Решение Запишем матрицу в виде 3 4 2
![]()
|
1 2 Решение СЛАУ методом Гаусса. Запишем систему в виде расширенной матрицы:
Умножим 1-ю строку на (5). Умножим 2-ю строку на (-3). Добавим 2-ю строку к 1-й:
Умножим 3-ю строку на (-5). Добавим 3-ю строку к 2-й:
Теперь исходную систему можно записать так: x3 = -50/(-1) x2 = [-800 - ( - 13x3)]/(-5) x1 = [240 - (2x2 + 3x3)]/1 Из 1-й строки выражаем x3 ![]() Из 2-й строки выражаем x2 ![]() Из 3-й строки выражаем x1 ![]() Задача 3. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: 1) длину стороны АВ. 2) уравнение стороны АВ и ее угловой коэффициент; 3) уравнение медианы, проведенной из вершины В; 4) уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ; 5) уравнение окружности, для которой АВ – диаметр. ![]() ![]() ![]() Решение: ![]() ![]() ![]() Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi; здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj; Например, для вектора AB X = x2 - x1; Y = y2 - y1 X = 18-12 = 6; Y = 8-0 = 8 AB(6;8) AC(-12;5) BC(-18;-3) 1) длину стороны АВ. Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле: ![]() ![]() 2) уравнение стороны АВ и ее угловой коэффициент; Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями: ![]() Уравнение прямой AB Каноническое уравнение прямой: ![]() y = 4/3x -16 или 3y -4x +48 = 0 ![]() 3) уравнение медианы, проведенной из вершины В; Обозначим середину стороны AC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. ![]() ![]() M(6;5/2) Уравнение медианы BM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана BМ проходит через точки B(18;8) и М(6;5/2), поэтому: Каноническое уравнение прямой: ![]() y = 11/24x -1/4 или 24y -11x +6 = 0 4) уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ; Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: ![]() Найдем уравнение высоты через вершину C ![]() y = -3/4x + 5 или 4y +3x -20 = 0 5) уравнение окружности, для которой АВ – диаметр. ![]() ![]() ![]() Обозначим середину стороны AB буквой O. Тогда координаты точки O найдем по формулам деления отрезка пополам. ![]() ![]() O(15;4) Уравнение окружности с центром в точке О и радиусом 5 ![]() Задача 4. Даны координаты точек ![]() уравнение прямой ![]() уравнение плоскости ![]() ![]() Решение: Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj; Например, для вектора A1A2 X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1 X = 4-7; Y = 6-5; Z = 5-9 A1A2(-3;1;-4) A1A3(-5;5;1) уравнение прямой ![]() Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями: ![]() Уравнение прямой A1A2(-3,1,-4) ![]() уравнение плоскости ![]() Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
Уравнение плоскости A1A2A3
(x-7)(1·1-5·(-4)) - (y-5)((-3)·1-(-5)·(-4)) + (z-9)((-3)·5-(-5)·1) = 21x + 23y - 10z-172 = 0 Задача 5. Выполните четыре арифметические действия над комплексными числами ![]() ![]() ![]() Решение: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Действительная часть числа x. x = Re(z) = 0 Мнимая часть числа y. y = Im(z) = -1 Модуль комплексного числа |z|. ![]() Поскольку x > 0, y < 0, то arg(z) находим как: ![]() ![]() Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z = -i ![]() ![]() Извлекаем корни по формуле: ![]() k = 0 ![]() k = 1 ![]() k = 2 ![]() k = 3 ![]() Задача 6. Вычислить пределы. ![]() ![]() Решение: ![]() ![]() Задача 7. Найти производную функции: ![]() Решение: ![]() Задача 8. Площадь, занимаемая печатным текстом, составляет на странице книги 432 см2. Ширина полей вверху и внизу страницы по 2см, а ширина боковых полей по 1,5 см. Каковы должны быть размеры страницы, чтобы количество израсходованной на нее бумаги было наименьшим? Решение: Площадь текста S(t) = a*b = 432 кв.см. Поля сверху и снизу - это 2 полоски шириной 2 см и длиной а см. Поля слева и справа - это 2 полоски шириной 1,5 см и длиной b см. Поля в углах (залиты красным) - это 4 прямоугольника 2 х 1,5 см. Площадь полей S(p) = 2*2a + 1*1,5b + 4*2*1,5 = 4a + 3b + 12 кв.см. Площадь листа выразим через одну переменную а S = S(t) + S(p) = 432 + 4a + 3*432/a + 12 -> min Возьмем производную от площади и приравняем ее к 0 S ' = 4 - 3*432/a2 = 0 4 = 3*432/a2 a2 = 3*432/4 = 3*3*144/4 = 32*122/22 a = 3*12/2 = 36/2 = 18 см b = 432/a = 432/18 = 24 см. Размер листа Длина a + 2*1,5 = a + 3 = 18 + 3 = 21 см Высота b + 2*2 = b + 4 = 24 + 4 = 28 см. Ответ: 21 х 28 см ![]() Список литературы. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике, М., АСТ Астрель, 2008 г; Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре, М., Наука, 1998г; Курош А.Г. Курс высшей алгебры: Учебник для вузов. - М.: Физматкнига Лань, 2007г; Романова О. А. Математический анализ Справочное пособие для студентов экономических специальностей Иркутск 2003 . - Режим доступа http://matan.isu.ru/matan/. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учеб. для вузов: в 3-х томах. – 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 – 2001. -697 с. 1 2 |