость рынка (тыс. ед.)
Рынок I	130 30	390 22	170 35	7,3 820		0 0	6,1 ∞
Рынок II	160 27	250 8	190 30	10,5 600		12,2 370	9,3 ∞
Рынок III	80 ∞	0 0	120 ∞	5,8 930		8,1 120	0 0

Обозначим через х_ik объем продажи k-ого товара на i- ом рынке.
Пусть x₁₁ – объём продажи товара А на рынке I,
x₂₁ – объём продажи товара А на рынке II
x₃₁ – объём продажи товара А на рынке III
x₁₂ – объём продажи товара B на рынке I
x₂₂ – объём продажи товара B на рынке II
x₃₂ – объём продажи товара B на рынке III
x₁₃ – объём продажи товара C на рынке I
x₂₃ – объём продажи товара C на рынке II
x₃₃ – объём продажи товара C на рынке III
x₁₄ – объём продажи товара D на рынке I
x₂₄ – объём продажи товара D на рынке II
x₃₄ – объём продажи товара D на рынке III
x₁₅ – объём продажи товара E на рынке I
x₂₅ – объём продажи товара E на рынке II
x₃₅ – объём продажи товара E на рынке III
x₁₆ – объём продажи товара F на рынке I
x₂₆ – объём продажи товара F на рынке II
x₃₆ – объём продажи товара F на рынке III
Целевая функция:
130x₁₁+160x₂₁+80x₃₁+390x₁₂+250x₂₂+170x₁₃+190x₂₃+120x₃₃ – 7,3x₁₄ – 10,5x₂₄ –5,8x₃₄ – 12,2 x₁₅ – 8,1 x₃₅ – 6,1x₁₆ – 9,3x₂₆ → max
Ограничения по объему экспортного рынка:
x₁₁ ≤ 30
x₂₁ ≤ 27
x₁₂ ≤ 22
x₂₂ ≤ 8
x₁₃ ≤ 35
x₂₃ ≤ 30
Ограничения по объему импортного рынка:
x₁₄ ≤ 820
x₂₄ ≤ 600
x₃₄ ≤ 930
x₂₅ ≤ 370
x₃₅ ≤ 120

Ограничения по объему экспорта:
x₁₁+x₂₁+x₃₁ ≤ 42
x₁₂+x₂₂+x₃₂ ≤ 80
x₁₃+x₂₃+x₃₃ ≤ 70
Ограничения по объему импорта:
x₁₄+x₂₄+x₃₄ ≤ 1800
x₁₅+x₂₅+x₃₅ ≤ 250
Ограничения по рынкам:
x₁₁+x₁₂+x₁₃ ≥ 750
x₂₄+x₂₅+x₂₆ ≤ 1000
80x₃₁+120x₃₃– 5,8x₃₄ – 8,1x₃₅ =0
Решим систему уравнений:

130x₁₁+160x₂₁+80x₃₁+390x₁₂+250x₂₂+170x₁₃+190x₂₃+120x₃₃ – 7,3x₁₄ – 10,5x₂₄ –5,8x₃₄ – 12,2 x₁₅ – 8,1 x₃₅ – 6,1x₁₆ – 9,3x₂₆ → max

x₁₁ ≤ 30

x₂₁ ≤ 27

x₁₂ ≤ 22

x₂₂ ≤ 8

x₁₃ ≤ 35

x₂₃ ≤ 30

x₁₄ ≤ 820

x₂₄ ≤ 600

x₃₄ ≤ 930

x₂₅ ≤ 370

x₃₅ ≤ 120

x₁₁+x₂₁+x₃₁ ≤ 42

x₁₂+x₂₂+x₃₂ ≤ 80

x₁₃+x₂₃+x₃₃ ≤ 70

x₁₄+x₂₄+x₃₄ ≤ 1800

x₁₅+x₂₅+x₃₅ ≤ 250

x₁₁+x₁₂+x₁₃ ≥ 750

x₂₄+x₂₅+x₂₆ ≤ 1000

80x₃₁+120x₃₃– 5,8x₃₄ – 8,1x₃₅ =0
Ответ:

x₁₁=15, x₂₁=27, x₃₁=0, x₁₂=22, x₂₂=8, x₃₂=0 (по условию задачи), x₁₃=35, x₂₃=30, x₃₃=1,94452, x₁₄=0, x₂₄=0, x₃₄=37,997, x₁₅=0 (по условию задачи), x₂₅=0, x₃₅=1,6, x₁₆=0, x₂₆=0, x₃₆=0 (по условию задачи)
Итак, чтобы максимизировать валютную выручку от экспорта необходимо, чтобы товары экспортировались и импортировались в следующих объёмах. Объём продажи товара А на рынке I должен составлять 15 тыс. единиц продукции; объём продажи товара А на рынке II - 27 тыс. единиц продукции; в то же время, на рынок III поставка товара А не должна осуществляться. Товар В на рынок I должен поставляться в количестве 22 тыс. единиц продукции; на рынок II товар В надо поставлять в количестве 8 тыс. единиц продукции; на рынок III товар В поставляться не будет по условию задачи. Объём продажи товара C на рынке I должен составлять 35 тыс. единиц продукции; объём продажи товара C на рынке II - 30 тыс. единиц продукции; объём продажи товара C на рынке III – 1,94452 тыс. единиц продукции. Товар D не должен импортироваться на I и II рынки, а на рынок III товар D должен импортироваться в объёме 37,997 тыс. Товар Е на рынок I не будет импортироваться по условию задачи; на рынок II товар Е тоже не должен импортироваться; на рынок III товар Е надо импортировать в объёме 1,6 тыс. единиц продукции. Товар F на рынок III не импортируется по условию задачи. На рынки I и II товар F также импортировать не следует.
3. Решение задач с помощью линейной функции.
Перейдём к разбору задачи оптимизации с линейной целевой функцией, в которой связи между переменными даются только линейными уравнениями или линейными неравенствами.

Составляя математическую модель такой задачи, мы придём к традиционной с точки зрения элементарной математики задаче на метод областей. Это объясняется тем, что будет дана система линейных уравнений и неравенств, определяющих условия производства продукции или услуги, а также линейная функция с параметром, наибольшее или наименьшее значение которого надо найти. На координатной плоскости такая система задаёт многоугольник, расположенный в первой координатной четверти (поскольку в подобных задачах речь идёт о неотрицательных величинах). Графиком линейной функции является прямая, для которой можно найти требуемое значение параметра (например, максимальное значение, при котором указанная прямая будет иметь хотя бы одну общую точку с построенной областью). Эту прямую будем называть целевой прямой.

Общий вид задач:












3.1. Задача про «отель».
Пример 3.1.
Условие задачи:
Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?
Пусть – это кол-во стандартных номеров, – кол-во номеров «люкс». Они занимают площадь . Составим равенство: = 1099. Выразим из этого равенства .

Составим функцию заработанных денег: . Далее подставим в эту функцию выражение для . Получим . Это возрастающая линейная функция. Своё наибольшее значение оно принимает при наибольшем значении и наименьшем значении . По условию – натуральные числа. Значит, (это наименьшее натуральное число) и . Значит, .

Ответ: Предприниматель своего отеля за сутки может заработать 104500 рублей.
3.2. Задача из ЕГЭ 11 класс.
Пример 3.2.
Условие задачи:
Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны  млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

Решение.

Чтобы прибыль за три года была не меньше 78 млн руб. необходимо, чтобы ежегодная прибыль была не меньше 26 млн руб., то есть, чтобы выполнялось неравенство:


откуда, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, получаем:





Удостоверимся, что это значение параметра достигается, то есть существует количество продукции x, при котором достигается эта цена.





Тем самым, при p = 10 (цене 10 тыс. руб.) и x = 8 (производстве 8 тыс. единиц продукции), завод окупится за три года.

 
Ответ: p = 10.

Заключение

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи. Задачи подобного рода носят общее название – экономические задачи на оптимизацию или экстремальные задачи. Эти задачи тесно связаны с практической деятельностью человека. Как добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества. Экстремальные задачи с достаточной полнотой закладывают в сознание учащихся понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучшими.