Презентация. Вероятность_ЕГЭ. Решение задач по теории вероятности
 Скачать 1.02 Mb.
|
Ответ: 0,0296.Решение: Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: либо после двух выигрышей (3 + 3), либо после выигрыша и ничьей (3 + 1, 1 + 3). Так как вероятность выигрыша и проигрыша равны 0,4, то вероятность ничьей равна 1 − 0,4 − 0,4 = 0,2. Задача 42. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4. 1. Вероятность события А «команда выиграла оба матча» по формуле пересечения независимых событий равна Р(А) = 0,4 ∙ 0,4 = 0,16. 2. Вероятность события В «команда выиграла первый матч, закончила вничью второй матч» равна Р(В) = 0,4 ∙ 0,2 = 0,08. 3. Вероятность события С «команда закончила вничью первый матч, выиграла второй матч» равна Р(В) = 0,2 ∙ 0,4 = 0,08. 4. События А, В, С попарно несовместны, вероятность их объединения равна Р(АUВUС) = Р(А) +Р(В) +Р(С) = 0,16 + 0,08 + 0,08 = 0, 32. Ответ: 0,32.Задача 43. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая – 40%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая – 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Ответ: 0,036. Решение: 1. Вероятность купить стекло на первой фабрике равна 0,6. Вероятность брака в стекле первой фабрики равна 0,04. Вероятность события А «куплено бракованное стекло первой фабрики» находим по формуле для пересечения независимых событий: Р(А) = 0,6 · 0,04 = 0,024.
Р(АUВ) = Р(А) + Р(В) = 0,024 + 0,012 = 0,036. Задачи о частоте. Решение: Частота (относительная частота) события «гарантийный ремонт» равна 130 : 2000 = 0,065. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,065 – 0,05 = 0,015. Задача 44. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,05. В некотором городе из 2000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 130 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе? Ответ: 0,015. Задачи о зависимых событиях. А={кофе закончится в первом автомате} B={кофе закончится во втором автомате} Р(А)=Р(В)=0,4, По формуле сложения вероятностей: Ответ: 0,42 Решение. Обозначим: Задача 45. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Противоположным событием будет «кофе останется в обоих автоматах» Его вероятность равна А∩В А В А∩В={кофе закончится в обоих автоматах} Задачи на проценты. Решение: Пусть х – искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Пусть всего закуплено n яиц. Тогда в первом хозяйстве закуплено x ∙ n яиц, из них 0,6 ∙ n высшей категории. Во втором хозяйстве закуплено (1 - x) ∙ n яиц, из них 0,4 ∙ (1 – x)∙ n высшей категории. Всего высшую категорию имеют 0,48 n яиц. Отсюда: 0,6x ∙ n + 0,4 ∙ (1 – x) ∙ n = 0,48 n, 0,6x + 0,4 ∙ (1 – x) = 0,48 , 0,6x + 0,4 – 0,4x = 0,48 , 0,2x = 0,008, x = 0,4. Ответ: 0,4. Задача 46. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. Решение: Пусть завод произвел x тарелок. Качественных тарелок 0,8x (80% от общего числа), они поступят в продажу. Дефектных тарелок 0,2x, из них в продажу поступает 30%, то есть 0,3 ∙ 0,2x = 0,06x. Всего в продажу поступило 0,8x + 0,06x = 0,86x тарелок. Вероятность купить качественную тарелку равна: Задача 47. На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых. Ответ: 0,93. Разные задачи. Решение: Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов. Вероятность промаха при первом выстреле равна 1 − 0,4 = 0,6. Вероятность промаха при каждом последующем равна 1 − 0,6 = 0,4. Подсчитаем число выстрелов, при котором цель остаётся непоражённой с вероятностью менее 1 − 0,98 = 0,02. События независимы, поэтому имеем: Р(1) = 1 − 0,4 = 0,6; Р(2) = Р(1) · 0,4 = 0,24; Р(3) = Р(2) · 0,4 = 0,096; Р(4) = Р(3) · 0,4 = 0,0384; Р(5) = Р(4) · 0,4 = 0,01536. Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени. Задача 48. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? Ответ: 5. Решение: Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить её при первом или втором или n выстреле. Будем вычислять вероятность уничтожения при n выстреле, задавая значения n=1,2,3, и суммируя полученные вероятности. n=1 P=0,4 S=0,4 n=2 P=0,6∙0,6=0,36 - при первом выстреле промах, при втором цель уничтожена S=0,4+0,36=0,76 n=3 P=0,6 ∙ 0,4 ∙ 0,6 = 0,144 - цель уничтожена при третьем выстреле S=0,76+0,144=0,904 n=4 P=0,6 ∙ 0,4 ∙ 0,4 ∙ 0,6= 0,0576 - при 4-м S=0,904+0,0576=0,9616 n=5 P=0,6 ∙ 0,43 ∙ 0,6 = 0,02304 S=0,9616+0,02304=0,98464 - достигли нужной вероятности при n=5. Задача 48. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? (2 способ решения) Ответ: 5. Решение: Вероятность того, что З. не сможет набрать 70 баллов ни по иностранному языку, ни по обществознанию равна (1 − 0,7) ∙ (1 − 0,5) = 0,3 ∙ 0,5 = 0,15 (события независимые). Значит, хотя бы по одному из этих предметов он получит 70 баллов с вероятностью 1 − 0,15 = 0,85. Для поступления нужно набрать требуемый балл по математике, русскому языку и хотя бы по одному предмету из иностранного языка и обществознания. Вероятность поступления равна 0,6 ∙ 0,8 ∙ 0.85 = 0,408. Задача 49. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку – 0,8, по иностранному языку – 0,7 и по обществознанию – 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей. Ответ: 0,408. Решение. Задача 50. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку – 0,8, по иностранному языку – 0,7 и по обществознанию – 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей. Вероятность успешно сдать экзамены на лингвистику равна P1=0,6 ∙ 0,8 ∙ 0,7=0,336. Вероятность успешно сдать экзамены на коммерцию равна P2=0,6 ∙ 0,8 ∙ 0,5=0,24. Вероятность успешно сдать экзамены на обе специальности равна P3=0,6 ∙ 0,7 ∙ 0,8 ∙ 0,5=0,168. Вероятность успешной сдачи хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей равна P=P1 + P2 − P3=0,408. P1 P2 P3 Ответ: 0,408. Решение: Вероятность наступления хорошей погоды по условию равна 0,8, тогда вероятность наступления отличной погоды равна 1 − 0,8 = 0,2. Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х – хорошая, О – отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды: P(XXO) = 0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128; P(XOХ) = 0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128; P(OОO) = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008; P(OХХ) = 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128. Указанные события несовместные, вероятность их сумы равна сумме вероятностей этих событий: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) =0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 =0,392. Задача 51. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода. Ответ: 0,392. II способ решения. Задача 51. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 11 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 марта в Волшебной стране будет отличная погода. |