Контрольная по дискретной математике. Контрольная решение полное. Решение. Задание 2 Изобразить множество d с помощью кругов Эйлера. (А B) (A C)
 Скачать 1.61 Mb.
|
|
Задание № 3 А={a,b,c}, B={1,2,3,4}, P AxB, Q B2. Изобразить Р и Q графически. Записать матрицы этих отношений. Найти ( Ро Q.) -1. Проверьте с помощью матрицы является ли отношение Q рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P={(a,2),(a,4),(a,3),(c,1),(c,3)} Q={(1,1),(1,4),(2,3),(3,3),(4,1),(4,3),(4,4)} Решение.    P◦Q={(a,3),(a,1),(a,4), (c,4),(c,3),(c,1)} (P◦Q)–1={(3,a),(1,a),(4,a), (4,c),(3,c),(1,c)} Отношение рефлексивно, если на главной диагонали матрицы нет нулей, следовательно, данное отношение Q нерефлексивно. Отношение симметрично, если исходная и транспонированная матрицы совпадают.  Матрицы не совпадают, значит, отношение не является симметричным.  , следовательно, отношение не является антисимметричным.Отношение транзитивно, если при перемножении матрицы самой на себя не появляется ненулевых элементов на месте нулевых:  Данное отношение не является транзитивным, поскольку  .Задание № 4 Найти область определения и область значений для отношения Р. Проверить, является ли отношение Р рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным: P = {(x,y)| x,y R и y = sin x} Решение. Область определения R; область значений  .Отношение не является рефлексивным, т.к. к примеру  .Отношение не является симметричным. Отношение не является антисимметричным, т.к. есть одна симметричная пара (0,0). Отношение не является транзитивным. Если y = sin x и z= sin y, то  Задание № 5 Рассмотрим следующие восемь отношений между людьми, а именно: «быть отцом», «быть матерью», «быть сыном» «быть дочерью», «быть братом», «быть сестрой», «быть мужем», «быть женой». Выразить через них с помощью операций над отношениями следующие отношения: «быть зятем» Решение. В семье есть отец, дочка и зять. Значит, зять является мужем для женщины, которая есть дочкой. Комбинаторика. Городской совет состоит из мэра и 6 старейшин. Сколько различных комиссий можно сформировать из членов совета, если каждая комиссия состоит из 4-х человек и а) мэр города входит в каждую комиссию, б) мэр не входит ни в одну комиссию. Решение. а) Раз мэр входит в каждую комиссию, то надо посчитать сколько можно сформировать комиссий, состоящих из трёх человек, из имеющихся шести старейшин. Количество различных комиссий будет равно числу сочетаний из 6 по 3: C(6,3) = 6! / (3! · (6 - 3)!) = 4 · 5 · 6 / (1 · 2 · 3) = 20. б) C(6,4) = 6! / (4! · (6 - 4)!) = 5 · 6 / (1 · 2) = 15. 8 человек должны расположиться в 2-ух комнатах, причем в каждой должно быть по крайней мере 3 человека. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Есть 3 варианта расположения человек по комнатам: 5 – 3, 4 – 4, 3 – 5. Каждый из вариантов расположения человек, исключает другой, значит, задачу можно переформулировать следующим образом: Из 8 человек в комнате могут находиться или 3 человека, или 4, или 5, при этом порядок людей не важен. Сколькими способами это можно сделать? В этом случае применяем принцип сложения для подсчета всех способов расположения людей.  способами можно расположить 8 человек по двум комнатам, при условии, что в каждой должно быть не меньше 3 человек. Имеется колода из 36 карт 4-х мастей, занумерованных в каждой масти 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Подсчитать, сколькими способами можно выбрать 5 карт, что среди них окажутся 5 последовательных карт одной масти. Решение. В колоде имеется 9 карт каждой масти. 1,2,3,4,5 2,3,4,5,6 3,4,5,6,7 4,5,6,7,8 5,6,7,8,9 Ответ:5*4=20 Сколькими способами можно расселить 9 студентов в 3-х комнатах, рассчитанных на 3-х человек каждая? Решение. Число расселений 9 студентов по три человека по трём комнатам – это число разбиений множества из 9 элементов на три подмножества, в каждом из которых по три элемента. Это число равно  |