Презентация. Вероятность_ЕГЭ. Решение задач по теории вероятности
 Скачать 1.02 Mb.
|
Задача 24. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 13 очков. Результат округлите до сотых.Решение. Всего вариантов n = = 216. Благоприятных: (1;6;6) (2;5;6) (2;6;5) (3;4;6) (3;5;5) (3;6;4) (4;3;6) (4;4;5) (4;5;4) (4;6;3) (5;2;6)(5;3;5) (5;4;4) (5;5;3) (5;6;2) (6;1;6) (6;2;5) (6;3;4) (6;4;3) (6;5;2) (6;6;1) Всего благоприятных исходов m =21 P(A) = m/n = 21/216 = 0,097222 ≈ 0,10 Ответ: 0,10 Задачи о пересечении независимых событий. Задача 25. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Решение: Пусть событие C = «А. выиграл белыми», D = «А. выиграл чёрными». По условию, P(C)=0,5; P(D)=0,34 Необходимо найти вероятность пересечения событий С и D, т. е. P(C∩D). События C и D независимы (результат одной партии не зависит от результата другой). Вероятность наступления P(C∩D) равна произведению P(C) и P(D) , т.е наступят события C и D P(C∩D)= P(C) ∙ P(D) =0,5 ∙ 0,34=0,17 Ответ: 0,17 Задача 26. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга). Решение: Событие А – занят с клиентом первый продавец. Событие В – занят с клиентом второй продавец. Событие С – занят с клиентом третий продавец. Р(А) = Р(В) = Р(С) =0,6 Событие Р(A∩B∩C) - все три продавца заняты одновременно. Событие P(A∩B∩C) = P(А)∙P(В)∙P(С) События А, В и С независимы. P(A∩B∩C) =0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 = 0,216 Ответ: 0,216. Задача 27. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Решение: Здесь удобно сначала найти вероятность события «оба автомата неисправны», противоположного событию из условия задачи. Пусть По условию Р(А) = Р(В) = 0,05. Событие «оба автомата неисправны» − это А∩В. По формуле умножения вероятностей, его вероятность равна Р(А∩В) = Р(А)∙ Р(В) = 0,05∙0,05 = 0,0025. Значит, А={1-ый автомат неисправен} Ответ: 0,9975 В={2-ой автомат неисправен} Задача 28. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых. Решение: Вероятность попадания = 0,8 Вероятность промаха = 1 - 0,8 = 0,2 А={попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся} По формуле умножения вероятностей Р(А)= 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 Р(А)= 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02 Ответ: 0,02 Задача 29. Вероятность того, что шариковая ручка пишет плохо (или не пишет) равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо. Решение: A={ручка пишет хорошо} Противоположное событие: Ответ: 0,9 Задача 30. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,14. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Решение: Событие А- что хотя бы одна лампа не перегорит. Событие - обе лампы перегорят. р( ) = 0,14 ∙ 0,14 = 0,0196. р(А) = 1 – р( ) = 1 – 0,0196 = 0,9804. Ответ: 0,9804 Задача 31. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными. Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836. Ответ: 0,8836. Решение: Вероятность того, что на одном из требуемых мест окажется чётное число равна 0,5. Следовательно, вероятность того, что на двух местах одновременно окажутся два чётных числа равна 0,5 · 0,5=0,25. Задача 32. Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами? Ответ: 0,25 Решение: Задача 33. Решение: Чтобы мышка достигла выхода В ей необходимо пройти четыре перекрестка и на каждом из них сделать правильный выбор, т.е двигаться по красной стрелке. Вероятность правильного выбора каждый раз равна 0,5. Все события независимы. Р(А)= 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 =0,54=0,0625 Ответ: 0,0625 Задача 34. Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадёт в точку G. A C G H F B D E К Ответ: 0,125. Задача 35. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Хуторянка» по очереди играет с командами «Радуга», «Дружба», «Заря» и «Воля». Найдите вероятность того, что команда «Хуторянка» будет первой владеть мячом только в первых двух играх. Ответ: 0,0625. Задача 36. Перед началом матча по водному поло судья устанавливает мяч в центр бассейна, и от каждой команды к мячу плывёт игрок, чтобы первым завладеть мячом. Вероятность выиграть мяч у игроков равны. Команда «Русалочка» по очереди играет с командами «Наяда», «Ундина» и «Ариэль». Найдите вероятность того, что во втором матче команда «Русалочка» выиграет мяч в начале игры, а в двух других проиграет Ответ: 0,125. Задачи об объединении несовместных событий. Задача 37. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение: А={вопрос на тему «Вписанная окружность»} B={вопрос на тему «Параллелограмм»} События А и В несовместны, т.к. нет вопросов относящихся к двум темам одновременно Искомая вероятность равна Р(А U В)=Р(А) + Р(В) = 0,2 + 0,15 = 0,35 Ответ: 0,35 По условию Р(А) = 0,2, Р(В) = 0,15. Задача 38. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,98. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Решение: Событие А = « новый электрический чайник прослужит больше года». Р(А) = 0,98. Событие В = «новый электрический чайник прослужит больше двух лет». Р(В) = 0,89. Событие С = « новый электрический чайник прослужит меньше двух лет, но больше года». А = В + С. События В и С несовместны, значит, Р(А) = Р(В) + Р( С), 0,98= 0,89+ Р( С), Р(С) = 0,98-0,89=0,09 Ответ: 0,09. Решение: Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма – событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Задача 39. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19. Ответ: 0,38. Задачи об объединении пересечений событий. Задача 40. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон попадёт в муху. Решение: Т. к. из 10 револьверов 3 пристреляны, то вероятность схватить пристрелянный револьвер равна 3/10 = 0,3. Вероятность схватить один из 7 непристрелянных револьверов равна 7/10 = 0,7. Возможны 2 случая попадания Джоном в муху. Событие А = «Джон схватит пристрелянный револьвер и попадает в муху». События «Джон схватит пристрелянный револьвер» и «Джон попадёт из пристрелянного револьвера в муху» независимы, значит, Р(А) = 0,3 ∙ 0,8 = 0, 24. Вероятность события В = «Джон схватит непристрелянный револьвер и попадает в муху» равна Р(В) = 0,7 ∙ 0,2 = 0,14. События А и В несовместны (Джон не может стрелять одновременно как из пристрелянного, так и из непристре -лянного револьвера ). Искомая вероятность равна Ответ 0,38. Р(А U В)=Р(А) + Р(В) = 0,24 + 0,14 = 0,38 Решение: Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A = «батарейка действительно неисправна и забракована» или В = «батарейка исправна, но по ошибке забракована». Задача 41. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. Решение: Т. к. события «батарейка неисправна» и « батарейка забракована» независимы, значит, вероятность наступления события А равна: Р(А) = 0,02 ∙ 0,99 = 0,0198. Исправную батарейку линия производит с вероятностью 1 − 0,02 = 0,98. Для отбраковки исправной батарейки должны произойти два независимых события: «линия произвела исправную батарейку» и «исправная батарейка забракована». Значит, вероятность события В равна Р(В) = 0,98 ∙ 0,01 = 0,0098. События А и В несовместны. Искомая вероятность равна Р(АUВ) = Р(А) +Р(В) = 0,0198 + 0, 0098 = 0,0296. |