Решение Запишем матрицу в виде 3 4 2
 Скачать 93.69 Kb.
|
1 2 Содержание Вариант 14 Задача 1. Даны две матрицы A и B. Найдите : а)  , б)  , в)  , г) предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого вида заданы матрицей  . Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей  . Каковы общие затраты предприятия на производство 150 единиц продукции первого вида, 120 единиц продукции второго вида и 80 единиц продукции третьего вида? Решение:   Запишем матрицу в виде:
Главный определитель ∆=3*(1*1 - 2*3) - 5*(4*1 - 2*2) + 3*(4*3 - 1*2) = 15 Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A-1. Обратная матрица будет иметь следующий вид:
где Aij - алгебраические дополнения. Транспонированная матрица.
Найдем алгебраические дополнения матрицы AT.
∆1,1 = (1*1 - 3*2) = -5
∆1,2 = -(4*1 - 2*2) = 0
∆1,3 = (4*3 - 2*1) = 10
∆2,1 = -(5*1 - 3*3) = 4
∆2,2 = (3*1 - 2*3) = -3
∆2,3 = -(3*3 - 2*5) = 1
∆3,1 = (5*2 - 1*3) = 7
∆3,2 = -(3*2 - 4*3) = 6
∆3,3 = (3*1 - 4*5) = -17 Обратная матрица.
 Задача 2. Предприятие специализируется на выпуске сырья трех видов, при этом используется сырье трех типов :  . Нормы расхода каждого из них на одну единицу изделия и объем расхода сырья на один день заданы таблицей. Найдите ежедневный объем выпуска каждого вида изделия: а) методом обратной матрицы; б) по формулам Крамера; в) методом Гаусса.
Решение: Пусть ежедневно предприятие выпускает  - изделий первого вида,  -изделий второго вида и  -изделий третьего вида. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого типа имеем систему: Матричный метод (метод обратной матрицы) Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
Вектор B: BT=(230,400,240) С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е. Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1. Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем главный определитель. ∆=3•(5•3-2•2)-5•(3•3-2•1)+1•(3•2-5•1)=-1 Итак, определитель -1 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. Пусть имеем невырожденную матрицу А:
Тогда:
где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А. Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:
Вычисляем алгебраические дополнения.
∆1,1=(5•3-2•2)=11
∆1,2=-(3•3-1•2)=-7
∆1,3=(3•2-1•5)=1
∆2,1=-(5•3-2•1)=-13
∆2,2=(3•3-1•1)=8
∆2,3=-(3•2-1•5)=-1
∆3,1=(5•2-5•1)=5
∆3,2=-(3•2-3•1)=-3
∆3,3=(3•5-3•5)=0 Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C:
Вычислим обратную матрицу:
Вектор результатов X X=A-1 • B
XT=(30,30,50) x1=-30 / (-1)=30 x2=-30 / (-1)=30 x3=-50 / (-1)=50 Метод Крамера Запишем систему в виде:
BT = (230,400,240) Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю. Определитель: ∆ = 3*(5*3-2*2)-5*(3*3-2*1)+1*(3*2-5*1) = -1 Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. ∆1 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 230*(5*3-2*2)-400*(3*3-2*1)+240*(3*2-5*1) = -30  Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. ∆2 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 3*(400*3-240*2)-5*(230*3-240*1)+1*(230*2-400*1) = -30  Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. ∆3 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 3*(5*240-2*400)-5*(3*240-2*230)+1*(3*400-5*230) = -50  Выпишем отдельно найденные переменные Х Метод Гаусса 1 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
